三角函数中的“三兄弟”

下面以三角函数中的 sinx cosx、sinx-cosx和 sinxcosx 三者的联系为例,谈谈对以上观点的认识。定理1,若sinxcosx=t(|t|≤12),则sinx cosx=± 1 2t,sinx-cosx=± 1-2t证明:因为sinx cosx=t,所以sin2x=2t,又|sin2x|≤1,故|t|≤12.设sinx cosx=y,两边平方得1 2sinx cosx=y2,y2=1 2t,y=± 1 2t,即sinx cosx=± 1 2t(正负号由x的范围确定).同理可证sinx-cosx=± 1-2t.定理2,若sinx cosx=t(|t|≤ 2).则sinx cosx=t2-12,　sinx-cosx=± 2-t2证明:因为sinx cosx=t,所以 t= 2sin(x π4),得|t|≤ 2.两边平方得1 2sinx cosx=t2,则sinx cosx=t2-1…     

用均值不等式求最值易陷于的一些误区

均值不等式是解决最值的重要工具,但由于其约束条件苛刻,不少同学在使用时常常顾此失彼,导致解题失误.下面以同学们易陷于的误区举例分析如下:一、忽视等号成立条件例1求y=sinxcosx+sinx1cosx(0相似文献   

(sinx±cosx)~2=1±2sinx cosx的妙用

在三角函数中,等式(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx涉及如下三项:sinx+coxx,sinx-cosx,2sinxcosx.这三项中只要知道其中一项,就可求出其他两项,给解题带来了极大的方便.也是考试命题的一个热点.下面结合一些实例说明它的作用与功能.1.化简或证明三角函数式     

浅谈“sinx cosx的值”

在三角函数中由"sinx cosx的值"求sinx-cosx或sinxcosx的值时,很多学生往往因不清楚"sinx cosx的值"隐含着什么,从而导致了求sinx-cosx或sinxcosx的值出现差错。下面我们就谈一谈"sinx cosx的值"。     

三角函数问题的常见错误

三角函数由于内容繁杂、公式众多、变换复杂,同学们在解题时稍有不慎就会进入误区且不易觉察,本文列举几类常见错误并分析如下,供参考.一、忽视定义域致误例1 求函数y=4sinxcosx/1+sinx+cosx的值域.错解:令sinx+cosx= 2 sin(x+π/4)=t,则     

浅谈求解数学中的最值问题

在很多实际问题中 ,我们要面对各式各样的最值问题 ,利用三角函数的最值 ,如正、余弦函数y=Asinx ,y =Acosx的有界性 ,数学中的均值不等式 ,函数的单调性等知识结合起来 ,常常能使问题化腐朽为神奇 ,在解题的思路、技巧上 ,有章可依、有规可寻 ,使问题得到快速、圆满的解决 现举数例加以说明 :例 1:设f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx ,x∈ [0 ,π2 ],(1) ,求f (π12 ) ,(2 )求f (x)的最小值 例 2 :求f (θ) 4sinθcosθ - 1sinθ cosθ 1,θ∈ [0 ,π2 ]的最值 上两例是典型的三角函数最值应用题 ,其思路可能是利用正、余弦函数的有界性 |sinx|≤ 1,|cosx|≤ 1或利用均值不等式、或利用函数的单调性 ,经过适当三角变换 ,使问题得到解决 例 1求解如下 :f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx =sin2x 522sin (x π4 ),当x =π12 时 ,f (π12 ) =sin π6 522sin π3=6 注意f (x) =1 2s...     

三角解题失误例析

三角函数是中学数学的重要内容之一,除具有一般函数的性质以外,还具有一系列特殊的性质,求解时,稍有不慎就会进入误区且不易觉察.多年来的教学发现,三角解题有以下几类常见失误,本文归纳如下:1 忽视函数定义域例 1 求函数y=4sinxcosx/1+sinx+cosx的值域.误解:令sinx+cosx=2~(1/2)sin(x+π/4)=t,则t∈[-2~(1/2),2~(1/2)]     

单调性的应用(高一、高二、高三)

1.求方程的根 例1 求满足方程2sin2x sinx-sin2x=3cosx的锐角x的值.(03年湖南省高数竞) 分析 对于同一单调区间内的两个变量x1,x2,若f(x1)=f(x2),则必有x1=x2. 解 因为 x为锐角,所以 cosx≠0.方程两边同除以cosx得 2sinx·tanx tanx-2sinx=3,即 (2sinx 1)(tanx-1)=2.因为 函数f(x)=(2sinx 1)(tanx-1)在(0,π/4)内f(x)<0,在[π/4,π/2)内严格单调递     

等式中的和谐关系

诸式、变量共于一个等式之中 ,和谐共处 .和谐 ,体现在运动与静止、变化与平衡之间的矛盾与统一上 .这种量与量、式与式的和谐关系 ,反映出各式、各量之间的互相制约与协调 ,也体现了等与不等的辩证思维的渗透 .1　范围的和谐若式子 f(x)与 g(x)之间存在着特定等量关系 ,则它们的范围制约一方面来自于自身的有界 ,另一方面来自于等式的限制 ,于是 ,f(x)与 g(x)的取值范围就在这一矛盾中得以张扬与收敛 .例 1　若sinx +cosx=15 ,x∈ (- π2 ,π2 ) ,求cos2x .分析　由sin2 x+cos2 x =1,于是有 2sinxcosx =- 2 42 5 <0 ,所以x∈ (- π2 ,0 ) ,…     

思考题(十)

