浅谈方程的非常规解法

方程是中学数学重要内容.解法之多,形成很多定法,如一元二次方程可用分解因式、配方、公式法求解;分式方程可用去分母法求解;而根式方程则用乘方及换元法求解.笔者通过对近几年国内外数学竞赛题研究及教学实践总结出一些方程非常规解法,敬请同行指正.     

利用Legendre多项式求解Laplace方程的定解问题

通过研究勒让德方程的幂级数解法得到勒让德多项式,并得到勒让德多项式的一些性质。利用这些性质求解拉普拉斯方程的定解问题十分方便,这种解法明显优于利用格林函数求解拉普拉斯方程的定解问题。     

再造神话

有一些一元二次方程运用常规方法求解,计算量大,且容易出错．若根据方程的特征,选用非常规解法来解,就能简捷求解．请看下面几种非常规解法．     

广义Black-Scholes方程的算子级数解

本文主要研究系数依赖时间和空间的非齐次的广义Black-Scholes方程,结合一些引理和推论,将Adomian分解法推广到求解更一般的广义Black-Scholes方程的数值解。利用Adomian分解法,我们得到广义Black-Scholes方程的含有算子形式迭代的一般级数解,同时证明该方法对广义Black-Scholes方程同样适用。     

一元二次方程求解若干方法

一元二次方程求解若干方法□范子坚（江苏省宿豫县教委教研室２２３８００）一元二次方程是教材的重点内容，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊解法，往往能收到事半功倍的效果．观察不忙于求解，观察方程的特点，寻求简便的解法．例１试确定方程ｘ｜ｘ｜－３｜ｘ｜－...     

论一元二次方程的特殊解法

对于一元二次方程的解法,教材上介绍的方法有直接开方法、配方法、公式法和因式分解法。但是有些方程用上述那些解法可能会比较繁琐,在这里我们引进一些新的解法,可以一定程度上简化求解过程,使得解题更加简便。以下就是对这几种特殊解法的概述。     

列方程(组)解几何题举例

一些几何问题,若按一般的几何方法求解,则显得峰回路转,很难得出计算结果或证明.若能利用方程或方程组,把几何问题转化为方程问题,则能水到渠成,得出简捷的解法.本文试举例说明一些几何题的方程     

一阶非线性微分方程的常数变易法

常数变易法求解一阶微分方程是作为求解一阶线性方程的解法给出的,本文对非线性方程两次使用常数变易法求解,并对贝努利方程、黎卡提方程进行求解探讨．     

基于MATLAB求解常微分方程

不同类型的常微方程可以采用解析解法或者数值解法．文中讨论了如何利用MATLAB求解常微方程的方法,并用图形显示出数值解．     

打破常规 巧解方程

分式方程的常规解法是通过去分母或换元法，将其转化为整式方程求解。而在实际应用中，有一些特殊的方程还可因题制宜，运用一些非常规的解题技巧，使运算简化，提高解题速度。     

关于欧拉方程的进一步讨论

对欧拉方程的形式加以推广,并给出求解方法,同时给出一类二阶欧拉方程的特殊解法。     

关于伯努利方程的几种新解法

从一阶微分方程求解入手,归纳、总结出伯努利方程的三种新解法,这些新解法在学习和应用微分方程时给出解决问题的思维方式和思路,令人深思,它打破了沿用至今的伯努利方程的传统解法.     

函数方程的若干解法

给出了函数方程的若干解法,包括利用极限、利用导数的定义、变限积分的可导性以及利用求解微分方程等方法求解函数方程。     

列方程(组)解几何题举例

一些几何问题,若按一般的几何方法求解,则是费力不讨好,很难得出计算结果.若能利用方程或方程组,把几何问题转化为方程问题,则能峰回路转,水到渠成,得到简捷的解法。     

电磁学中代数方程的数值解法

对于使用传统方法难于求解的物理方程，利用计算机可以轻松得到解答。电磁学中常遇到求解代数方程的问题，本文引入了数值解法，并将牛顿法与数值解法做了比较。     

递推方程的两种特殊解法及其在程序设计中的应用

首先分析了常系数线性递推方程的一般解法。接着根据幂级数与生成函数的关系,将生成函数用于递推方程的求解。最后通过对经典问题——Hanoi塔的例子,利用MATLAB仿真,对递归和非递归程序的执行效率进行了比较,验证了求解递推方程的必要性。     

具有初等解法的黎卡提(Riccati)方程

黎卡提方程一般不能用初等积分法求解,但当黎卡提方程的系数满足一定的条件时,可以用初等积分法求解.本文给出了几种特殊的具有初等解法的黎卡提方程.     

超越代数方程图像解法的程序实现

超越代数方程只能用数值解法或图像解法近似求解．笔者给出一个实用超越方程图像解法TRUEBASIC程序．     

基于同伦分析的Falkner-skan方程近似解

运用同伦分析解法求解一类非线性Falkner-skan方程的近似解,并将所得结果与已有的方法进行对比.其结果表明,同伦分析解法不仅计算简单而且结果精确,是求解非线性Falkner-skan方程近似解的一种行之有效的方法.     

特殊分式方程的特殊解法

<正>解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程.而其一般步骤是将方程两边同时乘以各分母的最简公分母，去分母化成整式方程求解，然后验根.但会遇到一些特殊形式的分式方程，如果利用一般方法求解，会导致出现高次方程，使得计算变得复杂.因此，对于一些特殊的分式方程，可根据方程具体特点，灵活选取特殊的方法，简化求解的过程.下面结合具体的例题介绍几种特殊解法.