对用数学归纳法证明整除问题的补充

贵刊在一九八六平第一期刊登明理编选的《用数学归纳法证明整除问题的两种常用方法》一文。文中“十六字法”和“带余除法”能在课本的基础上加以提炼、总结,很值得借鉴。但是用数学归纳法法证明整除问题,还有两种常用的方法——辅助变量法和作差法,介绍于下:     

数学归纳法在几何中的应用

判断可数个一群事物具有某种公共性质,能不能一一去证明呢?回答是不可能的,于是便产生了数学归纳法。在高中数学课本中,我们能见到很多用到数学归纳法的例子,但是用数学归纳法来证明平面几何问题的例子却不多见。本文就此举出几例,以飨读者。例1:凸n边形的对角线条数为1/2n(n-3),试证之。证明:(1)当n=4时,本命题显然是正确的。     

刍议数学归纳法证明整除性问题技巧

用数学归纳法证明整除性问题,如:求证f(n)能被a整除,设f(n)是随自然数变化的已知整式(或整数),a是给定的整式(或整数).由假设n=k时命题成立,来推证n=k+1时命题也成立,是最关键的一步,也是最难证明的一步.如果用f(k+1)除以f(k),求出它的余数(或余式),即设f(k+1)=qf(k)+r,q为商,r为余数(或余式).若r能被a整除,则由假设可知f(k+1)能被a整除,即n=k+1时命题也成立.这样,就极大地简化了证明过程.     

从解题引出的思索

问题试用数学归纳法证明(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2)))~n能被2~n整除,其中n为任意自然数。这是一位刚学“数学归纳法”的高二学生提出的,她百思不得其解。我也未见过本题。既然是初学者提出,想不会太难,于是便从常规法入手。设a_n=(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n,则a_1=(3+5~(1/2))+(3-5~(1/2))=6,能被2整除。这说明“归纳基础”已具备。接下去只需在“归纳假设”; a_k能被2~k整除的基础上去证明a_(k+1)能被2~(k+1)整除,以完成数学归纳法的第二步。我的思路从a_(k+1)中析出a_k,目的是便于运用     

整除问题与组合数公式之缘

创造性教学,教活知识,灵活解题是教师的基本功.解答整除问题一般会想到余数定理及其性质,其实用高中代数课本中的组合数公式就可以简捷解答很多有关的整除问题.定理 m 个连续整数之积能被 m!整除.证明:(1)若相乘的 m 个连续整数中有一个是零,则其积为零,显然其积能被 m!整除.     

对数学归纳法的认识

本文举例说明了用数学归纳法证明与正整数有关的探索性问题，不等式问题，恒等式问题，整数的整除问题。     

一个整除问题的推广

在中学数学中,有一道出现频率较高的习题:证明:(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 四川秦北波同志在《数学教学通讯》1991年第2期以“一个整除问题的精巧证明”为题给出了这一习题的一个精巧证明。下面利用费波那契数列的通项公式给出它的一个推广。命题: [2((1+(5~(1/2))/2)~(2k-1]~n+[2(1-(5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n能被2~n整除[n∈N,k∈N)。证:(1)当k=1时,原命题变为:(1+5~(1/2))~n+(1-5~(1/2))~n能被2~n整除,此命题可用第二数学归纳法证。     

f(n)=g(n)的非数学归纳法证明

同学们学过数学归纳法后,遇到与自然数n有关的恒等式f(n)=g(n)的证明问题,总是自觉或不自觉地想用数学归纳法去证明.不过笔者提醒同学们注意,数学归纳法不是唯一的方法,也不一定是最佳选择.本文结合实例介绍几种证明f(n)=g(n)的非数学归纳法途径.     

完成归纳过渡的思考途径及方法技巧

要学好教好数学归纳法,必须明确和解决以下几个问题。 首先,必须了解学习的意义和作用。为了证明一个与自然数有关的命题,由于自然数有无穷多个,因而不可能拿来逐一试验,所以用完全归纳法是无法完成的,用不完全归纳法也是无法实现的。因此,我们必须学习一种新方法——数学归纳法。 其次,必须明确数学归纳法的功能作用。主要解决与自然数n(特殊情况下,也可以是部分整数)有关的等式、不等式的证明,整除问题,几何中有关n的命题,递推数列的通项及和的证明等,这些类型综合了各部分的数学知识,有助于训练数学的基本思想和方法,有助于培养思维能力、抽象能力和运算能力,同时数学归纳法证题的方法(试验、猜想和证明及从简单入手)正是培养分析问题解决问题能力的重要素材和形式。     

谈同余理论在初等数学中的几点应用

<正> 在国内外数学竞赛中经常出现数论题和用数论中的定理或命题改编的题目,尤其是与同余理论有关的问题。我在《初等数论》教学中体会到同余理论在初等数学中有以下四点主要应用,且应将它们贯穿到教学中去,以便学生更进一步熟悉初等数学。1 用于处理有关整除的问题 整数与求余是密切相关的,有些整除问题在解答过程中常是同余理论的灵活运用。 例1(第六届奥赛试题):(1)证明:没有正整数n能让2~n+1被7整除;(2)求出所有     

