2006年第11期问题

61.如图,O是△ABC内任一点,直线AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于D、E、F,AO、BO、CO分别交EF、FD、DE于G、H、I.问OGAG OBHH OCII是否为定值,若为定值,求出该定值;若不为定值,说明理由.(湖南省长沙市十五中410007厉倩提供)62.如图,⊙O1与⊙O外切于P,⊙O2与⊙O内切于Q,MN是⊙O1与⊙O2的内公切线.若⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R,求证:MPQN22=(R r1)R(2R-r2).(江苏如皋市教师进修学校226500徐道提供)63.已知a>0,b>0,2≥λ>0,求证:#a aλb$ #b bλa$≤AB CEDF GHOIOQO1PO2NM两相交构成△C1C2C3,使△…     

两道赛题的新解法

例1 设△ABC为锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在圆于另一点A′,BO交△COA所在圆于另一点B′,CO交△AOB所在圆于另一点C′.证明: OA′·0B′·OC′≥8R~3并指出在什么情况下等号成立?     

由三角形内任意一点所引出的性质

1.如图1所示,点O是△ABC内的任意一点,作直线AO,BO,CO与边BC,CA,AB,分别交于点D,E,F则BD/DC·CE/AE·AF/BF=1.证明:过A点作AN∥BE,AM∥CF分别交BC的延长线     

一道IMO预选题的探索

第37届IMO预选题的第16题[1]为:设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A′,BO交△COA所在的圆于另一点B′,CO交△AOB所在的圆于另一点C′.证明:OA′·OB′·OC′≥8R3.①并指出在什么情况下等号成立?由于不等式①即OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·     

四边形面积的一个性质与若干数学竞赛题

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等. 证明:如图1,记∠AOB=α,△AOB、△COD△AOD、△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3、S_4,则由三角形面积公式有S_1·S_2=1/2AO·BO·sinα·1/2CO·DO·sinα,S_3·S_4=1/2AO·DO·sin(180°-α)·1/2BO·CO·sin(180°-α)故得,S_1·S_2=S_3·S_4。     

2007年第5期问题解答

97.在△ABC中,G、O分别为其重心和内心.求证:GO∥BC的充分必要条件是AB AC=2BC.证明:如图,延长AG、AO交BC于M、T.连接CO、BO,则AM为中线.AO、BO、CO分别为∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线.必要性:因为GO∥BC,所以AOOT=GAMG=12.又因为CO是∠ACB的平分线,所以CCAT=AOOT=2,则CA=2CT,同理可证AB=2BT,所以AB CA=2(BT CT)=2BC.充分性:因为CO、BO分别为∠ACB与∠ABC的平分线,所以ACCT=AOOT,ABTB=AOOT,即ACTC=ABTB=ACCT ABTB=AC ABBC=2,AOOT=2.又G为△ABC的重心,所以GAMG=2,AOOT=GAMG,…     

一道IMO预选题的推广

题目 设△ABC是锐角三角形，外接圆圆心为D，半径为R，AO交△BOC所在的圆于另一点A’，BO交△COA所在的圆于另一点B’，CO交△AOB所在的圆于另一点C’．证明：     

一道IMO预选题的再探索

第37届IMO预选题第16题为： 问题 设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在圆于另一点A’,BO交ACDA所在圆于另一点B’,CO交△AOB所在圆于另一点C’．证明：     

几何悖论一例

定理:任意三角形都是等腰三角形.这显然是荒谬的命题!怎么会正确呢?但有人恰能证明如下:已知:△ABC中,AB≠AC.求证:AB=AC.证明:设△ABC中∠A的平分线与边BC的中垂线相交于点O,连结AO、BO、CO.过点O作ON⊥AB,OK⊥AC,N,K是垂足.∵AO平分∠A,∴ON=OK,AN=AK.∵MO垂直平分BC,∴BO=CO.∴Rt△BNO≌Rt△CKO圯BN=CK.∵AB=AN+NB,AC=AK+KC.∴AB=AC.上述证明正确吗?毛病出在哪里?请你为他诊断一下.几何悖论一例@陈振宣     

五道竞赛题的统一证明

1.(AIME—10)在ΔABC中,A′、B′和C′分别在BC、CA和AB上,已知AA′、BB′、CC′共点于O,且AO/OA′ BO/OB′ CO/OC′=92.求AO/OA′·BO/OB′·CO/OC′的值。     

一个三角公式在平几解题中的应用

部编数学高中第一册P167第19题:在△ABC中。求证:tgA+tgB+tgC=tgAtgB tgC。一般学生都会证明这个三角恒等式。可是对于它在平几解题中的应用及其推广却不太清楚,现分别介绍如下,供中学生参考。 [例1]如图(1),已知:O是△ABC的外接圆圆心延长AO交BC于D。交圆于E,延长BO交AC于F,交圆于G,延长CO交AB于P,交圆于Q。求证;DE/AD+FG/BF+PQ/CP=1。 [证明]连BE,CE,则     

