再谈介于调和平均和算术平均间的平均值链

本文将文[1]中的平均值进一步统一在更加广泛的平均值下,并且给出了新平均值的序关系.一、平均值的推广设a_1,a_2,…,a_n为几个给定的正数,沿用文[1]的记号,和式S_k=∑a_(i1)a_(i2)…a_(ik)表示从a_1,a_2,…,a_n中无序不重复取出k个数作出的所有乘积之和,并规定S_0=1.在文[1]中,我们已经得到以a_1,a_2,…,a_n为边长的n维长方体的k维表面积为2~(n-k)∑a_(i1)a_(i2)…a_(ik)=2~(n-k)S_k①(1≤k≤n)     

算术—几何平均值不等式两种新证法

算术——几何平均值不等式的内容是“若干正数的算术平均值不小于它们的几何平均值”。即 1/n(a_1+…a_2+…+a_n)≥(a_1a_2…a_n)~1/n。     

不等式“H≤A”应用举例

n/(1/a_1 1/a_2 … 1/a_n),(a_1 a_2 … a_n)/n分别称为正数a_1,a_2,…a_n的调和平均和算术平均,依次记为H,A我们有不等式H≤A,仅当a_1=a-2=…=a_x时取等号。灵活运用这一不等式可证明一些较困难的不等式。     

两个重要不等式的一般化

对于任意两个正数a和b,它们的算术平均值A、几何平均值G、调和平均值H三者之间有如下关系A≥G≥H,即式中等号当且仅当a=b成立.这两个重要不等式是中学生熟悉的.将这个结论推广到任     

一些存在性问题的解法

(本讲适合初中) 首先,我们介绍存在性原理,这是指如下关于实数的命题: 命题1 设有n(n≥2)个实数a_1,a_2,…,a_n,如果a_1 a_2 … a_n=A,则必存在实数a_i,a_j(1≤i,j≤n),使得 a_i≥A/n,a_j≤A/n。     

关于平均值H≤G≤A≤C的统一证明

对于两个正数a和b,有各种各样的平均值概念,常见的有这里所述的几个平均值之间有着重要的关系式:H≤G≤A≤C.(1)众所周知,这个关系式可用多种方法证明.本文首先引述一种关于定义平均值的新方法——Moskovitz方法,然后,再在这个定义下,简单地、一次性地证明关系式(1).这种处理方法,既有利于我们认识诸平均值概念间的内在联系,又为初学微积分的人提供了一个利用微积分知识解决问题的美妙例题.     

算术——几何平均值定理的推广图式

n个非负实数a_1,…,a_n的算术平均数与几何平均数之间有这样的关系: (a_1+…+a_n)/n≥(a_1·…·a_n.)~(1/2) (1)其中“=”当且仅当a_1,=…=a_n时成立。这就是著名的算术——几何平均值定理。这个定理的证法很多,在此就不再赘述了。本文主要介绍算术——几何平均值定理的一个推广图式,以及它在证明不等式中的应用。为便于叙述,我们记     

等差数列一个性质及应用

性质:设{a_n}为等差数列,则(1) 1/(2k-1)sum from i=1 to (2k-1)(a_i=a_k).(2)1/2k sum from i=1 to 2k(a_i=(a_k a_(k 1))/2).此性质可叙述为:等差数列奇数项的算术平均值等于中间一项;等差数列偶数项的算术平均值等于中间两项的算术平均值.证明:设d为等差数列{a_n}的公差,则a_i=a_k (i-k)d=(a_k-kd) id(i=1,2,…)应用这个性质,可给出一些高考数列题的简解.例1.在等基数列{a_n}中,若a_3 a_4 a_5 a_6 a_7=450,则a_2 a_8的值等于( ).(A)45,(B)75,(C)180,(D)300.(1991年上海高考题)     

2009年高考数列交汇题的三大题型

数列与集合交汇例1(北京卷)已知数集A={a_1,a_2,…,a_n}(1≤a_1     

第52届IMO试题解答

1.对任意由四个不同正整数组成的集合A={a_1,a_2,a_3,a_4},记S_A=a_1+a_2+a_3+a_4.设n_A是满足a_i+a_j(1≤i     

用均值不等式求函数最值的常见错误分析

在中学代数中,均值不等式指的是算术——几何平均值不等式:若a_i＞0(i=1,2,…,n),则(a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n,)~(n/(a_1a_2…a_n,))当且仅当a_1=a_2=…=a_n时,上式取等号(中学只讲二元、三元均值不等式)。     

