例谈二项展开式指定项系数的求法

二项式定理是每年高考的必考内容，而二项展开式指定项系数的求法又是其中一个重要的考点．怎样准确、迅速地求出指定项的系数呢？     

求多项展开式中指定项的方法

形如(a b)~n(n∈N)的展开式中,当a、b为单项式时,可直接利用二项展开式的通项公式,求出其中指定项或指定项的系数,本文介绍当a、b为多项式时,求(a b)~n展开式中指定项(系数)的几种常用方法。     

从困惑到解惑得益于科研先行

困惑点1为什么只要第r＋1项的系数绝对值与前后相邻两项的系数绝对值一比较就可以求出“系数绝对值最大项”的r值？有什么理论依据？能否拿第r＋1项的系数绝对值与其他任意两项的系数绝对值比较也可以确定“系数绝对值最大的项”的值？     

一类二项系数求和通法

本文利用二项式定理探讨二项系数列的一类子列的求和问题,从而得出一类二项系数的求和公式,为此,我们给出如下定义: 定义对于二项系数列C_n~0,C_n~1,C_n~n,先从最左边开始取第p(p∈N)项作为子列的第一项以后每隔r-1(r∈N,p≤r≤n)项取一项依次作为子列的第二项、第三项,…直到取尽为止,得到二项系数列的一个子列: C_n~q,C_n~(q r),C_n~(q 2r),…称为二项系数列的一个r步子列。     

二项式定理教法研究

二项式定理是研究(a b)~n(n是自然数)的展开式中各项的系数、指数,项数以及符号的规律。本专题教材的基本要求是: 1.当次数不太高即3相似文献   

例析二项展开式的通项公式及应用

(a+b)n的展开式的通项为 Tr+1=Cnra(n-r)br(0≤r≤n). 应用通项公式Tr+1=Cnra(n-r)br时应注意以下几点:①通项公式是表示第"r+1"项,而不是 第r项;②展开式中第r+1项的二项式系数Cnr与第r+1项的系数不同;③通项公式中含有a, b,n,r.Tr+1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求第五个元素,在有关二项式定理的问 题中,常遇到这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式, 把问题归蚋为解方程(或方程组),这里必须注意n是正整数,r是非负整数,且r≤n.下面就其应 用举例说明:     

关于“二项式系数的一条性质”教学的建议

我认为讲授“二项式系数的性质”一节中第二条性质这样处理可能较好一些;先用不等式的知识证明系数C_n~0、C_n~1、…、C_n~r、…、C_n~n的左半段严格递增,再用第一条性质即可比较自然地得出中间有一项最大或有两项相等而且最大的结论,具体作法如下: 证明 n为偶数,当r 1≤n/2时,系数的左半段递增,中间恰有一项最大。事实上,由r 1≤n/2,得n/(r 1)≥2,故 (C_n~(r 1))/(C_n~r)=(n 1)/(r 1)-1=n/(r 1)-1 1/(r 1) ≥2-1 1/(r 1)>1。     

例析二项展开式的通项公式及应用

一、求展开式中的特定项 在二项展开式中,有时存在一些特殊的项,如常数项、有理项、系数最大的项等等,这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式Tr 1,然后依据条件,先确定出r的值,进而求出所求项.     

二项式定理及其应用

内容概述二项式定理(a+b) (n∈N)是二项式n次幂的展开式.其通项公式即第r+1项是Tr+1=Crnan-rbr(O≤r≤n),通项公式主要用于解决某个特定项问题.而二项展开式系数Crn有如下一些性质在解题中经常用到. 1.组合恒等式:Cn-mn=Cmn. 2.当n为偶数时,中间项Tn/2+1的二项式系数最大;当n为奇数时,中间二项Tn+1/2+1和Tn+3/2+1的二项式系数相等且最大.在解决展开式中绝对值最大的项等一类问题:常需解不等式|Tr+1|≥|Tr|和|Tr+1|≥     

利用次数分配法速解二项式系数

解答与二项展开式的项的系数有关的问题,常规的解法是根据(a b)n的二项展开式的通项公式Tr 1=Cnran-rbr,整理为有关字母的指数形式,再令指数为满足条件的次数,求出r的值进行解答.但其过程     

米粒之珠也放光华——二项式通项公式应用的一个小技巧

在二项式定理（a＋b）n=∑0r=0Cnran-rbr中,通项公式Tr＋1=Cnran-rbr有着广泛的应用,如求指定的项、满足某种条件的项（常数项、含xk的项、有理项、系数最大或最小的项等）或其系数．其中求常数项、含xk的项、有理项等题型,在各类考试中几乎是必考题型．     

