一个不等式猜想及证明

猜想（数学问题315．2）设xi〉0,i=1,2,…,n（n≥3）,则有Sn=x2/x1（x3＋x4＋…＋xn）＋x3/x2（x4＋…＋xn＋x1）＋…＋xn/xn-1（x1＋x2＋…＋xn-2）＋x1/xn（x2＋x3＋…＋xn-1）≥（n-2）n∑i=1xi.     

一个不等式的新证

命题1若x1,x2,…,xm都是正数,m,n∈N,且m≥2,则x1n＋x2n＋…＋x＋m^n≥1/m（n-1）（x1＋x2＋…＋xm）^n,当且仅当x1=x2=…=xn时,取等号.证明不妨设x1＋x2＋…＋xm=S,则命题能转化为若x1=x2=…=xm都是正数,且满足x1＋x2＋…＋xm=S,m,n∈N且m≥2,则x1^n＋x2^n＋…＋xm^n≥1/m^（n-1）S^n.     

利用柯西不等式的变式简解竞赛题

柯西不等式是高中数学中重要的不等式之一,它有如下重要变式： 若xi,yi∈R＋（i=1,2,...n,n∈N^＊,n≥2）,则有x^21/y1＋x^22/y2＋...＋x^2n/yn≥（x1＋x2＋...＋xn）^2/y1＋y2＋...＋yn,当且仅当x1/y1=x^2/y2=...=xn/yn时等号成立．     

一个猜想的证明

文[1]将拙文[2]中证明的一个不等式推广为(文[1] 定理3,叙述略有改动): 定理设x1,x2,…,xn∈R ,λ1,λ2,…,λn是不全为零的非负实数,m≥2,则有     

一个矩不等式在解一类条件最值问题中的应用

该文探讨了矩不等式在解一类条件最值问题,即＂已知xi∈R＋,i=1,2,…,n,且g（x1,x2,…,xn）=1,求函数f（x1,x2,…,xn）的最小值＂问题中的应用.     

一个分式不等式的联想

瓦西列夫不等式[1]叙述如下: 设a,b,c＞0,a 6 c=1,则有a2 b/b c b2 c/c a c2 a/a b≥12.(1) 将此不等式进行联想类比,并推广到多元情形,得到 结论1 设x1,x2,…,xn＞0,n∈N,n≥2,则∑x12 x22 … xn2-1/x2 x3 … xn≤x1,x2 … xn.(2) 其中记.号"∑"表示循环和.     

一个带参数的分式不等式及其应用

定理设xi>0,(i=1,2,…,n),若k≥1,则x1/kx1 x2 x3 … xn x2/x1 kx2 x3 … xn … xn/x1 x2 x3 … kxn≤n/n k-1.(1)若k<1,则不等式(1)不等号反向.证明因为不等式左端是关于x1,x2,…,xn的一次齐次对称式,故可设x1 x2 x3 … xn=1,则不等式(1)可以分为     

用不定方程解的个数解一类计数问题

定理 方程x1＋x2＋…＋xn=k（k∈N＋）． （1）非负整数解有C（n＋k-1）^（n-1）组； （2）当k≥n时，正整数解有C（k-1）^（n-1）组．     

由一道高考题想到的——浅谈构造函数证明不等式的方法

2008高考山东卷第21题第二问是这样的： 已知函数f（x）=1/（1-x）^n＋ln（x-1）,证明：对任意正整数n,当x≥2时,有f（x）≤x-1．     

一个不等式的推广

题目 设x1、x2、x3为正数,且x1x2x3=1.证明：（x1＋1）（x2＋1）（x3＋1）≥8.此不等式还可得到以下两个推广。推广1 若x1,x2,……,xn〉0（n≥2）,且n是正整数,则     

用切线法新探一类条件不等式

文[1]在文[2]对不等式“若xi〉0,i=1,2,3,且∑i=1^3 xi=1,则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出的初等证明进行探究的基础上,得出如下结论：在xi〉0,i=1,2,3……且∑i=1^n xi=m的条件下,欲证不等式∑i=1^ng（xi）≤k（≥k）成立。只需构造函数f（x）=g（x）=（ax＋b）且使f（m/n）=0.     

