关于直角三角形内切圆和旁切圆的半径

三角形的内切圆,是圆心在三角形内且与三角形三条边都相切的圆。三角形的旁切圆,是与三角形的一边及另外两边的延长线都相切且圆心在三角形外的圆。每一个三角形都有一个内切圆和三个旁切圆(见图1)。如果我们只把注意力放在直角三角形上,就会发现直角三角形的内切圆与旁切圆的半径之间的一个有趣的关系。     

与三角形旁切圆相关的几个性质

三角形是平面几何中最简单的一个几何图形,但由它派生出来的量却是任何几何图形都无法媲美的,其中旁切圆就是其中的一个．我们知道,三角形的旁切圆是指与该三角形一边及另两边的延长线相切的圆,一个旁切圆的三个切点也构成一个三角形,不妨称它为该三角形的旁切圆三角形．本文将给出与三角形旁切圆三产形面积相关的几个优美结果,以飨读者．     

谈三角形内切圆与其切点三角形的关系

与三角形三边都相切的圆叫三角形内切圆 ,圆心叫三角形的内心 ,是三角形内角平分线的交点。因此 ,内心到三角形三边距离相等。把内切圆与三角形三边的切点顺次连结所得到的三角形 ,我们称之为原三角形的切点三角形。下面就来谈谈与三角形内切圆有关的几个问题。1　切点三角形的     

与三角形面积相关的几个关系式的研究

我们知道,三角形的旁切圆与该三角形一边及另两边的延长线相切,一个旁切圆的三个切点也构成一个三角形,不妨称它为该三角形的旁切圆三角形．因为一个三角形有三个旁切圆,故一个三角形的旁切圆三角形也有三个．笔者近日研究了与三角形旁切圆相关的旁切圆三角形面积问题,得到几个优美结果,今整理如下,以飨读者．     

对数学疑难之10的解答

问题给定两两外离的三个圆,求作以此三圆为旁切圆的三角形．问题何时有解？有解时有多少个解？若改为此三圆中的一个圆为内切圆,另两个为旁切圆呢？这是文[1]提出的数学疑难之10,对于上述问题,我们有如下结果：     

三角形的半外切圆及其性质

本文介绍一种特殊圆，它与三角形的两边的延长线相切，并与三角形的外接圆相外切，姑且称之为半外切圆．笔者经过认真地探究，发现这种圆有一系列有趣的性质．因此，特撰拙文，与同仁共飨．为了简便，用a、b、c表示△ABC三顶点A、B、C所对的边，R表示△ABC的外接圆半径，I_1、r_1分别表示切AB、AC延长线的半外切圆圆心和半径，切AB、AC延长线的旁切圆半径为r在研究半外切圆性质之前，先讨论三角形旁切圆的一个性质．性质1与△ABC的边AB、AC的延长线相切，并与边BC相切的旁切圆半径等于证明如图由正弦定理同理可以求出另外两个旁…     

两个与远切圆相关的不等式

<正>定义与三角形两边延长线及其外接圆相切的圆,叫三角形的远切圆(即外半切圆)．其半径分别用R_a,R_b,R_c表示(R_a表示与AB、AC延长线及外接圆相切的圆半径等)．设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径、半周长、面积、旁切圆半径与远切圆半径分别为a,b,c,R,r,s,△,r_a,r_b,r_c,R_a,R_b,R_c,用∑表示循环求和．     

三角形内切圆的半径公式及其应用

任何三角形都有唯一的内切圆,该圆的圆心就是三内角平分线的交点,半径就是圆心到三边的距离,其大小不仅与三角形的周长有关,而且还与三角形的面积有关,在许多与内切圆有关的三角形问题中都会涉及到半径,因此,本文首先推导出三角形内切圆的半径公式,然后举例予以说明.     

三角形的旁心

三角形旁切圆的圆心，简称为三角形的旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点．显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心．     

三角形旁切椭圆的一个几何恒等式

先证明一个关于三角形旁切圆的一个几何恒等式： 命题1 设O是△ABC的分别与BC边,AC、AB延长线相切的旁切圆的圆心,则下列等式恒成立：     

旁切圆的性质及应用(初二、初三)

三角形的旁切圆是指与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆,它的有关性质在中考和竞赛题中经常用到,但课本中几乎没有涉及,这给解题增添了不少麻烦,下面就来谈谈旁切圆的有关性质及应用.     