题36.解方程组: {sinx+siny=1,① cosx+cosy=1.②题37.对于所有的实数x,证明: |cosx|+|cos2x|≥1/2~(1/2).又,等号在什么时候成立? 题38.已知:如图,⊙O_1与⊙O_2交     

三角函数最值的求解方法

一、利用三角函数的性质求最值1.若函数形如y=asinx+b(或y=acosx+b),可直接利用函数的下列性质来求解:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1.例1求函数y=sin(x-π6)cosx的最值.解析y=sin(x-π6)cosx=12[sin(2x-π6)-sinπ6]=12sin(2x-π6)-41.当sin(2x-π6)=1时,ymax=21-14=41;当sin(2x-π6)=-1时,ymin=-21-41=-43.2.若函数形如y=acssiinnxx++db(或y=acccoossxx++db),先逆向解得sinx(或cosx)的表达式,再结合性质｜sinx｜≤1(或｜cosx｜≤1)来求解.例2求函数y=8cos2x+83cos2x+1的最值.解析由原式逆向解得cos2x=38y--y8,由0≤cos2x≤1,得0≤8-y3y-8≤1,解…     

函数最值问题例析

函数作为高中数学的主干知识,在历年高考中始终是“重点内容重点考查”.而函数最值问题作为函数知识考查的热点,在近年高考试题中屡见不鲜.现就实例进行剖析,展现函数最值问题求解的几种常用方法.例1求函数y=sinx cosx sinx·cosx在x∈[0,π2]上的最大值、最小值,并求出相应的x取值.分析在函数解析式中同时出现了正弦、余弦两个基本函数,分别以和、积形式出现.如何将两个不同变化规律函数统一呢?正弦、余弦函数和与积之间的特殊关系为我们提供了思路,即2sinx·cosx=(sinx cosx)2-1,采用换元法.令t=sinx cosx,则t=姨2sin(x π4),又x∈[0,π2]…     

再谈一个三角问题的解决

文[1]给出了如下一个三角问题:求函数y=sinx cosx sinxcosx(x∈R)的最大值.对此文[1]给出了六种解法,读后受益非浅.作为对文[1]的补充,本人对这个三角问题再给出六种不同的解法,供同行们研讨.     

三角函数自测题

一、填空题(每题3分)1.已知cosθ>0,sinθ<0,则θ为第象限角.2.若点P(2,y)为角α终边上的一点,且tanα=2,则y=.3.已知α是第二象限角,且sinα=31,则cotα=.4.函数y=cos(2x 3π)的最小正周期是.5.已知sinx=54,cosx=53,则tan2x=.6.若y=sinx acosx为奇函数,则实数a=.7.已知函数f(x     

用(sinx±cosx)~2=1±2sinxcosx解题

在三角函数解题中常用到(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx,用这个公式解题,能够达到化繁为简,化难为易的效果. [例1] 已知sina-cosa=1/5,且a∈(π,3/2π),     

解高考三角题的几种技巧与方法

解高考三角题时,如果选择方法适当巧妙,可使复杂问题转化为简单问题,以至收到事半功倍的效果.下面介绍一些常用技巧与方法. 一、代数替换在三角函数问题中,若sinx±cosx与sinxcosx同时出现,可设t=sinx±cosx,把问题转化成关于t的二次函数,避开三角式讨论的麻烦.     

例谈三角函数知识的复习目标

复习三角函数知识的第一个目标是把所给的三角函数式通过适当的变形(三角变形、代数变形)化为y=Asin(ωx+)+a或y=Acos(ωx+)+a(其中A≠0,ω≠0)的形式,再求它的最小正周期、最大值(或最小值)和单调区间,画出它的图象.这类试题在近几年的高考试卷中经常出现.请看下面的高考题.1.(2003年全国高考题)函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是()A.1+2√B.2√-1C.2√D.22.(2003年全国高考题)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间犤-π2,π2犦上的图象.3.(2003年北京…     

2018年高考理科数学全国(Ⅰ)卷第16题几种解题思路

<正>问题(2018年高考理科数学全国(Ⅰ)卷第16题)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是______.解法赏析思路1f(x)=2sinx+sin2x,由周期函数不妨设x∈[0,2π],f'(x)=2cosx+2cos²x=2(2cos2x=2(2cos²x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).     

三角函数最值探求六法

三角函数最值问题 ,其求法颇多 ,笔者根据多年的教学实践 ,将其化归为以下几种常见类型 ,供读者参考 .一、利用三角函数的值域 | sinx|≤ 1,| cosx|≤ 11. y =asinx +basinx +d或者 y =acosx +bccosx +d型例 1　求函数 y =3- 2 cosx2 +cosx 的最值 .解 :2 y +ycosx =3- 2 cosx,( 2 +y) cosx =3- 2 y,cosx =3- 2 y2 +y,∵ |cosx|≤ 1,∴ 3- 2 y2 +y ≤ 1,( 3- 2 y) 2≤ ( 2 +y) 2解得 13≤ y≤ 5,∴ ymax =5,ymin =13.点评 :此题利用反函数法求出 cosx的表达式后利用余弦函数的有界性求得最值 .2 .和积互化型例 2　求函数 y =sinx[sinx - sin…     

三角函数巧解法,思维体操优能化

数学是“思维的体操”. 数学公式看似简单,若仔细探究,实则变化无穷.初中数学、高中数学中,几何知识、代数知识之间紧密联系,尤其是三角函数的题目,方法众多.下面用一道经典的三角函数题为例来详细说明. 求证:cosx/1-sinx=1+sinx/cosx [分析]证明等式的一般方法: (1)从左边证明到右边,如证明二,证明三. (2)从右边证明到左边,如证明七,证明八. (3)作差法,如证明四.