连续函数的一个性质及其在解不等式中的应用

将连续函数的性质应用到一元不等式和二元不等式的解法中,并对不等式的解集进行分析讨论,导出不等式的一般性解法和解法步骤,使得解不等式的问题转化为解方程和判定函数值符号的问题,从而使得解不等式有一个普遍性的解法。     

一元高次不等式解集定理及其应用

黎友源于1982年创建了一元高次不等式解集定理,填补了代数学中的一项空白。是1978年—2000年全国研究数学不等式的七项国家科技成果之一。一元高次不等式解集定理和一元高次不等式的公式解法,为改进高等师范院校代数学不等式教学和高级中学数学不等式教学,提供了很好的理论和方法。     

零点分区法解不等式

在高中数学中,数轴标根法是解一元高次不等式的常用手段.而这种方法是建立在多项式理论的基础上得到的,因此有一定的局限性.本文利用连续函数的介值定理,作为数轴标根法的一种推广,给出了初等不等式(基本上可包括几乎所有类型的不等式)的一种统一解法(笔者将此法称为"零点分区法"),并结合几个例子来谈谈它在不等式中的应用,以期对大家有所启示.     

关于半连续函数若干性质

本文在半连续函数定义基础上，结合闭区间套定理，有限覆盖定理得出半连续函数若干性质。     

连续函数的凹凸的三个等价定义及用其证明不等式

在数学分析和高等教学教材中，一般常见到连续函数凹凸的定义有两种，本又引出一个定义，并论证了这三个定义是等价的。从而加深和拓宽了对连续函数凹凸性的认识和理解。另一方面，中列举了不同各异的典型例题，从中可看出若利用这三种定义来证明一些不等式，较之其他方法如微分中值定理等，更加简便。从而为证明一些不等式提供了新的途径，对线性函数与非线性函数比较大小找到了更加精练的方法。     

一个不等式性质的解题功能

对于大家非常熟悉的一个不等式性质:(x-a)(x-b)＜0(a＜b)a＜x＜b,学生往往只用它来求一元二次不等式的解集,而对它的一些深层次的应用却知之甚少,缺乏利用此不等式性质解题的意识.本文将结合实例就该不等式性质在处理某些不等式问题时的功能作些探究,供参考.     

一个分式型不等式定理及其应用

探究了一个分式型不等式定理，得到了几个重要结论和推论，进而获得几个名不等式的加强式和其推广式，或与其类似的不等式，使此类问题简洁，系统化。     

一个代数不等式及其应用

设ai、bi∈R(i=1,2,…,n),则(n∑i=1a2i·n∑i=1b2i≥(n∑i=1aibi)2),等号当且仅当(a1/b1=a2/b2)=…=an/bn时成立,这就是著名的柯西不等式.若在此不等式中作如下代换:令ai=(√xi),bi=(√yi),即得如下定理:     

连续函数性质的前置证明

连续函数是分析学研究的重要对象，特别是它在闭区间上所具有的良好特性是人们研究函数性态的重要手段之一。考虑到所用教材在该问题证明上的相对滞后性，本文先给出了一个引理，再结合书中前面的相关定理给出闭区间上连续函数性质的详细证明，以帮助学生加深对这些性质的理性认识和运用。     

凸函数及相关基本不等式

根据文[1]中严格下凸函数的定义，将文[2]和文[3]中的有关凸函数常用的不等式进行了归纳，总结成三个定理和八个推论，这些定理和性质前后联贯，一气呵成。文中的不等式不论在理论证明还是实际应用中都有很重要意义。     

略谈一个不等式的应用

设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1　已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明　由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2　已知实数 a>1 ,b…     

绝对值不等式的一个性质及应用

定理 设1()||iifxxa==-,其中12aa# naL. (I) 若n为偶数,则当/2/21nnaxa+#时, min1/21()()nnnfxaaa-+=+++L /2/21(nnaa--+1)a++L. (II) 若n为奇数,则当(1)/2nxa+=时, min()fx1(1)/21()nnnaaa-++=+++L (1)/21(na+--(1)/221)naa+-+++L. 证明(I) 12()|()()fxxaxa?+-++L (x/2/21/22)()()nnnaaxax++-+-+-++L (na-)|x1/21()nnnaaa-+=+++L /2/21(nnaa--++L1)a+. 当且仅当ixa-且/2niax+-同号(1,2,i= ,L/2)n,即/2/21nnaxa+#时,上式取等号. (II) 12()|()()(fxxaxax?+-++-L (1)/2)na-(1)/21(1)/22()()nnaxax+++++-+-+L (1)/2()||()|nnaxxa++-+-1…     

半连续函数及其性质初探

说明了半连续函数及性质，半连续与连续的关系。     

一个不等式的推广

将一个一元函数积分不等式推广到多元函数和序列上。     

零点存在定理的推广及其在解不等式中的应用

零点存在定理是微积分中的一个重要定理,它反映了闭区间上连续函数的一个重要性质,在有关方程根的存在性及解不等式等方面有着重要的应用。本文给出了零点存在定理的推广,并运用零点存在定理给出了解不等式f（x）〉g（x）的方法。