一道课本习题的数学模型及应用

北师大版数学七下§7．2．《简单的轴对称图形》的习题7．3“试一试”中有这样一个问题： 如图1所示，要在街道修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？[第一段]     

趣谈一个几何模型的应用

<正>纵观近几年的中考试题及各类竞赛试题,"最佳点""最短距离"等问题已成为当前命题的一个新的亮点。笔者结合近几年的数学实践对北师大版教材中的一课后习题进行剖析与论述。一、几何模型的引入及分析(一)几何模型的引入北师大版教材七年级下册第228页"问题解决"如下:如图1所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在何处,才能使从A、B到它的距离之和最短?     

借题攻题求解迅速

所谓“借题攻题”,就是把某一典型例题或习题的解题思路或具有普遍意义的性质与结论,直接迁移运用到具有相同或相似背景的新问题中去.这种“借题攻题”的解题策略,常常能打开解题思路,降低解题难度.现以一道在教辅资料及检测题中出现频率较高的基本题目的解题思路求解两道与之类似的题目,供同学们参考.基本题:如图1,今要在街道l旁修建一个牛奶站,向街道l的同旁的A、B两居民区提供牛奶,试问奶站应建在什么地方,才能使从A到B的距离之和最短?并在图上作出该点.分析:这是一道基本作图题,实际上是要在直线l上求一点P,使得PA PB最小.如图2,只…     

平移距离为什么要等于桥宽

这是八年级数学教科书上的一道习题:如图1,甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?注意,桥必须与街道垂直平.移法:如图2,将点A沿竖直向下的方向平移,平移距离等于桥宽,到达A1点,连结A1B,与街道靠近B的一侧交于点B1,过B1点建桥即符合要求.那么,平移距离为什么要等于桥宽?先看一个最简单的问题,如图3,公路同旁有A、B两个车站,在公路L旁修建一个加油站,使得加油站到A、B两个车站的距离之和最短.作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交直线l于点P,点P的位置即加…     

利用对称思想求解最值问题

<正>现在的中考题经常把课本题目进行升级改造,借助一些载体,进行深入挖掘,拓展延伸,从而派生出一系列题型.因此,在教学中我们老师要有意识地进行这一方面的训练,以培养学生的应变能力.本文介绍利用对称思想解决最值问题,便以同学们更好地掌握.在北师大版七年级下册第五章第三节"简单的轴对称图形"有一道课后习题:如图1所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A、     

蚂蚁怎样走最近

一、平面上线段最短问题例1如图1,蚂蚁要从A地到B地去,怎样走路线最短?分析:根据线段的性质:连接两点的所有线中,线段最短,故走线段AB即可解决此题。例2如图2,在铁路a的同侧有A、B两个工厂,要在铁路边建一个货场C。货场应建在什么地方才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短。分析:解决这个问题,我们也是根据“两点之间,线段最短“的原理。假设A、B在a的异侧,只要连接AB和a的交点,就是所要确定的点C。解:利用对称性,找出点A关于a的对称点A′,连接A′B交a于点C,则点C就是要在路边建的货物C的最佳位置。二、立体图形上线段最短问题立体…     

一个几何模型的六类应用

一、几何模型如图l,点A,B是在直线z同侧的两个定点,在直线Z上求作一点C,使它到A,B两点的距离之和最小．     

“两点之间线段最短”在初中数学解题中的应用

例题如图1公路同侧有两个村庄A、B, 要在公路上建造车站尸,使尸到A、B的距离之 和最短,问车站P应建在何处? 分析:间建在何处 线路最短,即在公路上 求一点,使到A、B的距 离之和最短.由于两点 之间线段最短,但直接 夕 李 连结显然不妥,这是由于A、B在公路的同侧, 因此我们设想:将A、B两点转换成在公路的两 侧,这显然能找到尸点,所以只须利用对称,取 点A的对称点A‘,连结A‘B与公路交于点P,尸 即为车站的位置. 解此题的原理就是“两点之间线段最短”. 这个原理在初中数学解题中有着广泛的应用. 一、在几何中的应用 1.含有一个动.点,求线…     

对一个最优化问题的再探讨

题目如图1,A村和B村都在一条河流的同侧,已知A村到河流l的距离为1 km,B村在A村的北偏西60°方向,A、B两村相距2km.现要在河流l某处修建一个水站向两个村供水,水站建在哪里,可使得往两个村铺设的管道长之和最短?求出此时的最短距离.作法1:如图2,作点B关于直线l的对称点B′,连接B′A,交直线l于点P,则水站建在点P处,可使得往两个村铺设的管道长之和最短.     

一个几何模型的六类应用

<正>一、几何模型如图1,点A,B是在直线l同侧的两个定点,在直线l上求作一点C,使它到A,B两点的距离之和最小.AB图1%AlB′BC′C图2作法如图2,作点B关于直线l的对称点B',连结AB'交直线l于点C,则C即为所求.连结BC,这时AC+BC最小.证明略.这个几何模型,是用来解决线段和最小值问题的一种常用方法.但是,在比较复杂的     

光学原理与一类运动型最值问题的求解

先看下面这道应用题: 例1如图1所示,海岛城市A离海岸线的距离AC=120km,海滨城市B离C点160km,已知路上汽车的速度是海上轮船速度的2倍,要使A,B两城市之间的运输时间最短,转换码头应该建在何处?     

