利用曲线系方程解决定点定值问题

<正>圆锥曲线中的定点、定值问题是近几年江苏高考中的热点问题,按常规的联立方程组的方法解这类问题有时显得非常繁,如若能巧妙利用曲线系方程求解,则有时会使问题简单化.本文就此类问题作探讨,供读者参考.首先圆、椭圆、双曲线、抛物线被称为二次曲线,两条相交直线被视为二次曲线的退化形式,二次曲线系的一般形式为22Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0.同圆系一样,具有某一共同性质的二次曲线也能用二次曲线系表示,以下是常用的几个结论(λ,μ表示参数,fi=Ai+Bi y+Ci).     

求两个二次曲线交点个数的解决策略

在高中阶段,同学们对直线与二次曲线相交问题的解决策略比较熟悉.2009年的一道高考题涉及了对含参数的两个二次曲线交点个数的判断,很多考生受直线与二次曲线判断方法思维定势的影响造成了错误,笔者就这一问题展开反思并探究求两个二次曲线交点个数的几种解决策略.     

直线与二次曲线相切的充要条件

文〔１〕举例说明了命题：“与二次曲线交于一点的直线就是切线”是错误的．那未满足什么条件时,这种直线一定是切线呢？本文将回答这个问题．我们观察三种二次曲线与直线相交于一点的情况：如图所示,直线ｌ１、ｌ２、ｌ３、ｌ４、ｌ５虽然都与二次曲线相交于一点,但只...     

韦达定理在解直线问题中的应用

在解析几何中,对于直线与二次曲线的相交问题,常用到韦达定理。其实两直线相交或平行被第三条直线所截的一类问题也可用韦达定理来解决。可把两条直线方程f_1(x,y)=0和f_2(x,y)=0的积式     

二次曲线被直线所截得的弦长公式及其应用

直线与二次曲线相交的两个交点问的距离叫做二次曲线被直线所截得的弦长.关于弦长的计算,很多教学参考资料,教材配套练习册,高考复习资料以及高考试题中大量出现.大面积的学生都能掌握弦长的计算方法,然而,大面积的学生都要算错.究其错因,有学生粗心大意导致运算出错的一面,而更多的是由于在教学过程中没有规范弦长的计算程序,导致求解过程中运用根与系数     

扫描圆锥曲线问题中忽视判别式的错误

<正>圆锥曲线是平面解析几何的重要内容,而圆锥曲线问题往往计算量大、涉及面广、综合性强,在解题时常常会出现这样或那样的错误,有的错误还不易察觉.其中圆锥曲线与直线或其它二次曲线相交问题中,由于没有注意判别式的功能与作用,造成解题错误的     

卡诺定理的推广

数学家卡诺(Carnot)曾发现三角形与二次曲线之间,存在着一种美妙的关系,即卡诺定理设△ABC的三条边AB、BC、CA(或其延长线)与一条二次曲线分别相交于     

二次曲线的相交弦定理及其应用

相交弦定理是涉及圆与两相交直线的一个重要定理,本文利用参数方程把它推广为二次曲线的相交弦定理,然后举例说明它的应用。     

利用根的分布原理求解析几何中的参数范围

解析几何里,直线与二次曲线、二次曲线与二次曲线的位置关系中,常遇到参数取值范围的问题.因为它涉及知识面广、灵活性大、技巧性强,并能考查应试者的诸多能力,所以一直作为一种好题型成为高考热点问题而倍受命题专家的青睐.这类问题的解法多种多样,其中利用一元二次方程根的分布原理(区间根原理)求解的方法是一种不可忽视的良好方法.这种方法的基本步骤是:将直线(或曲线)方程与曲线方程联立,消去一个变元,得到另一个变元的·11·     

关于直线与二次曲线的相交与相切

二次曲线与直线的相交与相切问题在中学解析几何的教学中一直占据着很重要的地位。本文首先给出一般平面曲线与直线相切的条件,其次对一般的二次曲线讨论与直线相交于一点和相切的条件。一、一般结论设曲线C的方程为F(x,y)=0,下文均设F(x,y)有连续的偏导数,首先引进一般曲线的切线概念。     