用待定系数法探索不等式问题的解题思路

在解不等式问题时 ,调整系数、拆项、补项是常用技巧 .但调整系数、拆项、补项时 ,既要考虑不等式的结构 ,又要符合相关要求 ,难以直接确定 .此时若用待定系数法 ,就可兼顾几方面要求 ,只需求出待定系数就行了 .例 1　已知 :1≤ 3x+2 y≤ 3,2≤ x+3y≤5 ,求 5 x+8y的取值范围 .分析　用 3x+2 y及 x+3y将 5 x+8y表示出来是解题的关键 .设 5 x+8y=m(3x+2 y) +n(x+3y) =(3m+n) x+(2 m+3n) y(m,n为待定系数 ) .由 3m+n=5 ,2 m+3n=8,解得 m=1,n=2 .解　 5 x+8y=(3x+2 y) +2 (x+3y) ,∵ 2≤x+3y≤ 5 ,∴ 4≤ 2 (x+3y)≤ 10 .又 1≤ 3x+2 y≤ 3,∴ …     

高考二项式定理问题分类解析

一、展开式中的某一指定项例1(2004年河南、河北、山东、山西、安徽、江西高考题)(2x3-1x姨)7的展开式中常数项是()A.14B.-14C.42D.-42解析Tr+1=Cr7(2x3)7-r(-1x姨)r=(-1)rCr7·27-r·x21-7r2,由题意知21-7r2=0,得r=6,即展开式中常数项是第7项,T7=(-1)6C67·2=14,故选A.评析直接利用通项公式进行求解.二、求展开式中某一指定项的系数例2(2004年甘肃、新疆、宁夏、青海高考题)(x-1x姨)8展开式中x5的系数为_____.解析利用公式Tr+1=Crnan-rbr求得Tr+1=(-1)rCr8x8-3r2.令8-32r=5,得r=2,进而得到x5的系数为28,故填28.例3(2004年江苏高考题)…     

例析速解二项展开式的任意项及其系数

二项展开式的指定项或指定项的系数是高中数学重要的内容,在高考题中经常出现.研究二项展开式的任意项及其系数求法具有现实意义.     

“次数分配法”速解二项展开式的项的系数问题

解答与二次展开式的项的系数有关的问题 ,常规的解法是根据 ( a+ b) n 的二项展开式的通项公式 Tr+1 =Crnan- rbr,整理为有关字母的指数形式 ,再令指数为满足条件的次数 ,求出 r的值进行解答 .但其过程较繁 ,且运算量也相对较大 .本文将提供一种较为简单且快捷的“次数分配法”来解答此问题 .因为从 ( a+ b) n 的二项展开式的通项Tr+1 =Crnan- rbr的结构可以看到二项展开式每一项由三部分积构成 :二项式系数 Crn、( a+ b) n中第一项 a的 n- r次幂 an- r和第二项b的 r次幂 br,其中后两个的次数和恰为 n.根据这个特点 ,结合题目中提供的字母…     

二项式定理问题的题型与解题思路

下面通过对一些例题的分析,谈谈与二项式定理有关的问题的题型与解题思路. 一、求展开式中的某一项在二项展开式中,有时存在一些特殊的项,如常数项、有理项、系数最大的项等等,这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式Tr+1,然后依据条件,先确定出r的值,进而求出所求项.     

一定二通三性四法谈二项式

二项式定理是排列、组合知识应用的重要方面 .又是发现推导新的组合恒等式的重要途径 .二项式定理应用的主要方面有 :求展开式中的某一项或某一项系数的问题 ,求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题 ,求二项式某一项中字母的值的问题 ,求近似值的问题等等 .下面我们就其基本知识方法和作了一些归纳 ,希望对同学们有所帮助 .基本知识 :(一定 )即二项式定理本身 :( a + b) n =C0nan + C1nan- 1b +… + Crnan- rbr +…+ Cnnbn ( n∈ N * )(二通 )即通项公式 :Tr+ 1=Crnan- rbr( 0≤ r≤ n)(三性 )即二项式系数性质 :( 1)对称性 :…     

速解二项式展开式中指定项系数问题

文章首先探讨了在解决二项式展开式中指定项的系数问题,对形如(axp+bxq)n展开式中xm的系数类型,直接给出求r的一般通法.接着通过对含x单变量类型和含有xy双变量类型问题举例分析,说明通法模型的使用.最后,补充了几个模型,供读者验证.     

二项式定理应用题型例析

二项式定理的应用较广,本文结合近年来高考试题,进行分类例析. 一、求特定项例1 (2000年上海)在二项式(x-1)11的展开式中,系数最小的项的系数为____(结果用数值表示). 解:展开式第r+1项为C11rx11-r(-1)r.要想项的系数最小,则r为奇数,且使C11r为最大,由此得r=5.所以系数最小项的系数为     

数学参考题

1.先求出 q 与 r 的值∵(q~2+r/2)=1979 ∴q~2+r=39583958开平方的整数部分是62,我们来证 q=62。由题意知(a~2+b~2/a+b)r设 q≥63,则 q~2≥3969,得 r≤-11,与 r≥0矛盾,