轴对称与最短路线

同学们都知道,平面上两点之间以线段为最短.就是这样一个浅显的道理,在解决最短路线问题时,却起着不小的作用,如在直线l的两侧有A、B两点,想在直线上找一点C,使点C到A、B两点的距离和最小,即AC BC最小很显然,连结点A、点B,AB与直线l的交点C即为所求的点,如图1.     

再探最短路径——一道2020年南京市中考压轴题引发的思考

<正>一、原题呈现(2020年南京中考题)如图1,要在一条笔直的路边l上建一个燃气站,向l同侧的A,B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短.(1)如图2,作出点A关于l的对称点A′,线段A′B与直线l的交点C的位置即为所求,即在点C处建燃气站,所得路线ACB是最短的.     

如何解线段和最短问题

在实际问题中,常会遇到求相接线段之和最短的问题.解这类问题一般要用到轴对称的知识,下面举例说明:例1(2005年广东茂名中考题)如图1,有一个小船.(1)若把小船平移,使点A平移到点B.请你在图中画出平移后的小船;(2)若该小船先从点A航行到达岸边l的点P处补给后,再航行到点B,但要求航程最短,试在图中画出点P的位置.解析:(1)先画出小船图形中的7个顶点平移后的对应点,然后按小船的形状连接起来.各点的平移规律是:先向上平移1格,再向右平移7格;或先向右平移7格,再向上平移1格.平移后的小船图形如图2所示.(2)先找出点A关于岸边(即直线l)的对称点…     

解决线路最值问题的一个有效模型

线路最值问题是中考中常见的问题之一,解决这类问题常用到一个有效的模型:如图1,在直线l的同侧有两个点A,B,试在直线l上取一点P,使点P到点A、B两点的距离之和最小.点P应选在何处?     

全等三角形在生活中的应用

新课程标准强调数学与自然及人类社会的联系,重视用数学的思维方式观察、分析、解决日常生活中和其他学科学习中的问题.其实数学就在我们的身边,要善于用数学的眼光去解决实际问题:一、用全等三角形设计方案图1例1如图1所示:铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距25km.C,D为铁路同旁的两个村庄(视为两点),DA⊥AB于A点,CB⊥AB于B点,DA=15km,CB=10km,现要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使C,D两村庄到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?解析欲使DE=EC,只须△ADE≌△BEC即可.故需使AE=BC=10km,因此,E站应建在距A站10km…     

轴对称思想的应用(初二、初三)

例1要在河边l修建一 个水泵站,分别向A、B两村送 水,水泵站应修建在河边的什 么地方,可使所用的水管最短? 分析要解决这个问题, 找出点A关于直线l的对称点 解因为菱形是轴对称图形, r.r龟;产︸、J︸连人 了tlnf下‘‘一谧 A‘,连结A,B交直线l于点尸,则点P就是到A、 B两村庄的距离之和最短的点的位置. 理由根据轴对称的性质可知 尸八产一只今, 所以了姚十尸刀一尸A‘ 尸B一刀A‘. 如果另外任选一点尸:(异于P),连结尸,A、 尸,B、尸,A,,则有尸IA一尸IA‘; 在△尸zBA‘中, 尸,A, 尸,B>B八‘一尸八‘ 尸B一尸八十尸刀, 即尸;A 尸,B>…     

轴对称在生活中的应用

我们生活在一个充满对称的世界中,从自然景观到分子结构,从建筑物到艺术作品,甚至日常生活用品,人们都可以找到对称的例子,本文试举几例,谈谈轴对称在生活中的应用．一、巧妙设计最短输水管线例1 如图1,要在河道l上修建一座水泵站,分别向A、B两镇供水,问:水泵站建在河道的什么地方,可使所用的输水管线最短? 分析:我们可以把河道近似地看成一条直线l,问题就是要在直线l     

对正方形一个性质的拓展探究

<正>1正方形的一个性质如图1,正方形ABCD的边长为1,直线l经过B、D,连接AC,则AC⊥l.由正方形的性质及勾股定理可知,AC=槡2.由此可知,点A、B、C、D到直线l的距离之和等于槡2.性质1正方形ABCD的边长为1,它的一条对角线在直线l上,点A、B、C、D到直线l的距离分别为AA'、BB'、CC'、DD',设d=AA'+BB'+CC'+DD',则     

老师,我为什么错了

轴对称是两个图形的一种特殊的对称关系,两个图形沿某条直线翻折后如能完全重合,那么就说这两个图形关于这条直线轴对称.轴对称在图案设计中有着广泛的应用,也可以利用轴对称的性质解决某些极值问题,通过轴对称,将直线同侧的图形映射到另一侧,而不改变路径的总长度,从而利用两点之间线段最短,使问题得到解决. 一、问题呈现 要在河边l上修建一个水泵站,分别向张庄和李庄送水,水泵站应修在河边的什么位置,可使所用的水管最短? 以下是两位同学的做法. 小刚:分别过A、B两点作直线l的垂线,垂足为C、E,则CE的中点D就是所求的水泵站的位置.如图1.