为什么要把“0”作为一个自然数

现在已经明确地把数“0”作为一个自然数看待了。为什么?听了很多的解释,大部分的解释是把这看作一个“规定”。显然,这样的“解释”是不够的。下面谈谈我的理解,供老师和学生参考。首先,应该从自然数的功能说起。自然数是人类最早用来描述周围世界“数量关系”的概念,几乎从一开始就具有三个基本功能。一个是帮人类来刻画某一类“东西”的多少,用现代的数学语言来说就是描述一个有限集合的基数(性质)。另一个就是刻画一类“事物”的顺序:“第一”“第二”……用现代的数学语言来说就是描述一个有限集合中元素的“顺序”性质。“自然数”的第三个基本功能是“运算功能”。自然数可以做加法运算和乘法运算。在此基础上,随着对     

0是自然数

最近一段时间,编辑部接到许多老师来信,问及“0是否为自然数?”、“0为什么是自然数?”等问题。本文做一个统一答复,以解决老师们在教学中的疑问。在2000年以前,我国的中小学数学教材里,都把0不放在自然数内;2000年以后修订的教材,却把0放在自然数内。也就是说,自然数集合是｛0,1,2,…,n,…｝。为什么要将0放在自然数集合内呢?自然数是人们在实际生活中为描述数量关系而产生的。比如,数物体的多少时,一个物体用1表示,两个物体用2表示。那么,没有物体就可以用0表示。这是自然数表示物体多少的功能,用现代数学语言来说,自然数就是描述一个有限…     

算术理论复习提要(二) 整数

第一节整数的认识一自然数1.自然数的意义。自然数有几种解释:①用来表示物体个数的1、2、3……叫做自然数。这是用实例说明自然数。②非空有限的等价集合的标记叫做自然数。因为一类等价集合与其中任何一个集合的数量(即基数)是相同的,又因为一个集合的数量(即基数)实际就是集合的元素个数,所以也常     

《整数》的辅导与练习

一、两组重要概念在“整数的认识”这部分教材中,有两组重要概念:自然数、零和整数;数数、数位和位数。只有正确理解这些概念,才能较深刻地理解整数的意义。 1.自然数、零和整数。自然数是非空有限集合的基数。空集合的基数“零”,不是自然数;无限集合的基数也不是自然数。自然数用来表示事物的“多少”时,就是基数;用来表示事物的“顺序”时,就是序数。每一个自然数都有基数和序数这样两个含义。把全体自然数按从小到大的顺序排成一列,就得到自然数列;在自然数列的前面再排上“零”,就得到扩大自然数列。自然数列与扩大自然数列的性质,都是“两有一无”,即有始、有序、无限。在《算术》里,整数是零与自然数的总称。因为     

领悟集合语言的魅力

集合是现代数学的基本语言,不仅可以简洁、准确地表达数学内容,还可以用来刻画和解决生活中的许多问题.集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.学习集合可以培养用数学语言进行交流的能力.本文从集合的概念、集合中元素的性质、集合运算以及集合的综合运用来帮助同学们理解和体验集合语言的魅力.     

对称变换与群(Ⅱ)

3平面图形的对称群 我们用S（K）表示平面图形K的所有对称变换组成的集合，则对正”边形M，S（M）就是Dn由于平面图形K的每一个对称性都可以通过它的一个对称变换来描述，所以S（K）也就刻画了平面图形K的全部对称性．这样，我们就把平面图形K的直观对称性用精确的数学语言——集合S（K）表示出来了．S（K）就是数学中用来刻画平面图形K的对称性的数学模型．     

集合初步

集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容,是高中阶段非常重要的一个概念.集合简单来说可归纳为将一些具有某种特性的东西集在一起.集合这个词初听起来比较陌生,其实集合在初中我们学过的数、式、图中都有所渗透.例如:从数的角度看,自然数可看成是     

“整数”学习漫谈(下)

关于“零”的意义揭示“零”的意义,对于我们理解算术整数的一些性质、记数与读数,对于我们了解数学内部的关系,都是极有好处的。首先,“零”作为一个实实在在的整数,必须把它揭示清楚。本书介绍说,自然数是非空的有限的等价集合的标记。但是,如果遇到“空集”,怎样标记这种集合的特     

集合的概念

集合是现代数学中最基本的概念之一。集合的含义可以这样描述:凡具有某种特性的对象组成的全体就是集合,组成集合的对象叫做这个集合的元素。我们通常用大写字母 A、B、C……表示集合,用小写字母 a、b、c……表示集合的元素。又用符号 a∈A 表示 a 是集合 A 的元素(读作 a 属于 A),用b(?)A 表示 b 不是 A 的元素(读作 b 不属于 A)。集合中元素的特性是识别一个对象是否为该集合的元素的依据。集合的元素可以是任何对象。太阳系的行星可以组成一个集合,一个学校的所有教师可以组成一个集合,一条直线上所有的点可以组成一个集合,大于3小于10的自然数也可以组成一个集合。集合不限定要包含多少个元素。我们把由无限个元素组成的集合叫做无限集合(如自然数集     

