灵活运用函数的单调性处理不等式问题

不等式问题是高考的热点，用函数单调性处理不等式是常用的一种方法.若生搬硬套直接使用单调性去处理一些不等式问题，会感觉有力使不上.正确的方法是需要将不等式变形、变更主元、问题转化等变换，然后构造出适当的函数，再运用函数的单调性进行解决.     

构造法解恒成立问题中的参数范围

含参数的恒成立问题是高中数学中的一类重要题型,它常以各种载体出现在高考和各类竞赛试卷中.此类问题以一主元和若干参变元伴随着显性或隐性的题型出现,考生若能抓住它们“形异质同”(“形异”即题型各不相同,“质同”即实质相同,就是要抓住主元.)构造目标函数,就可成功解答此类问题.笔者给出这类考题简单易想到的两类构造通法,以供大家参考.一、构造主元函数问题中主元与参变元若不能分离,或以其中一元为主元时问题较复杂,可以交换位置确定主元,将问题转化为以主元为自变量的函数,然后利用数形结合法,巧妙解答.二、构造辅助函数问题中主元…     

双参数问题的处理

<正>双参数问题是近几年高考的热点问题之一,这类问题背景多样,联系到的知识面非常广,对学生的要求高,着重考察学生的知识迁移、联想构造、综合分析解决问题的能力.本文浅谈双参数问题的处理方法.一、主元变更一般地,若问题中有两个参数,我们把已知范围的参数作为主元(自变量),要求的参数作为参数,求其范围.例1(2015年江苏高考题)已知函数     

例谈构造法在导数问题中的应用

本文通过案例分析提出,构造法在求解导数问题时可应用变换主元、换元同构和凹凸变换等构造新的函数的策略,使问题转化并得到解决.     

参数取值范围的探求

求参数取值范围问题,是高考试题的热点,也是数学教学中的一个难点.因为它题型多样,方法灵活,综合性强,不少学生遇到这个问题常感到无从下手,有的题目即使能做出,也感到计算量大,耗费大量的解题时间.因此有必要让学生熟悉并掌握一些参数取值范围的探求方法,以开拓他们解题思路,提高解题能力.本文就此把平时在教学中得出的一些常规的探求方法归纳如下,供同行参考. 1 变更主元,构造目标函数进行探求 此法适用方程有实数解,求参数取值范围问题.它的解题思路是视参数为主元,构造出以原方程中的未知数为自变量的函数,然后求出该函数的值域,即为参…     

导数法证明不等式之函数巧构造

<正>一、多变量不等式,以其中一个变量为主元构造新函数对于双变量的不等式证明,可以采取"定主元,降辅元"的方法,即先把辅元当成常数,以主元为变量构造一个新的函数,再利用导数法证明不等式。例1已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xln x。(1)求函数f(x)的最大值;(2)设0相似文献   

函数思想在解含参数三角问题中的应用

函数是高中数学的一条主线,数学教学中有意识地培养学生的函数思想,对启迪思维,培养能力,优化思维品质,提高教学质量大有裨益。本文通过实例介绍函数思想在解含参数的三角问题方面的运用。 1 变更主元值域法     

变更与甄选主元

<正>主元法,是指在含有两个或两个以上变元的问题的解决过程中,选择其中一个变元作为研究的主要对象,视为主元,而将其余各变元视为参数或常量的一种思想方法.主元法将问题转化为关于该主元的式子、方程或函数,可将问题难度大大降低,使问题获得巧解,化难为易.在多变量问题的解题中,一旦选对了主元,等于在战斗中选择了正确的方向.笔者认为高考中主元法的应用主要分为以下两种:变更主元法与甄选主元法.     

常见转化命题求解的策略

本文列举范例阐明八种常见转化命题求解数学问题的策略。即变换命题条件、猜想命题结构、变更命题主元、转化等价命题、横向变换命题、构造辅助命题、反面考虑命题,分解复杂命题等八种转化命题的思维方法。     

变更主元 换位思考

我们在解决数学问题时,特别是一些含参变量的方程或不等式以及函数等问题时,参变量不易分离,或者分离出来以后求解比较困难,这时我们可以重新审视问题,将主元与参变量进行换位思考,从而简化问题的解法．“变更主元”不仅有助于数学问题的解决,而且有利于培养同学们多角度、辩证地审视问题的习惯,从而提高同学们的数学素养．现举例说明：     

函数恒成立存在性问题题例分析

函数题型在高考中常考常新,而能很好体现逻辑思维的恒成立与存在性问题又是其中的精髓所在,这类问题知识交汇丰富,方法灵活多样,是学生学习的重点与难点,其中的参变分离、变更主元、数形结合等方法需要学生深入研究.     