算术——几何平均值不等式的几则数学归纳法证明

《高中数学第三册教学参考书》给出了算术——几何平均值不等式的两种归纳法证明。(其中一种是用反向归纳法)。但是,这两个证明都比较繁、从历史角度来看(参看[1]),用通常的数学归纳法来证明这一不等式也是较困难的事。因此,在这里我们介绍它的一些较简单的归纳法证明,供大家数学时选用,参考。算术——几何平均值不等式指: 定理当a_i,i=1,2,…,n,为正数时,有 (a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n) (1)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立, 为了方便,今后我们使用下列记号: A_n=(a_1 a_2 … a_n)/n,G_n=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 当a_1=a_2=…=a_n时,(1)式中等号成立是显然的。故下面我们只须证明,当a_1,a_2,…,a_n不全相等时,必有A_n>G_n,即达目的。     

平均值不等式的证法分析——数学兴趣小组活动材料之一

在现行高中课本第二册的教学参考书中,介绍了平均值不等式的下列比较一般的形式: 平均值不等式:设a_1,a_2,…,a_n皆为非负实数,则其算术平均数A,必不小于其几何平均数G_n,即     

五种平均数的几何解释（初三）

设0相似文献   

一个不等式的推广

题目若a_1,a_2,a_3,a_4∈R~ ,a_1 a_2 a_3 a_4=S,求证:(a_1~3)/(S-a_1) (a_2~3)/(S-a_2) (a_3~3)/(S-a_3) (a_4~3)/(S-a_4)≥(S~2)/12．①(《数学通报》2007年第3期数学问题解答1660)原作者运用算术一几何平均值不等式给出了一种简捷明快的证法,笔者读后颇受启发．本文将不等武①从变量的个数和指数上进行推     

算术平均值——几何平均值定理的一个新证明

在高中数学第三册中我们已知下面的重要定理: 定理 n个(n是大于1的整数)正数的算术平均值不小于它们的几何平均值,即如果a_1,a_2,…,a_n为n个正数,则(a_1+a_2+…+a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n成立. 由于这个定理的重要性,人们对它作出了各种各样不同的证明,这些证明体现了很多巧妙的想法.其中很多种证法都使用了数学归纳法,最常见的是法国著各数学家Cauchy提出的两种数学归纳法证法(即《高     

康托洛维奇不等式的两种证明

已知a_1,a_2,…,a_n为实数,满足 a_1 a_2 … a_n=1,又A1,A2,…,人为实数,且0<人≤久:≤…≤人,则     

一个代数不等式猜想的否定

文献[1]提出如下一个代数不等式猜想:猜想设 a_1>0,i=1,2,…,n,3≤n∈N.证明或否定:f(a)a_1/a_1a_2…a_(n-1) a_2aa_2…a_(n-2) … a_1 1 a_2/a_2a_3…a_2a_3…a_(n-1) … a_2 1 … a_n/a_1…a_(n-2) a_na_1…a_(n-3) … a_n 1≤1.文[1]作者指出:当 n=3时已给出初等证明,当 n≥4时仍为猜想.笔者指出:当 n≥4时,此不等式猜想不成     

由08年高考安徽卷中的一道题引起的探究

2008年高考安徽卷中有这样的一道选择题:设(1 x)~8=a_0 a_1x … a_8x~8,则a_0,a_1…,a_8中奇数的个数为____.(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.由于a_0,a_1,…,a_8都是二项式系数,故考生大都是将它们翻译成数学式子后通过计算而获解的,当然若利用组合数性质C_n~m=C_n~(n-m) (m、n∈N_ ,且m≤n)去处理,则会更快一些.笔者认为本题难度不大,但是它容易使我们     

利用排序原理证明不等式补充举例

设有两个数列a_1≤a_2≤…≤a_n, (1)b_1≤b_2≤…≤b_n (2)在(1)中每任取一数 a_(ik)与(2)中每任取一数 b_(jk)。相乘 a_(ik)·b_(jk),并将这样得到的乘积相加:sum ∑ from k-1 to n a_(ik)·b_(jk),(3)则排序原理断言:存一切形如(3)的和中,以a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n为最大,而以