数学课堂中的人本教学模式——以“点到直线的距离公式”教学为例

<正>点到直线的距离公式是高中解析几何课程中重要的公式之一,它是解决点线、线线距离的基础,也为以后研究直线与圆的位置关系、圆锥曲线综合问题奠定了基础.本节课"点到直线的距离",是从初中平面几何的定性作图过渡到高中解析几何的定量计算.学生通过点到直线的距离公式的探究过程,可以进一步领会蕴含于其中的数学思想,逐步学会利用数形结合、转     

与圆相关的竞赛题

圆是几何中的重要内容,由于圆与直线、三角形、四边形等直线型图形组合成一些更复杂的几何问题,能考查我们的逻辑推理能力,所以它经常出现在各种数学竞赛中,甚至在近年来国际奥林匹克竞赛中也屡见不鲜.要顺利解答与圆相关的竞赛题,我们要熟练掌握圆的重要性质、定理和应用它们的技巧.下面,我们通过几个例题说明这类问题的解法.     

如何学习圆的切线

一、正确理解切线的定义切线的定义 :直线和圆有惟一公共点时叫做直线和圆相切 .这时直线叫做圆的切线 ,惟一的公共点叫做切点 .这一定义告诉我们 ,圆的切线是直线 ,它和圆有一个并且只有一个公共点 .这与有一个公共点的含义不同 ,学习时要避免出现“直线和圆有一个公共点时 ,叫做直线和圆相切”的错误 .二、正确理解切线的定义、判定定理和性质定理的内在联系要判定一条直线是否是圆的切线 ,常用的方法有 :1 运用切线的定义　若直线与圆有惟一公共点 ,则这条直线就是圆的切线 .2 运用圆心到直线的距离　若圆心到直线的距离等于半径 ,则这…     

借助直线与圆的位置关系巧解题

我们知道,直线和圆的位置关系有相离、相切、相交三种,若设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有(1)当d>r时,直线和圆相离;(2)当d=r时,直线和圆相切;(3)当d相似文献   

广义托勒玫定理

关于圆内接凸四边形的托勒玫定理已广为人知:“所有圆内接凸四边形的对边乘积之和等于它的村角线的乘积.” 我们研究广义的托勒玫定理.设有四个内切于同一圆且切点是该圆内接四边形的各个顶点的圆。A、B两个顶点间的距离可通过对应的圆。,、。B间的公切线长来度量。 (图1) 定理     

圆中常见的双解问题例析

圆是同学们非常熟悉的一个完美图形,它既是轴对称图形又是中心对称图形,还具有旋转不变性。因此,在解决与圆有关问题时,若考虑不周全往往会造成漏解。从近几年各地中考试题来看,与圆有关的双解问题时常出现。下面将圆中常见的双解问题进行归纳解析。一、点和圆的位置不确定时例1已知点P到⊙O上的点的最大距离是6 cm,最小距离是2 cm,则圆的半径r=____cm。分析由题意可知:点P不在圆上,应分点P在圆内和圆外两种情况考     

直线与椭圆及双曲线位置关系的简易判断法

<正>1问题的提出众所周知,直线l与圆⊙C的位置关系最简单的判断方法是:用圆心C到直线l的距离d与半径R的关系得出,即当且仅当(1)d>R时,直线l与圆⊙C相离;(2)d=R时,直线l与圆⊙C相切;(3)d 相似文献   

构造隐圆 巧求最值

<正>在近年各地的中考中,屡屡遇到这样的问题,图中没有圆,但最后的问题需要通过构建圆来解决.在解题过程中很多学生找不到突破口,难以下笔.本文尝试从圆的本源出发,提升学生对于隐圆问题的分析能力和解题能力."隐圆"在综合题中一般伴随着"最值问题"出现,如"将军饮马"、"造桥选址"、"胡不归"、"阿氏圆"等等.最值问题探究无非就是点与点、点与线之间的距离问题.而在初中阶段,与圆相关的最值问题一般与"最长的弦"和"定点到直线上一点距离"相关.     

我们应该教给学生什么

判断什么是圆形时,几乎100%的人能正确回答,而什么叫圆?98%以上的人回答不出:圆是一个二维空间,闭合形状,线上每一点到圆心的距离相等。类似这样的问题很多。扪心自问,我们工作后,中学学习到的例子的许多具体知识及运算技巧与工作无关的大多已经忘记了,留在我们脑海的只是基本常识及思维方法。这对中学化学教学提出一个课题:我们应该教给学生什么?     

