数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 1 53　如图 1 ,在△ABC中 ,∠C =90°,点D1、D2 在边BC上 ,且∠CAD1=∠BAD2 .求证 :AC2AD1·AD2≤ BC2BD1·BD2.(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)初 1 54　已知一个凸 2 0 0 5边形的所有顶点都在边长为 2 0 0 5的正方形内 .证明 :必有两条边的边长之和不大于 8.(王连笑　天津市实验中学 ,30 0 0 74 )高 1 53　若x、y、z都大于 1 ,求证 :x4(y - 1 ) 2 + y4(z- 1 ) 2 + z4(x - 1 ) 2 ≥4 8.(厉　倩　长沙市第十五中学 ,4 1 0 0 0 7)高 1 54　将编号为 1 ,2 ,… ,n(n≥6 )的n个球顺次摆放在圆周…     

数学奥林匹克问题

本期问题初1 35　设ABCD是单位正方形,E、F分别是边CD、BC的中点,AE交对角线BD于点P ,AF分别交BD、BE于点Q、R .( 1 )求证:AB、PR、EF三线共点;( 2 )试求四边形PQRE的面积.(吴伟朝　广州大学理学院数学系,51 0 4 0 5)初1 36　已知集合M ={A|A是各位数字互不相同的十位正整数,且1 1 1 1 1 |A}.求|M| .(江厚利　安徽省安庆市第一中学,2 4 6 0 0 4 )图1　　高1 35　如图1 ,E是△ABC所在平面上的一点,满足∠EBA =∠ECA ,F、J是过点E分别作∠BAC的内、外角平分线的垂线的垂足,D是BC的中点.求证:D、F、J三点共线.(郭要红…     

一例中考题的13种解法及其反思

例1(2011年四川泸州中考)如图*,点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC;(3)设PA,BC交于点M,若AB=4,PC=2,求CM的长度.解析:这是一例延用许多年的经典问题.其中(1)较为简单,由"圆周角"定理易知:∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,则∠BPC=∠APB+∠APC=60°+60°=120°.对于(3),解法较少,不做过多探究:由∠ABM=∠CPM,∠AMB=∠CMP,可得△ABM∽△CPM,则AMCM=BMPM=ABPC=42=2,设CM=x,则AM=2x,结合BC=AB=4,可知BM=     

2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛

一、选择题 (每小题 5分 ,共 50分 )1 .如果x y =1 ,x2 y2 =3,那么 ,x3 y3的值为 (　　 ) .(A) 2 (B) 3(C) 4(D) 5图 12 .如图 1 ,在△ABC中 ,∠ABD =∠DBE =∠EBC ,∠ACD =∠DCE =∠ECB .若∠BEC=1 4 5°,则∠BDC等于 (　　 ) .(A) 1 0 0° (B) 1 0 5° (C) 1 1 0° (D) 1 1     

问题3·10

如图1,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=1,BC=3~(1/2).(1)在△ABC 内找一点 P,使∠APC=∠APB=∠BPC=120°.(通过作图找出点 P,写出作图的主要步骤,不需证明.)(2)在(1)的作图中,若设 AP=x,BP=y,CP=z,求 x+y+z 的值.     

一道竞赛题的拓广探索

在1997年安徽省初中数学竞赛中,有这样一道题:例1如图1,在△ABC中,∠BAC=90°AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF.分析:过C作CM⊥AC交AF延长线于     

数学奥林匹克问题

本期问题图1初191如图1,△ABC内接于⊙O,AC>BC,点D1、D2在AC上,且AD1=BCD2,联结AD1、AD2、CD1、CD2.求证:AD1·AD2=AC·BC+CD1·CD2.(郭璋北京市朝阳区教育研究中心,100028)图2初192如图2,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、CD上,且AE=1mAB,DF=1nDC,DE与AF相交于点G,GH⊥AB,垂足为H.试用m、n的代数式表示AABH的值.(田永海黑龙江省绥化市教育学院,152054)高191在△ABC中,求证:cos4A1+cos2A+1+cocso4sB2B+1+cocso4sC2C≥230.(张俊江苏省兴化市昭阳中学,225700)高192如图3,点P在△ABC内部,且满足∠PAB=∠PB…     

2007年第12期问题

139.A为整数,B为小数,且B的小数位数不大于3,A、B均大于0,且A B=AB,求符合条件的所有A、B一共有多少组?(湖南长沙岳麓区教研室410013张新春提供)140.如图,在△ABC中,AE是∠BAC的平分线.过A、E两点作圆,交BC于另一点D,与AB、AC分别交于点F、G.若BF=CG,求证:AD是BC边上的中线.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)AB CD EGF141.在△ABC中,a、b、c表示三边长,ma、mb、mc表示三边上的中线长.求证:ma mb mc≤!ab cma !ba cmb !ca bmc.(安徽省芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)142.在实数范围内解方程(x2 y2)2 1=x2 y2 2｜x｜y.…     

构建“∠1=∠2”模型创设三角形相似

1 起因笔者所在的学校期末考试卷中有这样一道题:问题1 如图1,在△ABC中,AB=AC=1,点D、E在直线BC上运动,设BD=x,CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x的函数关系式;(2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α、β满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数关系式还成立?试说明理由.     

数学奥林匹克问题

本期问题初173如图1,在正方形ABCD中,以图1点A为圆心、AB为半径画弧BD交AC于E,⊙O1与AB、AD相切且与BD内切,⊙O2与CB、CD相切且与BD外切,过点E作⊙O1的切线PE交CD于P.求证:∠APO1=∠CPO2.初174已知ABCD是一个正方形,点M(异于点B、C)在边BC上,线段AM的垂直平分线l分别交AB、CD于点E、F.(1)问:BE与DF谁更长?请说明理由.(2)若AB=1,求|BE-DF|的取值范围(点M取遍线段BC内部的每一个点).高173已知x、y、z∈R+,x+y+z=1.求证:x12-xy12-yz12-z≥2363.高174设S={1,2,…,n}.求最小自然数n,使当任意将S划分成两个子集时,总…