反证法中的“特殊化法”

当一些命题从正面直接证明难以突破时,人们往往会采用反证法,即谓正难则反.反证法的难点不在于提出与结论相反的假设,而在于提出假设后,如何合理地发现思路,以便尽快凸现矛盾.这里有无规律可循呢?对这一问题本文试给出一个回答:“特殊化法”正是反证法得以圆满成功的一个重要突破口.1特值:巧合的数目,特殊的数字,个性化的特征,看似纯属偶然,往往蕴含着正确解法的必然例1设f(x),g(x)是定义在[0,1]上的函数,证明存在x0,y0∈[0,1],使得|x0y0-f(x0)-g(y0)|≥41.分析要找出具体的x0,y0,难以下手,宜用反证法.证明假设这样的x0,y0不存在,则取特殊值…     

善用八种函数的单调性证明不等式

<正>本文结合实例介绍利用八种函数的单调性来证明不等式,供大家参考.一、善用一次函数的单调性证明不等式例1已知实数x,y,z满足|x|<1,|y|<1,|z|<1,求证:xyz+2>x+y+z.证明待证不等式x(yz-1)+2-yz>0.选定x为主元,设f(x)=(yz-1)x+2-y-z.因为|y|<1,|z|<1,所以yz-1<0,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;又f(1)=yz-1+2-y-z=(y-1)(z-1)>0,于     

2014年辽宁理科第12题的解法研究

2014年辽宁理科卷第12题已知定义在[0,1]上的函数满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<1/2|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|相似文献   

函数奇偶性的十大解题功能

奇偶性是函数的重要性质之一,应用广泛,是高考和数学竞赛命题的热点,灵活运用它可使许多难题迎刃而解.现将函数奇偶性的应用归纳如下,以供同学们复习时参考.一、求函数的值例1若函数f(x)与g(x)定义在R上,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,求g(1)+g(-1)的值.解f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y),所以f(x)是奇函数.令x=-1,y=1,则f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)].∵f(-2)=f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1.二、求参量的值例2若关于x的方程arctan(1-x)+arctan(1+x)=a有唯一解,求a的值.解令f(x)=arct…     

函数y=|ax~2+bx+c|的图象和性质的应用

函数y=|ax2 bx c|(a≠0)在区间[p,q]上的最大值,由其图象易知只能在x=p或x=q或x=-b/2a处取得,利用这一性质可以直观明晰地解决有关问题. 例1 已知二次函数f(x)=ax2 bx c,当|x|≤1时,有f(x)≤1.求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 分析:只需证|f(-2)|、|f(2)|均不大于7,且当|-b/2a|≤2时,|f(-b/2a)|也不大于7     

高中数学知识点训练

代数 1.设Ⅰ=R,子集P={x|f(x)=0 },Q={x|g(x)=0},H={x|h(x)=0}则方程f~2(x) g~2(x)/h(x)=0的解集是( ) (A)P∩Q∩H (B)P∩Q (C)P∩Q∩H (D)P∩Q∪H 2.已知集合A={(x,y)|x y=1},映射f:A→B在f的作用下,点(x,y)的象是(2~X,2~y),则集合B是( ) (A){(x,y)|x y=2,x>0,y>0} (B){(x,y)|xy=1,x>0,y>0} (C){(x,y)|xy=2,x<0,y<0} (D){(x,y)|xy=2,x>0,y>0} 3.y=x~n(n∈Z)的图象只分布在第一、二象限,则n的集合一定是( ) (A)正偶数集合 (B)负偶数集合 (C)偶数集合 (D)以上都不是 4.函数y=2~x-1/2~x 1 ιn(x-1)/(x 1)是( ) (A)偶函数但不是奇函数     

关于绝对值不等式的两个同解定理

解绝对值不等式通常都比较繁琐,本文就|f(x)|>g(x)与|f(x)|0恒成立,则不等式 |f(x)|>g(x) (1)与不等式 f(x)-g(x)>0 (2)同解。     

一次函数性质的应用

1996年全国高考试题第 2 5题 ,是一次、二次函数和不等式的综合性试题 ,当年的考生反应强烈 ,得分率很低 .实际上 ,除试题本身较难、思维层次高外 ,也说明学生对一次、二次函数特别是一次函数的性质掌握得不好 .现将原题及解答抄录于下 :已知 a,b,c是实数 ,函数 f ( x) =ax2 +bx +c,g( x) =ax +b,当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,( 1)证明 :|c|≤ 1;( 2 )证明 :当 - 1≤ x≤ 1时 ,|g( x) |≤ 2 ;( 3)设 a >0 ,当 - 1≤ x≤ 1时 ,g( x )的最大值为2 ,求 f ( x) .解 :由 ( 1)由条件当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,取 x =0得 |c|=|f ( 0 ) |…     

分类例说双变量问题的求解策略

<正>一、单一函数类1.恒成立问题例1已知函数f(x)=ax~3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值-2.(1)求f(x)的单调区间和极大值;(2)证明对任意x_1,x_2∈[-1,1],不等式|f(x_1)-f(x_2)|<4恒成立.分析本题是同一函数的最值问题,只需求出函数f(x)在[-1,1]上的最值(或范     

绝对值函数的常见类型及求解策略

<正>一、常见的含绝对值的函数类型及其图象常见的含绝对值的函数主要包括y=|f(x)|和y=f(|x|)两种类型.由于自变量x的取值被分成若干不同的区间,因此,这些函数在不同的区间有不同的表达式:f(x),f(x)0,y=|f(x)≥|={-f(x),f(x)<0,{f(x),x 0,y=f(|x|)≥=f(-x),x<0.