圆的方程错解辨析

圆是同学们比较熟悉的图形,关于直线与圆,圆与圆的位置关系及其性质,大家在初中就比较系统地学习过.至于圆的方程此前接触不多,它是建立在直角坐标系的基础上,通过方程,可以使问题更直观、更简单地得到解决.在处理具体问题时,我们既要善于将几何关系转化为代数式     

蜗线·外摆线·圆锥截线

蜗线、外摆线、圆锥截线;看起来似乎是彼此没有什么联系的三种曲线,其实不然。本文特阐明两个问题: 1.蜗线是外摆线的特例; 2.蜗线与圆锥截线互为反象。一、蜗线的定义和方程设⊙为直径为a的定圆圆周上一个定点,过O的任意直线与圆相交于另一个点R,在此直线上有一点P,它与R的距离为定值b(b>0),则P点的轨迹叫做蜗线。当b小于、等于、大于a时,分别地叫做长蜗线、一般蜗线(心脏线)、短蜗线。以O为极点,取极轴的方向与O到圆心     

求线段最小值的常用策略

<正>线段最小值问题是各地中考的热点,这类问题主要利用"两点之间线段最短","垂线段最短"和"点与圆之间,点到点心线与圆的近交点的距离最短"三种原理来解决.虽然这类题计算量小,但构思巧妙,且涉及的知识面广,所以有些考生在遇到这类问题时容易陷入困境.下面举例说明如何利用对称、轨迹和转化策略来巧妙地解决线段最小值问题.一、对称策略对称策略是指通过作出一些关键点的对称点,把折线问题转化为直线问题,再根据"垂线段最短"等原理确定线段的最小值.     

例析与圆有关的双解问题

在学习《圆》这一章时,我们会遇到很多与圆有关的双解问题．不少同学忽略了点、线与圆以及圆与圆之间可以产生多种位置关系的可能性,所以在解题时出现了漏解的情况．本文就这类双解问题列举几例,希望对同学们有所帮助．     

巧用直线与圆的位置关系解题

直线与圆的位置关系是高中数学的重要知识点,在历年高考中时常涉及.直线与圆有3种位置关系,即假设圆的半径为r,直线到圆心之间的距离为d,那么：当rd时,直线与圆相交;当r=d时,直线与圆相切.巧妙地利用直线与圆的位置关系进行解题,可以很容易地解决许多看似复杂的数学问题.     

圆性质在圆锥曲线中的推广

在我们现行使用的高中数学教材中,圆与圆锥曲线是分两个章节进行教学的.但我们知道事实上圆可看作当e=0时的特殊的椭圆,从圆锥曲线是平面截圆锥曲面所得的交线这个角度看,圆与圆锥曲线也应该是同一家族的一个成员.它们应该有某种内在"血缘关系",应该有很多共性值得我们关注与重视.本人在平时教学中发现圆的很多性质能够在圆锥曲线中进行很好的推广与应用.     

中考中的“距离”问题

<正>初中数学中的距离问题主要有两点间的距离、点与线的距离和线与线的距离三种情形.本文以2012年的有关中考题为例,说明如何突破距离问题.一、重心距例1(上海市)我们把两个三角形的重     

与圆有关的三个垂直关系在解题中的妙用

在平面几何中,我们对圆的性质有过较多的研究,在解析几何中注意这些性质的应用,不仅是代数语言描述几何要素及其相互关系的需要,也可以使一些复杂的代数运算得到简化.在圆的几何性质中,很多性质都与垂直相关,这需要我们重点关注.一、圆的切线垂直于经过切点的半径1.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线直线与圆相切是直线和圆位置关系中的一个热点,求过圆外一点的圆的切线方程时,常常要利用这一性质.     

椭圆与圆的类比探究

我们把平面上到两定点的距离之和是常数的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点.当两个焦点无限接近时,椭圆就趋近于圆.换句话说,圆也可以看成是离心率为零的特殊的椭圆.由此可见,圆与椭圆二者之间有着密不可分的联系.     

揭开“阿波罗尼斯圆”的神秘面纱

<正>在高三数学教学中,在复习《直线与圆》这个章节时经常会遇到一些定点定值类的问题,在这些问题中有一种情形就是著名的阿波罗尼斯圆问题,下面我们就来揭开它神秘的面纱.一、阿波罗尼斯圆定义在平面上给定相异两点A,B,设P点在同一平面上且满足PA PB=λ,当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理.设M,N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点,则MN为阿波罗     

圆的有关性质

中考知识梳理1.圆的定义,点与圆的位置关系(1)圆上各点到圆心的距离都等于半径.(2)圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴:圆又是中心对称图形,圆心是它的对称