解析几何中的“五心”

一、内心三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心．因为内心到三条边的距离相等，所以存在以内心为圆心的一个圆，它与三角形的三条边都相切．这个圆称为三角形的内切圆，圆的半径r称为内切圆的半径．例１如图１所示，在直角坐标系中，以A（x１，y１）、B（x２，y２）、C（x３，y３）为顶点的三角形的三条边分别是a、b、c．求△ABC的内心M的坐标．解析设角平分线AD、BE交于点M．∵｜BD｜｜DC｜＝｜AB｜｜AC｜＝cb，∴由定比分点公式得xD＝xB＋cbxC１＋cb＝bx２＋cx３b＋c，yD＝by２＋cy３b＋c 又∵｜AM｜…     

你知道吗?

圆是几何中最简单、同时又是最重要的一种曲线,与圆有关的概念经常遇到的有:同心圆,多边形的外接圆,多边形的内切圆,三角形的旁切圆,点圆,单位圆等。下面再介绍几种圆。 费尔巴哈圆:三角形三边的中点,三高的垂足,连结垂心与顶点的三线段的中点,这九个点共圆,这个圆叫九点圆,又叫费尔巴哈圆。 托里拆利圆:在△ABC的三边AB、BC、CA上各向外侧作等边三角形。这三个等边三角形     

和垂足三角形有关的几个不等式

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形．本文主要研究了和垂足三角形有关的三角形之间外接圆半径、内切圆半径、旁切圆半径及边长相关的几个不等式．     

与内心有关的几个结论

三角形三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心．内心也是三角形内切圆的圆心．显然,内心在三角形内,且唯一．     

关于三角形中内切圆、旁切圆和外接圆半径的几个关系式

如图,在△ABC中,内切圆⊙O分别与三边相切于点M、K和L,BC边上的旁切圆⊙O与BC边相切于点H,且分别     

三角形的半外切圆及其性质

本文介绍三角形旁切圆的一个类似圆,它与三用形两边的延长线相切,并与三角形的外接圆相外切.姑且称之为半外切圆。笔者经过认真地探究,发现这种圆有一系列有趣的性质,掌握这些性质,可以加深我们对这类几何图形的了解。因此,特撰拙文,供同仁参考,亦可作为教学和第二课堂活动参考资料为叙述简便,通文用a、b、c、表示△ABC三顶点A、B、C所对的边,R表示△ABC的外接圆半径,I_1,r_1分别表示切AB、AC延长线的半外切圆的圆心和半径。     

巧解三角形内切圆的三类问题

<正>点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系是人教版初中数学九年级下册有关圆的问题中的重要内容,其中有关三角形内切圆的问题也是同学们经常遇到的问题,它需要综合运用点、直线和圆的位置关系中的一些知识．一、求有关角的大小同学们在遇到求角的大小的问题时,首先要掌握这样两个基本知识:一是内切圆的圆心叫作三角形的内心,二是内心到三角形三边的距离相等;其次还要掌握圆周角定理、切线的性质等．简言之,同学们需要将上述提到的定律与原理综合运用,进而最终获得问题的求解．     

三角形的半周长结论及应用初探

众所周知 ,三角形的中线将三角形面积二等分 ,而哪一点是三角形周长的等分点呢 ?由义务教育初中《几何》第三册 P133～P134习题 2 ,不难得出 :结论 1.三角形的旁切圆 (即与三角形一边相切并和另两边的延长线也相切的圆。一个三角形有三个旁切圆 )在三角形边上的切点是三角形周长的等分点。现证明如下 :如图 1,设⊙O为△ ABC的一旁切圆 ,且在 BC上的切点为 P,在 AB、AC延长线上的切点为 Q、R,∵ BP=BQ,CP=CR∴ AB BP=AB BQ=AQAC CP=AC CR=AR,而 AQ=AR∴ AB BP =AC CP,即 P是三角形周长的等分点。此结论也可叙述为 :…     

权方和不等式引出一个数学问题

问题三角形内切圆半径r，旁切圆半径ra、h、rc、面积．S△、有：