寻觅球心的几种视角

<正>球是立体几何的重要内容,是培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要载体.四面体外接球问题在质检、高考和竞赛试题中频频出现,解决四面体外接球问题的关键在于确定球心的位置,本文给出寻觅球心的几种视角,为教师教学提供参考.1在过四面体底面外心且垂直底面的直线     

三维Euler不等式的推广

利用解析方法和几何不等式理论，研究了四面体外接球半径与内切球半径之间的关系，建立了四面体外接球半径与内切球半径的几个不等式，推广了四面体Euler不等式。     

任意四面体外接球半径的计算公式

我们知道,有一个也只有一个球面通过四面体的各顶点,这个球面称为四面体的外接球。如何利用四面体有关量去计算它的外接球半径,在初等几何中不易找到有效的方法,为解决这一问题,本文给出下面的计算公式。     

从三角形的外接圆到四面体的外接球

在平面上,当一个三角形的两条边互相垂直时,该三角形的外接圆直径的平方等于两直角边的平方和。而在四面体中,也类似地有: 引理:三条棱互相垂直的四面体的外接球直径的平方等于这三条棱的平方和。 证明:以这三条两两互相垂直的棱为长、宽和高,作一长方体,而该长方体的对角线恰是它的外接球直径,从而也是已知四面体的外接球直径,由于长方体的对角线的平方等于它     

关于四面体二面角平分面的几何不等式

建立了关于四面体二面角平分面面积与四面体外接球半径、内切球半径以及中线之间的一些几何不等式,其中一些不等式改进了三维Euler不等式.此外,我们提出两个猜想.     

多面体外接球问题的四类模型

<正>简单多面体的外接球问题是立体几何中的常见问题，解决此类问题的重点是确定球心的位置和球的半径大小，其中确定球心的位置是关键．本文给出解决多面体外接球问题的四类模型，帮助大家快速解答相关问题．模型1墙角模型如图1，三条两两垂直的线段AB,AC,AP可补形为长方体，其体对角线的中点即为球心．若AB=a,AC=b,AP=c，由体对角线长公式(2R)²=a²+b²+c²，可得外接球半径     

例析三棱柱外接球模型的应用

<正>因缺乏一定的空间想象能力和空间作图能力,大部分学生对多面体的外接球问题感到很困惑.处理多面体外接球问题的常用方法就是"降维",即把三维的立体图形转化为二维的平面图形,但这在操作上常常有一定的难度.笔者经过探索发现,很多多面体的外接球问题都可以转化为三棱柱的外接球问题,下面举例说明.一、三棱柱的外接球模型     

直角四面体的一个性质

对应于平面几何中的三角形,立体几何中最简单而又重要的图形是四面体。如果一个四面体有一个直三面角,我们称它为直角四面体,直三面角的顶点称为直角四面体的直角顶点。直角四面体作为特殊的四面体,我们常把它与特殊的三角形——直角三角形进行类比。 我们知道,对于直角三角形,它有外接圆,其圆心在斜边的中点,半径是斜边的一半。那么,对于直角四面体,它是否存在外接球,若存在,球心在何处,半径是多少?下面的命题回答了这个问题。     

垂心四面体的十二点球

定理 垂心四面体中,垂心到四面体各顶点的每线的第一个三等分点、四面体各面的垂心和重心,共12点共球,其球心在垂心四面体的欧拉线上,半径为垂心四面体的外接球半径的1/3。 证明:如图,四面体ABCD为垂心四面体,H、G、O分别为四面体的垂心、重心、外心.由文[1]知,H、G、O共线,且HG=GO.     

四面体有外接球和内切球吗？

众所周知,任意△ABC都有外接圆和内切圆．三角形与空间的四面体有可类比性,类比可知：任意四面体s—ABc都有外接球和内切球．由于类比得出的结论未必正确,自然会思考：该结论是否正确？如果正确,如何证明？     

球心位置在哪?——例谈确定三棱锥外接球球心位置的三个视角

<正>球问题是立体几何的重要知识和常见考点,与球相关的计算问题在高考和各类模拟题中屡见不鲜,尤其是以三棱锥作为背景设置外接球问题较多,三棱锥外接球问题灵活多变,确定球心的位置是解决此类问题的切入点,也是解题的难点,本文从三个视角探究三棱锥外接球问题的求解方法,以供参考.视角一底面外心沿垂线方向确定球心位置由外接球性质,球心到各顶点距离相等,三棱锥外接球的球心在底面投影即为底面三角形的外心,     

