圆锥曲线中的对称问题

<正>在圆锥曲线的考查中,我们经常会遇到这样的一类问题:圆锥曲线上存在两点关于某条直线对称,求参数的取值范围。这类问题的解法是:设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b(k≠0)对称的两点,PQ的中点为M(x_0,y_0),则PQ的方程为y=-1/kx+m,利用点差法、中点坐标公式求得中点坐标,再根据中点与圆锥曲线的位置关系求解。例1已知抛物线C:y²=x与直线l:     

每期一题

题:若抛物线y=ax~2- 1(a≠0)上存在关于直线l:x y=0对称的两点,试求a的范围。解法1(判别式法)设抛物线上关于直线l对称的相异两点分别为P、Q,则PQ方程可设为y=x b。由于P、Q两点的存在,所以方程组 y=x b 有两组不相同的实数 y=ax~2-1 解,即可得方程: ax~2-x-(1 b)=0 ①判别式△=1 4a(1 b)>0 ②又设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),PQ中点M(x_0,y_0)。由①得x_0=x_1 x_2/2=1/2a,y_0=     

有关Ax By C=0为轴对称的直线问题的解法

题 在直角坐标平面上,如果直线l_1:A_(1x) B_(1y) C_1=0斜率为k_1,直线l:Ax By C=0斜率为k,直线l和l_1的交点为D(x_0,y_0),则直线l_1关于直线l的对称直线l_2的方程是:y-y_0=(2k k_1k~2-k_1)/(1 2kk_1-k~2) (x-x_0)。     

巧用韦达定理——求弦长

解析几何中有一类韦达定理与弦长紧密联系的题型,兹举例说明. 首先,给出一个弦长公式表达式. 设直线y=kx+b与非退化圆锥曲线相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则 |AB|=((x_1-x_2)~2+(y_1-y_2)~2)~(1/2)(*) 为使(*)与韦达定理紧相联,自然会注意到     

两点间距离公式的一种应用

直线y=kx+b上两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)间距离     

用代换法求轴对称

求已知点P(x_0,Y_0)关于直线y=kx m的对称点P＇(x,y),通常是解方程组 {1/2(y y_0)=k·1/2(x x_0) m (y-y_0)/(x-x_0)=-(1/k) 但当k=±1时,可直接用对称轴方程y=±x m即x=±y±m代换以求P＇点的位置。定理1 若P＇(x,y)是点P(x_0,y_0)关于直线y=x m的对称点,则 {x=y_0-m, y=x_0 m。证明比较简单,兹从略。特别地,当m=0时,点p(x_0,y_0)和点p＇(y_0,x_0)关于直线y=x对称。推论1 曲线f(x,y)=0关于直线y=x m对称的曲线方程是f(y-m,x m)     

直线参数方程中参数的几何意义

我们知道经过点P_1(x_1,y_1)倾角为α的直线l,其参数方程是: x=x_1+tcosa y=y_1+tsinα(t是参数) 一般课本上都是这样解释t的几何意义的:|t|就是动点 P(x,y)与已知点P_1(x_1,y_1)之间的距离。当P在P_1上方时,t是正值;当P在P_1下方时,t是负值。这样解释,学生不易接受,在解题时常常出错,尤其是在求直线l与二次曲线的交点到已知点P_1的距离的和、积这一类问题时,对t的正、负号搞不清。我在讲解这一问题时是这样向学生解释     

关于直线同y轴所成的角

如果直线l同y轴相交,则将直线ι沿逆时针旋转到第一次与y轴平行(重合)时所转过的角,称为ι对于y轴的倾斜角,记作β.如果l与y轴平行或重合,则规定β=0°.因此,0°≤β<180°.把关于y轴的倾斜角的正切,称为关于y轴斜率,记作k_y=tg β,(关于x轴的倾斜角和斜率分别记作a和k_x=tg a) 斜率公式.过两点P(x_1,y_1,),Q(x_2,y_2)(x_1≠x_2)的直线的斜率为k_y=(x_2-x_1)/(y_2-y_1)。     

利用直线参数方程解两类常见题

<正>众所周知,平面内过定点P_0(x_0,y_0)、倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数).其中t表示直线l上以定点P_0为起点,任意一点P(x,y)为终点的有向线段^→P_0P的数量,当点P在P_0上方时t为正,当点P在P_0下方时t为负.纵观一些高考、模拟试题,对圆锥曲线     

用直线两点式参数方程证比例式

本文介绍利用直线两点式参数方程来证明比例式的一种规范化有效方法,供参考。一、直线两点式参数方程如图, 设P_1(x_1,y_1)、P(x_2,y_2)、P(x,y)都是直线l上的点,且P_1P/PP_2=λ则(x=x_1+λx_2/1+λ)/(y=y_+λy_2/1+λ)(λ为参数,λ≠-1) 即为过P_1、P_2两点的直线的参数方程。∵由(x_1-x_2)/(x-x_2)=1+λ 及     

平面上两点关于直线或二次曲线位置关系的判定

设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0.     