一个递推式的证明及应用

定理：如果Sn=ax^n＋by^n,那么Sn=（x＋y）Sn-1-xySn-2（n∈N,且n≥2）.     

试谈高中数学中的高观点（2）

8．以多个高观点为背景 例10（2009,陕西理（22））已知数列{xn}满足x1=1/2,xn=1=1/1＋xn,n∈N^＊.（I）猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论;（II）证明：｜Xn＋1-Xn｜≤1/6（2/5）^n-1背景透视：这是一道有着深厚背景的好题,涉及到压缩映象、黄金分割数、Fibonacci数列、连分数、迭代数列的单调性等诸多高观点．     

经典均值不等式的再改进

赵洪同学在文[1]中将经典几何一调和均值不等式做了如下一重要改进： 定理1 设a1,a2,…an∈R＋,n≥2,则（n/1/a1＋1/a2＋…＋1/an）^n≤a1（n-1/1/a2＋1/a3＋…1/an）^n-1≤a1a2…an。     

巧用贝努利不等式的变式证明三角不等式

贝努利不等式：若x〉-1,n∈N且n≥2,贝4（1＋x）^n≥1＋nx．当且仅当x=0时,等号成立．若在此不等式中,令t=1＋x,就可得变式：若t〉0,n∈N且n≥2,则t^n≥n（t-1）＋1．当且仅当t=1时,等号成立．     

数列不等式的证明方法

数列和不等式都是中学数学中非常重要的内容,也是高考的热点.近年来对数列和不等式的综合考查常被设置为高考压轴题,因为数列不等式的证明问题既要考虑不等式的证明方法,又要结合数列的特点,故综合性强,难度大.本文借助几道典型的高考试题,介绍数列不等式的常用证明方法.一、平均值不等式法例1已知数列{xn}由下列条件确定:x1=a>0,xn 1=21xn xan,n∈N*.证明:对任意的n∈N*且n≥2,总有xn≥a.证明由x1=a>0及xn 1=21xn xan,可归纳得xn>0.从而有xn 1=21xn xan≥xn.xan=a(n∈N*),所以当n≥2时,xn≥a成立.点评由于xn xan是“和”的形式,且xn、xan…     

两种拆分方法在解不等式问题中的应用

1差项比较法 定理1对于数列{xn}、{yn},有xn=x1＋（x2-x1）＋（x3-x2）＋…＋（xn-xn-1）,yn=y1＋（y2-y1）＋（y3-y2）＋…＋（yn-yn-1）.     

对两个优美不等式的再巧证

《数学通报》2009年第4期刊登的问题1785：“设0≤xi≤1（i=1,2,3,…,”）,n∈N,n≥3,且∑i=1^n xi=1.试求f（x1,x2,…,xn）=∑i=1^n xi/1=xi^2的最大值”的解答繁难复杂,不易发现和掌握．笔者立足基本方法,从简单自然解题的角度探究发现,用均值不等式解之,更能凸现问题本质,展示数学的简洁美．     

三元shapiro循环不等式的推广

设xi∈R (ι=1,2,…,n),n≥3,xn 1=x1,xn 2=x2,1954年Shapiro,H.S.猜测有n元不等式这个不等式在数学界引起了强烈的兴趣,经过30多年的研究,问题得以解决,现已得知当n≤12或n为不大于23的奇数时,这个不等式成立,而对其余n均不成立.当n=3时的(1)为:设x,y,z∈R     

贝努利不等式的应用

贝努利不等式 :设 x>- 1 ,且 x≠ 0 ,n是不小于 2的整数 ,则 ( 1 x) n>1 nx.这个不等式的证明方法之一是用数学归纳法 .读者可参考现行课本代数下册 ,也可用均值不等式证明 :对 n∈ N,n≥ 2 ,当 - 1 0 ,1 nx≤ 0 ,因而 ( 1 x ) n>0≥ 1 nx,故不等式成立 ;当 x>- 1n且 x≠ 0时 ,n 1 nx =n ( 1 nx)· 1· 1… 1(n- 1 )个<( 1 nx) 1 1 … 1n =1 x,∴ ( 1 x) n>1 nx.此处不等式严格成立在于 x≠ 0综上 ,只要 x>- 1且 x≠ 0 ,均有 ( 1 x) n>1 nx( n≥ 2 ) .下面给出定理的应用例 1　已知 …