第14讲 判别式法

趣题引入 如图1，设Rt△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，求a的取值范围。     

延长巾线，一个妙招

例1在△ABC中,AB=5,AC=9,AD是BC边上的中线,求线段AD的取值范围．     

好题总有巧方法

<正>题目(2009年嘉兴中考题)如图1,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x.(1)求x的取值范围;(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;(3)探究:△ABC的最大面积?     

题库(十三)

1.已知AB是椭圆的一条弦,向量OA+OB=2OM,且OM=(2,1),以M为焦点,以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于点N(4,-1).(1)求椭圆的离心率e1;(2)设双曲线的离心率为e2,e1+e2=f(a).求f(a)的解析式,并求它的定义域或值域.2.在△ABC中,已知B(-3,0),C(3,0),D为线段BC上一点,AD·BC=0,△ABC的垂心为H,且AH=3HD.     

一个三角形线性不等式

设 P是△ ABC内部任意一点 ,P至边BC,CA,AB的距离分别为 r1 ,r2 ,r3 ,令 PA= R1 ,PB=R2 ,PC=R3 ,涉及三角形内部任意一点的不等式是一类十分有趣的几何不等式 ,最著名的是 Erdos- Mordell不等式R1 +R2 +R3 ≥ 2 (r1 +r2 +r3 ) . (1)本文将证明关于 (R1 ,R2 ,R3 )及 (r1 ,r2 ,r3 )与△ ABC半周长 s的一个线性不等式 .首先给出一个优美简洁的引理 .引理　设 P是△ ABC内部任意一点 ,则(R1 +R2 +R3 ) 2≥s2 +(r1 +r2 +r3 ) 2 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形且 P为中心时(2 )式取等号 .证明　令 BC=a,CA=b,AB=c,ha 为BC边…     

一道数学奥林匹克问题的简解

题目在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是边AB上的一点,线段CD的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N.若AD=a,BD=b(a、b是给定的正数),试求CM、CN的长度(用关于a、b的最简式子表示),并确定ab的取值范围[1].图1解:如图1,设CM=DM=x,作DP⊥AM于点P.则DP=a2=AP,MP=a 2b-x-a2=b2-x.由x2=a2     

一道题的发现、探究、运用

题目:如图1在△ABC中,DE∥BC分别交AB、AC于D、E两点,过点E作EF∥AB交BC于点F,请按图示的数据计算.(1)求平行四边形DBEF的面积S,(2)求△EFC的面积S1,(3)求△ADE的面积S2,(4)发现的规律是什么?解:(1)S=BF×3=2×3=6.(2)S1=12CF×3=12×6×3=9.(3)因为:DE∥BC,EF∥AB.所以四边形DBFE是平行四边形所以DE=BF=2,所以∠ADE=∠ABC.因为∠A=∠A,所以△ADE~△ABC.     

一例中考题的13种解法及其反思

例1(2011年四川泸州中考)如图*,点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC;(3)设PA,BC交于点M,若AB=4,PC=2,求CM的长度.解析:这是一例延用许多年的经典问题.其中(1)较为简单,由"圆周角"定理易知:∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,则∠BPC=∠APB+∠APC=60°+60°=120°.对于(3),解法较少,不做过多探究:由∠ABM=∠CPM,∠AMB=∠CMP,可得△ABM∽△CPM,则AMCM=BMPM=ABPC=42=2,设CM=x,则AM=2x,结合BC=AB=4,可知BM=     

一道试题的解法赏析

<正>题目如图1,在△ABC中,D是BC上的一点,E是AD上一点,且AB/AC=AD/CE,∠BAD=∠ECA.(1)求证:AC2=BC·CD;(2)若E是△ABC的重心,求AC2∶AD2的值.     

shc 97的加强及其它

△ABC的三边BC、CA、AB分别记为a、b、c,设P是△ABC内部任意一点,点P到边BC、CA、AB的距离分别记为r_1、r_2、r_3,∠BPC、∠CPA、∠APB的平分线长分别记为ω_1、ω_2、ω_3,设AP、BP、CP的延长线七分别交BC、BA、AB于L、M、N,且记AL=l_a,BM=l_b,CN=l_c;Σ表示对a、b、c轮遍求和.     

由向量关系式判断三角形形状

一、由向量运算性质来判断例1在ΔABC中,有AB→.BC→ AB→2=0,则△ABC为____三角形.分析:AB→.BC→ AB→2=0(?)AB→·(BC→ AB→)=0(?)AB→·AC→=0(?)AB⊥AC,则△ABC为直角三角形.例2已知0为△ABC所在的平面内一点,且满足(OB→-OC→)·(OB→ OC→-2OA→)=0,判断△ABC的形状.     

数学问题与解答 2008年第10期问题解答

746．如图1，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内一点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，M是边BC的中点，N是AP与BC的交点，若PD^2=PE·PF，求证：∠BPM=∠CPN．     

一道值得玩味的竞赛试题

题目（2013年全国高中数学联赛湖北省预赛试题）设G为△ABC的重心,过点G作直线分别交边AB、AC于点M、N,已知AB=2,AC=√3BC,求四边形MNCB面积的最大值．     

一个等腰三角形性质的推广和应用

文[1]中给出一个等腰三角形的性质定理: 定理1已知△ABC中,AB=AC,如果D为BC边上任意一点,那么AD<'2>-AB<'2>=BD·DC.     

直角三角形中一个定理的推广

在 Rt△ABC中,AC=b,BC=a,斜边 AB 上的高为 h,则1/(h~2)=1/(a~2) 1/(b~2).它有点类似于勾股定理,加以推广,即得类似于正、余弦定理的命题.定理在任意△ABC 中,BC=a,CA=b,AB=c,BC、CA、AB 边上的高分别为 h_a、h_b、h_c,则有     

一个几何命题及其应用

命题 已知△ABC及空间任意一点P,则有其中a、b、c是△ABC的三边长,G是它的重心。 本文用平面几何方法给出证明,并列举几例说明它的应用.证明中用到了如下斯台沃特(Stewart)定理:在△ABC中,D是BC上任意一点(如图1).若AB=c,AC=b,     

对一道中考题的延伸拓展

题目阅读材料：如图1（1）,△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为r_1、r_2,腰上的高为h,连结AP,则S_（△ABP）＋S_（△ACP）=S_（△ABC）.即1/2AB·r_1＋1/2AC·r_2=1/2AB·h.所以r_1＋r_2=h（定值）.     

只量一次

本文所述的是用刻度尺解决只度量一次的问题 ,此类问题如果不限定度量的次数 ,显然容易解决 ,如果限定只量一次 ,那就需要仔细揣磨 ,认真分析 .图 1　　　　　　　　图 21　通过测量计算长度例 1　如图 1,已知 :△ABC中 ,AB=AC =10 ,P为底边BC上任意一点 ,PE、PF分别垂直AB、AC于E、F ,只量一次 ,求PE PF的长 .分析　容易证明PE PF等于腰上的高BD(不再赘述 ) ,因此直接测量高BD即可 .另辟蹊径　 (如图 2 )同上 ,容易证明PE PF=BD ,作底边BC上的高AH ,由于S△ABC =12 AC·BD ,S△ABC =12 BC·AH ,所以AC·BD =BC…     

一道几何赛题的巧证及探源

2005年全国初中数学联赛E卷的一道几何赛题是: △ABC中,AB＜AC,I是内心,M是BC的中点,P是BC上的一点,且AO∥IM,Q是AP上的一点,若IMPQ为平行四边形,求证△MPQ为直角三角形.     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.