探究圆锥曲线中一组斜率乘积定值

本文对一道期末椭圆试题进行探究,得到了椭圆中的几个斜率之积为定值的优美结论,并将相关结果类比到了双曲线和抛物线中.     

圆锥曲线中与斜率有关的一类定值问题探究

通过对问题"以椭圆上的定点为直角顶点作椭圆的内接直角三角形,则三角形的斜边必经过某定点"的研究,找到解决它的有效方法,形成规律性的结论.再将结论推广到双曲线和抛物线中,并进一步将两弦垂直(即斜率乘积等于-1)推广到斜率乘积为其他定值,或斜率和为某定值等一系列问题中,从而找到解决此类问题的一般性方法.     

一道圆锥曲线高考题的再探究

推广了2017年北京卷文的结论,得到了圆锥曲线的一个定值关系。     

圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究

主要研究圆锥曲线中因直线运动而产生与斜率有关的定值问题,涉及斜率之和、斜率之差、斜率之积三类定值问题.     

一道圆锥曲线压轴题的探究与推广

圆锥曲线中的定点定值问题是高考数学中的热点,经常作为压轴题出现.常见的解题思路为将椭圆/双曲线/抛物线与直线联立,通过韦达定理求证.这类问题往往可以推导出一般性的结论,从而得到圆锥曲线的一些特殊性质.本文以一道圆锥曲线压轴题为例,探究出其背后隐藏着的一些美妙性质.希望能对学生学习圆锥曲线知识起到抛砖引玉的作用,激发学生对数学学习与研究的兴趣.     

对圆锥曲线的一类定值问题的再思考

文[1]研究了圆锥曲线的一类定值问题,得到了几个重要的结论,读后深受启发.笔者曾想,能否把圆锥曲线上的一个定点变为两个定点,即如果圆锥曲线E上有两个定点P,Q过P,Q作倾斜角互补的两条直线PA,QB(PA,QB的斜率存在),分别与圆锥曲线E交于异于P,Q的点A和B,那么直线AB的斜率是否为定     

圆锥曲线涉及几条直线斜率的两个定值

圆锥曲线以其优美的身姿及蕴涵的难以穷尽的性质吸引着众多数学家及数学爱好者的目光.本文给出笔者新发现的它涉及三(或两)条直线斜率的两个定值性质,以飨读者.     

一道解析几何试题的推广与探究

以一道模拟训练题为例提炼出椭圆的斜率之积问题,并进一步探究和挖掘,厘清一类问题的解题策略。     

新发现圆锥曲线与斜率有关的一个定值性质

最近,在对圆锥曲线的研究中,受文[1]、[2]的启发,笔者发现了它的与斜率有关的又一个性质,现介绍如下．     

追本溯源 把握本质——一道圆锥曲线试题的探究及思考

本文从一道试题出发,追本溯源,给出问题的多种解法,并寻找问题的一般结论,揭露问题本质,提升思维能力,促进学生数学核心素养的达成.     

《数学通报》问题2688的探究与推广

圆锥曲线斜率和与斜率积为定值背景下的定点问题,广泛地出现在高考题和省市模拟题中,如2017年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题和22届江苏盐城、南京一模第21题等,近期也出现了斜率和与斜率积同时满足等式下的定点问题,如《数学通报》问题2688^[1].本文在此基础上进行了推广与证明,即斜率和与斜率积满足线性方程时的定点问题.     

从高考模拟题到圆锥曲线奇妙的定值

笔者在高三数学试卷评讲过程中遇到两道解析几何题目，具体如下：     

一道高考题引出圆锥曲线的三个美妙结论

2009年高考辽宁卷文科第22题：已知椭圆C经过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）． （Ⅰ）求椭圆C的方程; （Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值．     

圆锥曲线中两直线斜率关系定值下的定点的统一性质

本文证明两类性质,从圆锥曲线中一定点P引两条直线与该圆锥曲线分别交于点A、B,一是若直线PA和P B的斜率之和为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,定点G的轨迹是一条与圆锥曲线相切的直线,且切点是点P关于圆锥曲线长轴的对称点.二是若直线PA和P B的斜率之积为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,椭圆和双曲线背景下的定点G的轨迹是一条过原点的直线,而抛物线背景下的定点G的轨迹是一条平行于对称轴的直线.     

2023年新高考2卷第21题的解法探究与溯源

探究了2023年新高考Ⅱ卷第21题的多种解法,揭示了双曲线中某些特定直线的斜率之比恒定,交点变化的规律,并进一步探索了命题背景.     

减少圆锥曲线运算量的齐次化策略研究

与斜率之和(积)有关的圆锥曲线问题是高考的重点内容,通常采用联立方程,然后“设而不求”用韦达定理计算的方法解决,文章举例分析运用齐次化策略解决这类问题的技巧.     

圆锥曲线中的一类定值问题探究

先从一个简单的结论说起：已知MN是圆O：x2＋y2=r2（r〉0）的任意一条直径，P是圆O上异于M，N的任意一点，则有kPMkPN=-1反之亦真．     

一道竞赛模拟题的拓展探究

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(初赛)暨2022年全国高中数学联合竞赛模拟考试一试(A卷)第11题是一道抛物线中三角形的最值问题,考查了抛物线的基本性质,也考查了学生分析问题、解决问题的能力,尤其是运算求解能力.本文对其进行探究,并给出一般性的结论.