设而不求巧解题

<正>1.圆锥曲线涉及中点弦求曲线方程和直线方程的问题,经常用点差法设而不求解题例1已知椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a²=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b2=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b²。     

再谈一条美妙性质

文[2]对文[1]作了推广,文[2]中定理如下:定理:过圆锥曲线准线上一点,作该曲线的两条切线,两切点所在直线过相应焦点(其中双曲线准线上的点应在两渐近线之间).笔者受其启发,对文[2]再作推广如下:定理:直线z与圆锥曲线无交点,P∈l,过P若存在两条直线与圆锥曲线相切,则两切点所在直线恒过定点,并以该定点为中点的弦平行于直线 l.证明:设直线 l 方程:Ax By C=0(C≠0),两切点为 M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_0,y_0).     

关于直线与圆锥曲线的位置的判定

一条直线和一条圆锥曲线的位置可以有相交、相切或相离三种情况。下面给出在给定一条直线方程和一条圆锥曲线的方程的条件下,判定它们的位置关系的定理。定理一已知直线l:Ax+By+C=0和椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1,若a~2A~2+b~2B~2>C~2则l和E相交;若a~2A~2+b~2B~2=C~2则l和E相切:若 a~2A~2+b~2B~2相似文献   

函数背景下斜三角形面积问题新解

<正>平面直角坐标系中,三边都不在坐标轴上(或不与坐标轴平行)的三角形面积问题,成为了近年中考命题的热点之一.解决此类问题有一定的难度,常用的方法有:割补法,公式法,平行线法等.本文介绍一种全新解法,供大家参考.定理若A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)(x_1≠x_2)为直线y=kx+b(k≠0)上的两点,P(m,n)为直线y=kx+b外一点.则有     

关于点到直线距离公式的推导

解析几何课本(甲种本)49页中,对点到直线距离公式的推导,分α<90°和α>90°两种情况,分别得α_1=α和α_1=π-α。讨论相当烦琐。但,如果采用下面的推导方法,将简便得多。在直角三角形中,两直角边为a,b,斜边为c,斜边上的高为d。大家熟知有c~2=a~2 b~2。利用面积相等有:a~2b~2=d~2(a~2 b~2),这样就得另一有趣的简单关系:1/d~2=1/a~2 1/b~2。下面就利用这个关系推导点到直线的距离公式: 已知点P(x_0,y_0)和直线l:Ax By C=0, (1)当A≠0,B≠0,且P不在l上时: 这时l不平行于坐标轴。过P分别作平行于y轴,x轴的直线分别与l交于M(x_1,y_1)和N(x_2,y_2)。在所设条件下,PMN     

解二次曲线关于直线有对称点问题的几种方法

二次曲线关于直线有对称点的问题是中学数学的主要题型。学生解这类题常感到困难。今归纳几种常见解法如下,供同行们参考。 方法一 利用判别式。 例1 设抛物线y=x~2-1上存在关于直线ι:y=ax对称的两点,求a的范围。 解 设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)是抛物线y=x~2-1上关于直线l对称的两点,AB的     

极值问题在解析几何中的应用

本文给出用极值求两图形间的距离的方法。一、求点到直线的离距。 1.在平面上,求点A(x_1,y_1)到直线l:y=kx+b的距离d。解:在直线l上任取一点p(x,y),则 |AP|=((x-x_1)~2+(y-y_1)~2)~(1/2) =((x-x_1)~2+(kx+b-y_1)~2)~(1/2) =((1+k~2)x~2-2(x_1+ky_1-kb)x+x_1~2+(y_1-b)~2)~(1/2) =((1+k~2)(x-(x_1+ky_1-kb)/(1+k~2))~2+(kx_1-y_1+b)~2/(1+k~2))~(1/2)当x=(x_1+ky_1-kb)/(1+k~2)时,|AP|取极小值d。所以d=|AP|极小=|kx_1-y_1+b|/(1+k~2)~(1/2)=0给出,则k=-A/B,b=-C/B,于是 d=|-(A/B)x_1-y_1-C/B|/(1+(A~2/B~2))~(1/2) =|Ax_1+By_1+C|/(A~2+B~2)~(1/2)     

关于直线的参数方程与应用

在直角坐标系下,如果一条直线l经过已知点P_0(x_0,y_0),倾角为a,那么它的参数方程为 {x=x_0 tcosa y=y_0 tsina (t为参数) (*) 这个方程很重要,应让学生很好理解和掌握。 (一) 关于参数t的几何意义方程(*)中,参数t的几何意义是直线l上的定点P_0(x_0,y_0)与l上的任意一点P(x,y)所成的有向线段P_0P的数量P_0P,即t=P_0P。当P_0P与l同向时,有     

直线方程y0y=p(x+x0)的几何意义

文[2]作为文[1]的续文,在直线方程(x_0x)/(a~2) (y_0y)/b~2=1的三种几何意义探讨启发下,给出了直线方程(x_0x)/(a~2)-(y_0y)/(b~2)=1的几何意义.本文再给出直线方程y_0y=p(x x_0)的几何意义,以告对此类问题的探讨圆满解决.