利用点对称求二次曲线平行弦的中点轨迹方程

平面解析几何中,求二次曲线平行弦中点的轨迹问题,需引入渐近方向等概念,本文利用点对称概念解决了寻求一般二次曲线平行弦的中点轨迹方程等问题,供同行参考.     

利用导数求二次曲线的弦的中点轨迹方程

如何求二次曲线的弦的中点轨迹方程,这是中学解析几何中常见的问题之一。目前解决这类问题的主要步骤是:根据所给条件建立弦的参数方程,将它与二次曲线的方程联立后,再求解,得出交点坐标(或将弦的参数方程代入二次曲线的方程后,利用根与系数的关系,求出二根之和),再利用中点坐标公式,便得到二次曲线的弦的中点轨迹参数方程,最后消     

用等差点法求二次曲线弦的中点轨迹问题举隅

求二次曲线弦的中点轨迹问题,人们通常用直接法、参数法和相关点法求解,这些方法的共同特点是利用题设,建立弦的端点、中点坐标的多个方程组,通过消元得到弦中点轨迹方程,其运算量都比较大.本文根据弦中点坐标与等差数列之间的关系,给出用等差点法求二次曲线弦的中点轨迹方法,并揭示出该解法的简捷性、适用性.     

直线参数方程{x=x tcosa/y=Y tsina的巧用

二次曲线与直线有关的问题是平面解析几何所研究的重要问题,其类型较多,解决的方法也不尽相同。在这里,本文从我们所熟知的有关结论概括出下面两个定理,以此为基础,仅就二次曲线的“弦中点”、“中点弦”、互相垂直的两切线交点的轨迹方程等问题,浅谈直,线参数方程的巧用。     

一类解几问题的弦圆方法

文[1]论述了一般二次曲线的弦圆化方法,对各类动弦的中点轨迹及有关弦长的各类问题都给出了十分巧妙简捷的解答。本文用“弦圆法”巧解另一类解析几何题。为了行文的方便,先对“弦圆”作简要说明。定义以一般二次曲线的动弦中点为圆心,弦长为直径的圆称之为弦圆。     

椭圆共轭直径性质的探究

正在解析几何中有如下的定义:定义1[1]二次曲线平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径,它所对应的平行弦,叫做共轭于这条直径的共轭弦,而直径叫做共轭于平行弦的直径.由此,我们便容易得出椭圆共轭直径的如下定义:定义2如图1,椭圆中平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD叫做互为     

利用二次曲线的直径方程求弦的中点轨迹

在中学解析几何中求动点的轨迹,特别是求二次曲线的平行弦与绕定点的转动弦的中点轨迹一般都比较繁难,但如果恰当地使用二次曲线的直径方程,就会较简捷地推出结果.本文仅就二次曲线的直径方程在求二次曲线弦的中点轨迹的应用作一些初步的整理和探讨.     

求二次曲线弦中点轨迹与弦长的一种方法

介绍利用二元Taylor定理求二次曲线弦中点轨迹与弦长的一种方法.     

弦的中点轨迹方程的另一求法

二次曲线的平行弦中点轨迹方程它的一般求法趋于公式化,无逻辑推理,求法单调,有的求解过程还较为复杂,而高中解析几何中的几类特殊二次曲线,求它的弦中点轨迹方程时,一般又是要引用韦达定理及中点坐标公式等,使得求解过程较为复杂,现介绍此类问题的另一求法供参考.     

二次曲线的弦的中点轨迹导数求法

二次曲线的弦的中点轨迹的求解方法可以用代入法、几何法、直线参数方程法等,但这些方法有时比较麻烦。可以利用微分中值定理、导数公式和隐函数求导数法则,求解二次曲线的弦的中点轨迹。     

点差法与中点弦

运用点差法或“和、差设点式”点差法,可以解决下列两种类型的“中点弦”问题,其特点是可回避一元二次方程的实根判别式．1．二次曲线的“中点弦”的存在性     

利用二次曲线的直径方程求弦的甲点轨迹

在中学解析几何中求动点的轨迹，特别是求二次曲线的平行弦与绕定点的转动弦的中点轨迹一般都比较繁难，但如果恰当地使用二次曲线的直径方程，就会较简捷地推出结果．本仅就二次曲线的直径方程在求二次曲线弦的中点轨迹的应用作一些初步的整理和探讨．     

一个二次曲线平行弦中点的轨迹定理及应用

一阶导数与二次曲线弦中点间存在着一种内在联系,这种联系为解决二次曲线中点弦一类问题开辟了一条较为简捷的路径.本文就以定理形式揭示这种联系并列举应用. 定理:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的以斜率为k的一组平行弦中点轨迹方程是x~2/a~2 yy_x~'/b~2=0(※)(|x|≤a,|y|≤b)其中y_x~'就是平行弦的斜率k,它等于直线(※)与椭圆交点处切线的斜率. 证明:设点P(x_0,y_0)是以k为斜率的弦P_1P_2的中点,点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)     

有关圆锥曲线弦中点的问题

有关圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦的中点问题,大体可分为两类:一是已知斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(也就是直径)的方程;一是以定点(x_0,y_0)为中点的弦所在直线的方程(中点弦的方程)。下面分别作论述。一、斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(直径)方程定理1.二次曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(即直径)方程是(2A+Bk)x+(B+2Ck)y+(D+Ek)=0①推论二次曲线的直径是一条过斜率为     

两类中点轨迹方程的一般形式

在解析几何中,经常要求这样两类中点轨迹方程:第一类是求一个定点与二次曲线上任一点的连线的中点轨迹方程;第二类是过一个定点作二次曲线的弦,求弦中点的轨迹方程。本文准备给出这两类中点轨迹方程的一般形式,利用它们,可以直接写出要求的轨迹方程。设一般二次曲线的方程为 Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0其中A、B、C不全为零。为了方便起见,我们设f(x,y)=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F,这样二次曲线的     

求弦的中点轨迹方程的几种方法比较

本文举例说明求二次曲线弦的中点轨迹方程的四种方法.并对各种方法的优劣进行比较和评析.     

差分解在中点弦问题的应用

二次曲线的中点弦问题,在各种书刊中,用韦达定理来求解的较多.作者在教学实践中发现,使用差分解的方法(将弦的端点坐标代入曲线方程,作差分解因式)解决这类问题更简捷、更方便,且能很好地反映中点弦的特征.下面举例说明:     

平面内与两条直线都相交弦的弦中点轨迹问题

在解析几何中,中点弦问题是一个很常见很重要的问题.中点弦问题通常用“点差法”求解,也可以列方程组,用韦达定理求解.反过来,如果弦满足某些条件(斜率是定值、经过定点或弦长为定值等),与两条相交直线都相交的弦的中点的轨迹方程是什么?轨迹是什么?这是一个值得探究的问题.     

中心对称在二次曲线中的一个巧妙应用

<正>中心对称广泛存在于解析几何问题中巧妙利用好中心对称原理,可使我们在解决二次曲线中点弦问题时多一条有效途径,常能起到化繁为简,出奇制胜的效果.本文就中心对称性原理在求二次曲线中点弦所在直线     

二次曲线几个结论的矩阵形式

引用实对称矩阵运算和性质推导与表述二次曲线切线方程、平行弦中点轨迹方程、以定点为中点的弦方程。