高观点下的数学归纳法

<正>数学归纳法(Mathematical Induction)是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立.除了自然数以外,广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构,例如:集合论中的树.这种广义的数学归纳法应用于数理逻辑和计算机科学领域,称作结构归纳法.虽然数学归纳法名字中有"归纳",但是数学归纳法并不是不严谨的归纳推理法,它是属于严谨     

数学归纳法证明不等式若干技巧

数学归纳法是证明一些与自然数有关命题的基本方法。是数学证明的有力工具。但是用数学归纳法证明不等式时,却往往受挫。不过若能掌握若干技巧,将会使证明获得成功,到达胜利的彼岸。本文试对数学归纳法证明不等式的若干技巧举例阐述之。一、改变命题形式例1 求证:当n是不小于3的整数时,有n~(n 1)>(n 1)~n……(Ⅰ) 分析:若用数学归纳法证明,要证明传递性:设n=k时有k~(k 1)>(k 1)~k,则n=k 1时,(k 1)~(k 2)是     

数学归纳法证明不等式的解题策略刍议

数学归纳法重在考查归纳、探索的能力.近几年利用数学归纳法证明不等式已成为高考命题的一道亮丽的风景线.但是,各种参考书或杂志在研究此类问题时,都只谈到与n有关的不等式可用数学归纳法证明,并罗列了一些题解的过程,而没有深入探讨:数学归纳法证明不等式的本质是什么?什么时候能用或不能用数学归纳法证明不等式?又如何把一些不能用数学归纳法证明不等式的题,转化为能用数学归纳法证明?本文拟针对上述三个问题,进行分析研究.     

数学归纳法教学探究

数学归纳法是证明关于自然数n的命题p(n)的一种十分重要的数学方法,是一种神秘、奇妙的方法,从纵的方面看,它是归纳法的一种特殊的形式,它与递推方法、逆向推理方法等同属程序性方法;从横的方面看,它和正整数有关的某些不等式、等式、整除、几何命题、数列命题、排列组合等问题密切相关,应用数学归纳法解决这些问题给人一种奇妙的感觉.     

整除性问题的构造性证明

在数学解题过程中,直接举出满足条件的数学对象(或反例),导致结论的肯定(或否定),或者利用具体问题的特殊性,设计一个框架,通过问题的转化来解决,这种解题方法称为构造法,构造法是一种重要的数学思想方法,应用构造法证明某些整除性问题,常可收到事半功倍的效果。在整除性问题的构造性证明中,常见的“构造”有以下几种: 一构造函数例1 证明 3~(1980)+4~(1981)能被5整除。(1980年上海市初中数学竞赛题) 证明构造函数     

善于观察分析，巧解整除问题例谈

整除问题是数学分支中古老的问题之一,也是中学数学教学过程中对学生进行思维训练、知识整合、培养观察、推理能力、拓宽数学问题解题思路的生动素材之一. 现有教材中常见的整除习题,一般采用因式分解方法,添加因子的方法或数学归纳法予以证明,解题思路比较明确.但对一些特殊命题,若不引导学生认真观察题目中内在的数量关系,借助学生已有的知识和经验,是较难解决的.本文例举几道整除证明问题,说明如何引导学生认真观察、培养学生的创造思维,提高解题能力.以达到举一反三,促进学生思维水平发展,培养能力的目的. 例 1 求证:73|8n 92n . …     

由一道课本习题引起的思考

现行高中《代数》下册第 12 5页第 6题有如下题目 :用数学归纳法证明 :1 12 2 132 … 1n2 <2 - 1n(n∈N,且 n≥ 2 ) .(以下称原命题 )受原命题启发 ,根据“a相似文献   

数学归纳法证整除性问题的配因式法

在应用数学归纳法证明指数函数多项式整除问题时,通常对于第二步进行了归纳假设后,当n=k 1时,将n用k 1代入原式,并采取“添一项、减一项”法(以下简称添     

数学归纳法复习应做到“三学会”

<正>数学归纳法是一种重要的证明方法.虽然近年来对数学归纳法的考查热度已降低,但是在全国各地的高考数学卷中依然有所体现.本文试图通过对一些试题的分析,结合自身经验,提出数学归纳法复习应做到"三学会".一、学会用好归纳假设数学归纳法的证明过程是一个"连环套",归纳过渡是证明的关键,归纳假设是过渡的基础.1.不能不用归纳假设例1用数学归纳法证明:     

浅析数学归纳法的“用”

数学归纳法是用来证明与正整数有关数学命题的一种重要思想方法,也是一种强有力的论证工具.在证明等式和不等式、数列中通项公式的探求、代数中整除性问题以及各数学领域中证明与自然数有关的命题均有广泛的应用.本文就其用做些归纳,供参考。