数学问题与解答 2014年第6期问题解答

916．如图1，O为△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于D、E、F，EF、DF、DE三边的中点分别为D1、E1、F1，AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1，求证：AA1、BB1、CC1相交于一点．     

三角形的一个重要结论的证明和应用

题目已知如图1,点O是△ABC内的任意一点,若AO、BO、CO的延长线分别交对边BC、CA、AB于点D、E 、F则OD/AD＋OD/BE＋OF/CF=1。     

塞瓦定理和梅涅劳斯定理的一种向量证法

平面向量的一个主要应用是解决一些平面几何问题,塞瓦定理和梅涅劳斯定理是平面几何中的两个重要定理,人们自然想到如何利用平面向量的知识证明这两个定理,这里给出一种向量证法. 现将两个定理叙述如下: 塞瓦定理 如图1,设O是△ABC内任意一点,AO,BO,CO分别交对边于D,E,F,则 AF/FB· BD/DC · CE/EA=1.(1) 梅涅劳斯定理 如图1,设一直线与△ADC的边AC,AD及CD延长线分别交于E,O,B,则 AO/OD· DB/BC· CE/EA=1 (2) 为了证明定理,先给出一个简单的引理: 若→OA=λ→ OB+μ→ OC(λ,μ为常数),则A,B,C3点共线的充要条件是λ+μ=1.     

角度暗藏玄机 比例明晰方向

<正>1试题呈现(东营市2018年中考数学试题第24题第(1)问)某学校"智慧方园"数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=3×3^(1/2),BO∶CO=1∶3,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).     

一个命题的推广及在证题中的一些应用

我们知道:S_△=1/2ah,由此可得:同底的两个三角形的面积比等于这底上的高的比。这一命题可以推广如下: 有一条公共边的两个三角形的面积比等于这两个三角形的另一个顶点的连线被公共边所在的直线分成的两条线段的比。 即.已知:如图.AB的延长线交CD于点E 求证:S_ABC:S_ABD=CE:DE 证明:分别由点C、D向AE及其延长线作垂线CF、DG,FG为垂足,则有:S_△ABC:S_△ABD=CF:DG（1）△CEF∽△DEG(?)CF:DG=CE:DE（2）由（1）,（2）得:S_△ABC:S_△ABD=CE:DE。 利用这一命题,可以较简捷地证明一些几何命题,请看以下几例: 例 1:在△ABC中任取一点O, AO、 BO、 CO与对边的交点分别是D、 E、 F,求证:     

关系圆的一个命题

命题圆内任意两条弦AC与BD相交点E,联结AB、CD,任意直线l交圆于M、,分别交AB、AC、BD、DC(或它们的延长)于点R、Q、P、S.则PM.QMPN.QN=RRNM..SSNM.图1证明:如图,联结AM、AN、M、BN、CM、N、DM、DN.由意有PMPN.QQNM2=SS△△NMBBDD.SS△△NMAACC2=NMBB..NMDD.NMAA..NMCC2=NMAB2.N     

数学问题与解答

221.以锐角△ABa的召O边为直径作圆,交AB、AO于刀、D,若刀刀=刀刀+OD,试证:在00上任取一点A,作00,的两条证:ED将△通刀口的面积和周长分成的上、下两部电之比都等于ctg’A. 证:如图1,设2夕刀将△ABO的面积分成上、下两部分之比为希,即S‘,D,’殊边形即。,’=希.切线AB、通口,切④O,于E、尸,交00于B、O,连AO,交00于刀,再作00的直径刀夕,如图2所示.则△AO,E。△D, DB,AO,:犷=ZR:刀刀,而AO,.0,D=(R+d)鲁粤二月合左刀O·(R一d),.’.刀刀:O‘D=于是,ZR护AO,:O尸D=ZR六(R+易证△连刀E。△ABG,乙刀刀通=Rt艺,因此, cosA=器…     

数学问题与解答——2004年第2期问题解答

606.设锐角△ABC的外接圆00的半径为R,AO、BO、CO的延长线分别交BC、CA、AB于D、E、F,求证: 1 1 12 丽+丽十厉=元·因而,二下二+二二二十入刀万刀 1CF一矗(3+。。t口一‘:+一‘甲。。‘a+C。‘a一‘口,一是,这里用到三角形中的恒等式eo七口eot甲+eot守eot。+eot a eot口=1607.在△ABC中,C AB CO石二,CO不一口左nZ,2{-曰声目—万呼—气一 口一CC一aC()t, 2a一b=0,求证: 证:如图1,延长AD交庆少于点M,连CM,过A作AN一BC,垂足为N.设乙BAC=a,艺ABC二刀,乙ACB二7,由正弦定理AN=AB Sin月=ZR sin守sin尽 又乙M=乙ABC,乙A…     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.