基于高中数学的恒成立问题分析

在高中数学中,恒成立问题主要考查不等式、方程、函数等知识内容,并与参数取值范围、函数最值紧密联系。学生必须准确掌握问题解决方法,即变更主元,解一次函数型恒成立问题;分类讨论,解二次函数型恒成立问题;数形结合,直观求解;运用归化思想,分离变量,这对提高学生解题能力,准确解决恒成立问题意义深远。     

变更主元 破除定势

在有几个变元的问题中,常常有一个变元处于主要地位,我们不妨称之为主元。由于思维定势的影响,人们在解决这一类型问题时,总是紧紧抓住主元不放,这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下,此路往往不通。这时,若能变更主元,转移变元在问题中的地位,很可能达到“柳暗花明”的境界。本文举例说明这种方法在解题中的应用。     

例说导数法证明不等式

利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的紧密联系,将不等式的部分或全部投射到函数上,直接或等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数,通过导数运算判断出函数的单调性,或利用导数运算来求函数的最值,将不等式的证明转化为函数问题,即转化为比较函数值大小,或函数值在给定区间内恒成立等.现择例说明如下.一、在不等式中突出主元.以主元为自变量构造函数。将不等式转化为函数在给定区间内恒成立问题,然后利用导数证明     

借助函数最值来求解不等式恒成立时参数的取值范围问题

不等式恒成立条件下参数的取值范围问题一直都是高考数学中的一个难点,这类问题的求解很多种解法,如：用参数分离研究函数的最值、变更主元、数形结合等方法.方法虽多,但学生在解题过程中难以选择最佳方法.通过对这些方法的分析,不难发现这些方法有一个共性,即利用函数的最值求参数范围.本文将通过具体例子,谈谈如何借助函数最值来求解不等式恒成立时参数的取值范围.     

构造法在数学竞赛中的应用(三)

(本讲适合高中) 本文在文[1]、[2]的基础上,举例说明模型构造法、方程构造法、函数与多项式构造法的运用. 1模型构造法 例1 (售票问题)2012名游客排队购买参观票,每张票价5元,其中,1006人各持有一张5元币,另外1006人各持有一张10元币,开始时,售票机中无零钱可找.试确定,使得不发生售票困难的排队方法有几种?     

简化或避免讨论的常用策略

在数学题中有一些分类讨论问题，当用常规方法处理比较繁杂时，如能采用适当的变换策略，就可简化或避免讨论．下面结合一些常规问题谈谈简化或避免讨论的几种常见策略．一、变更主元策略有些分类讨论问题中，往往有几个变元，其中常有一个变元处于较为有利的位置，不防称其为主元．受思维定势的影响，学生在解题时，总是抓住主元不放，结果造成分类复杂，解题过程繁琐．如能采用变换主元，反宾为主的策略、则往往化繁为简，简化或回避讨论．例1已知二次方程ax~2＋2（2a-1）x＋4a－7＝0中的a为正整数．问a取何值时，此方程至少有一个整数根…     

例谈解题中“辅助元”的构造

<正>辅助元是为了解决某个问题而构造的一种数学形式(如线、角、平面、函数、方程、数列、圆等),用辅助元解题,体现了数学中类比,化归的思想,不仅使问题变得更直观明了,容易找到解决问题的思路和方法,同时也是一种富有创造性的解决问题的一种方法.一、构造辅助函数构造辅助函数是一种重要的解题思想方法.函数是整个高中数学的核心知识,它具有工具性和导向性.许多问题都可以通过巧妙地构造辅助函数,使得原本扑朔迷离的问题     

主成分分析在综合评价中的应用

应用主成分分析原理,以少数的综合变量取代原有的多维变量,使数据结构简化,把原指标综合成几个主成分,再以这几个主成分的贡献率为权数进行加权平均,构造出一个综合评价函数.文章应用该原理对23家电器企业的实力进行了综合评价,其结果是合理可信的.     

恒成立问题的常见求解策略

<正>恒成立问题主要涉及到一次函数、二次函数,三角函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法.这类问题能较好地考察学生综合素质,故在历年高考中经常出现.本文就此类问题的几种常见求解策略作一探讨,供读者参考.一、抓住主元变量,构造函数处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时地把主元变量和参数变量进行"换位"思考,往往会使问题降次、简化.