文化数学三题（之一）为什么要做到“心中有数”？

1 凡事要做到“心中有数” 人们常说：凡事要做到“心中有数”．这究竟是什么意思呢？解释之一：在做事之前,要估计一下,这件事能够做成功有多少把握．拿现在的数学语言来说,就是这件事做成功的可能性有多大,或者说做成功的概率是多少．因为做成一件事,涉及的因素很多,其成功的把握,很难用一个数字来刻画．但从数学的角度,用数学中概率统计的方法,却能够用数字来刻画其成功的可能性．这便是数学的能耐和力量．     

浅谈“1”

1是数学里常用到的一个数。 1是最小的自然数,自然数分为三类,一类是质数,一类是合数.还有一类就是1.它既不是质数,也不是合数,是自然中单独的一类,它是一个单独的元素组成集合,只有一个正约数就是1本身。任一个自然数都可由1这个数连续相加而得,即1+1=2,2+1=3,3+1=4,……,也就是说自然数是1的积累,所以1叫自然数的单位。 从表现看来1是极简单的数量单位,但它的表现形式却是多种多样的,它所包含的内容也是十分丰富的。     

高中现行数学教科书中集合含义的商榷

集合是不能精确定义的基本概念,集合语言是现代数学的基本语言.集合应描述为:凡是具有某种性质的、确定的、互异的、无顺序关系的(具体的或抽象的)对象的全体称为集合,集合中的对象称为该集合中的元素.对集合概念科学的认识应该理解为:集合的元素可以是任何事物,数学中研究的集合甚至可以是不包含任何元素的空集,一个集合中的各个元素是可以相互区分开的,组成一个集合的各个元素在该集合中是无次序的,任一事物是否属于一个集合是确定的.     

集合复习中几点注意

集合是现代数学的基本语言,不仅可以简洁、准确地表达数学内容,还可以用来刻画和解决生活中的许多问题．集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础．学好集合可以培养用数学语言进行交流的能力．本文从以下几个方面来帮助同学们理解和体验集合语言的魅力．     

最小数原理

我们知道在一个有限数集中必有一个最小数;而在无限数集中有时却不一定有最小数.在一个仅由自然数组成的数集中,则不论这个集合是有限的还是无限的,必定有一个最小的数.这是自然数的一个重要性质,称之为最小数原理.最小数原理自然数的非空集合S中必有最小数存在.在数学中(特别在高等数学中)常要用到这一原理来证明一些命题.从逻辑上讲最小数原理和数学归纳法是等价的,但从解决问题的模式上看它们是各不相同的.一般地说,数学归纳法较多用来证明和自然数有关的肯定性命题.而最小数原理既可以证明肯     

我是如何教给小学生0的概念的

“0”不是自然数,它小于一切自然数。根据自然数的基础理论,自然数是非空有限集合的基数,表示了非空有限集合元素的个数,而“0”为空集合的基数。在教学中我是这样教“0”的概念的:     

训诂与文化视角的中学古诗文阅读浅谈

<正>本文拟从训诂与文化两个角度与大家谈谈中学古诗文的阅读。“文化”的含义比较容易理解,那什么是“训诂”呢?用通俗的话来说,“训诂”就是解释的意思,即用容易懂的语言解释难懂的语言,用现代的语言解释古代的语言。由此,大家知道,我们阅读古诗文,首先遇到的就是“训诂”问题,具体到日常的古诗文阅读和学习,我们就是用现代容易懂的语言来解释古代比较难懂的语言,最主要的就是依靠教材注释、教师讲解、查阅工具书等途径解释、翻译疑难字词和语句,从而能够理解意义,     

要"安民告示"

我们知道,传统的数学概念中,0不属于自然数。而现行高中教材(人教版)给出自然数集的定义是:“非负整数全体构成的集合叫做自然数集”,把“0”归     

解析“0”为什么是一个自然数

在过去的中小学数学教学中,数字“0”一直不属于自然数,但是现在已明确把“0”归于自然数。为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”,用数学的行话讲即“定义”,这就是说以前定义“1,2,3,…,n…”为目然数集,而现在则定义“0,1,2,3,…,n…”为自然数集。显然这样的解释是不够的,下面谈谈笔者的理解。     

"0"作为自然数后应作哪些相应补充

自然数集是日常生活中应用最为广泛的一个数集 ,它既可以用来清点数目的多少 ,也可用来编排顺序 ,也就是说点数或排序的结果都是自然数 .数学上据此形成了两种自然数理论 :基数理论和序数理论 ,而这两种理论都是在零不是自然数的前提下给出的 .现在将“0”作为自然数后 ,[《中华人民共和国国家标准》(ＧＢ310 0— 310 2— 93)规定 :自然数包括 0 ]这两种理论皆有必要作相关补充 :1　基数理论下的有关补充集合论的创始人康托尔 (Ｇ·Ｃａｎｔｏｒ)指出 :如果一个集合能够与它的一个真子集建立等价关系 ,这个集合就是无限集 .据此有以下定义 :…     

趣话封闭性

0,1,2,3,4,5,6,7,…直到无穷,在数学上叫做“自然数”,这个集合大得很,浩浩荡荡,上面不封顶.不过有时候也会“越界”的.我们知道: 自然数+自然数一自然数; 自然数x自然数一自然数.可是对于减法与除法来说,就不一定