圆锥截线必是二次曲线

给出一种较简明的方法,证明平面与圆锥相交所得的圆锥截交线为二次曲线     

一类解几问题的错解、繁解与简解

众所周知,解决直线与二次曲线的相交问题,可用判别式法,然而,两条二次曲线的相交问题,判别式法就不够用了,在解决这类问题时,数形结合是前提,等价转换是关键,下面就这类问题的解法进行探讨,试图从以下两个方面把问题讲清楚:一是对于学生中容易出现的错解列举出来,并指出产生错误的原因;二是对于正确的解法,讲明其解题思路和关键处的解法依据,并比较解法的优劣,现举例说明如下: 例1 椭圆x~2 4y~2=4与圆(x-1)~2     

抓住本质 简洁求解——用二次曲线系方程解决一类解析几何问题

<正>圆锥曲线是高中解析几何的重点内容,主要包括圆、椭圆、双曲线、抛物线,它们也常被称为二次曲线,两条相交直线可视为二次曲线的退化情形.二次曲线方程一般形式为     

抓住本质 简洁求解——用二次曲线系方程解决一类解析几何问题

圆锥曲线是高中解析几何的重点内容，主要包括圆、椭圆、双曲线、抛物线，它们也常波称为二次曲线，两条相交直线可视为二次曲线的退化情形．二次曲线方程一般形式为     

彰显“退化”本质魅力 攻克“动点距离”难题——介绍处理动点距离最值问题的一种有效手段

针对高中数学中普遍存在的涉及二次曲线上动点的距离极值问题,本文从理论基础、思维实践和方法特色三个方面论述运用"二次曲线及其相交情形的退化"处理动点距离最值问题,使方法系统化,理论与思维实践紧密融合,让高中数学教师体会到运用通法解决问题时,比通常所谓"巧解"、"特解"更简洁流畅,更具有数学美.     

“直线与二次曲线关系问题的运算策略”的教学设计与思考

<正>1教学设计1.1教学需要分析适用对象分析:本课内容综合性强,适用于高三二轮专题复习阶段的学生.学习内容分析:直线与二次曲线的有关问题是高考的重点,此内容均出现在江苏省2010年、2011年、2012年高考试卷的解答题中.教学目标分析:对直线与二次曲线的关系问题,学生往往有思路而难以算出最后正确结果,究其原因是学生不能根据题目条件,采取有效的     

应用闭区间上二次函数的最值求解数学题

文 [1]较系统地介绍了二次函数在闭区间上的最值问题的各种基本题型的求解方法 ,读后获益匪浅 .近年来的高考或竞赛重视能力立意 ,常在知识网络的交汇点上设计试题 .二次函数与二次方程、二次不等式和二次曲线等的交汇自然贴切 ,一脉相承 ,试题常以二次方程、二次不等式和二次曲线等为载体 ,对二次函数这一基础内容进行综合考查 .闭区间上二次函数的最值是二次函数中的重要内容之一 ,它作为求有关问题最值的常用工具 ,经常穿插于二次方程、二次不等式和二次曲线中进行考查 .本文在文 [1]的基础上 ,进一步探讨应用闭区间上二次函数的最值求解…     

二次曲线焦半径与切线间的一个性质及应用

二次曲线有许多丰富有趣的性质,这部分内容也是高考命题的热点.笔者在引导学生复习这部分内容时,发现二次曲线的焦半径与切线间有一个有趣的性质,在此给出,与大家同享.一、二次曲线的焦半径1.定义:二次曲线上的点与焦点连成的线段,叫二次曲线的焦半径.2.二次曲线的焦半径长度     

圆的“两点式”方程及其应用

高中《平面解析几何》第68页第3题: 已知一个圆的直径端点是A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),证明:圆的方程是 (x-x_1)(x-x_2) (y-y_1)(y-y_2)=0。 这是解析几何中的一道典型习题,它给出了圆的方程的又一种形式。由于该形式含有圆的一条直径的两端点的坐标,故称它为圆的两点式方程。笔者在复习教学中,发现利用它可使以直线与二次曲线相交的弦为直径的圆的有关问题获得简捷解答。 应用1 先设出直线与二次曲线相交的弦两端点的坐标,然后由圆的两点式方程直接写出以相交的弦     

求二次曲线中的直线斜率分类解析

求直线的斜率是平面解析几何考查的重点内容之一,它通常与二次曲线结合在一起,成为近年的高考热点.它往往涉及二次曲线的性质和直线的基本知识、垂直关系、向量的运算、距离(弦长)、线段的中点等问题,并需要把它们等