关于Ceva四面体的两个不等式

研究了Ceva四面体的几何不等式问题，建立了四面体与其Ceva四面体的外接球半径与内切球半径的以下两个不等式：R′R^2≥3^2r^3,R′R^2≥3^5r′^3     

有关四面体的一个不等式的加强

1994年,彭诚建立了如下不等式:设四面体A_1A_2A_3A_4内一点P到A_i所对面的距离为ri(i=1,2,3,4);R、r分别为四面体的外接球与内切球的半径,则     

LHP定理与定值定理

众所周知，三角形的外接圆周上任一点存在一条simson线，而LHP定理则指出对于正四面体该结论是不能推广到三维空间上的，并且在论证LHP定理的过程中得出了定值定理，同时作为一般四面体的外接球球面上的H点、P点的分布，给出了一个猜想。     

巧建数学模型 助力深度学习——以模式化思想求解多面体外接球问题为例

<正>深度学习是建立在理解基础上的一种学习.深度学习强调学习者以批判意识学习新方法、新知识,并将其主动顺同原有认知结构;将已有的的知识、经验迁移到新的问题情境中,进而帮助做出决策、解决新问题.深度学习能够帮助学生在数学活动中积极探索、不断反思和创造,凸显了学生由被动接受知识向主动获取知识的这一角色转变.多面体外接球问题由于不易画图而变得抽象难解,需要较强的空间想象能力.笔者在进行高三数学复习过程中发现中等及中等偏下的学生对此类问题理解比较困难.笔者尝试通过多面体外接球问题案例将多面体外接球问题"模式化",以快速解决几类常见多面     

例析三棱锥外接球半径的常见求法

<正>由于不共面的四点确定一个球面,所以任意一个三棱锥都有且只有一个外接球.三棱锥的外接球问题是高中立体几何常考的一类问题,能有效考查学生的直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学学科核心素养.下面以2019年高考全国Ⅰ卷理科数学第12题(选择题压轴题)为例,探究三棱锥外接球半径的常见求法.一、试题呈现试题已知三棱锥P-ABC的四个顶点     

正棱锥外接球半径的求解公式

在高中数学教学中,经常涉及三棱锥外接球的问题.而且,三棱锥外接球问题是高考热点,也是难点.尤其以正棱锥的外接球的半径问题,出现的频率最高.那么是否存在求解正棱锥外接球半径的固定公式就显得极具实用价值.本文便是笔者针对此问题进行的深入探究,并得出了求解正棱锥外接球半径的公式.     

多面体外接球问题的变式探究

立体几何是培养空间想象能力很好的素材,多面体的外接球问题是有关球的问题的基本题型之一,它能全方位、多角度、深层次考查空间想象能力。这类问题由于不易画图而变得抽象难解,解决此类问题常有两种策略:一是通过"截面"把立体几何问题转化为平面问题,二是构造典型的几何体模型。     

用双圆模型求解三棱锥外接球的有关问题

<正>新课标关注数学核心素养,凸显了对学生应用数学知识分析解决问题能力的重点考查.在立体几何中,有一类涉及球与其内接几何体交汇的试题综合性较强,需要学生通过发挥空间想象能力,画出直观图,利用立体几何相关知识,分析空间点、线、面的位置关系,从而得出主要数量关系,最终解决问题.本文主要分类探究与三棱锥外接球半径有关问题的求解策略.在解决三棱锥外接球半径问题时,笔者认为解题的有效策略是建     

外接球问题“心”在哪里

在组合体中,有一类是几何体的外接球问题,解决这类问题的关键是确定外接球球心的位置.本文介绍几种找几何体外接球球心的方法,仅供参考. 1 利用直角三角形斜边的中点找球心 例1 (2009湖南卷)在半径为13的球面上有A,B,C三点,AB=6,BC=8,CA=10,则球心到平面ABC的距离为____. 解 ∵AB=6,BC=8,CA=10, ∴∠ABC =π/2, 过A、B、C三点的截面小圆的圆心为斜边AC的中点O1,如图1,连结OO1,OA,OB,OC,则OO1⊥平面ABC,在Rt△AOO1中,OO1=√AO2-AO12=12, 故球心到平面ABC的距离为12.