江苏卷第18题别解

题目 如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1．     

精选日本小题

1．如图1，在一坐标平面上，1在（1，1）位置，将自然数由小而大，由内而外，依逆时针方向排列在正方形的各顶点，那么数字159的位置在第几象限？（ ）A．一 B．二 C．三 D．四     

一道培训学生证明三点共线的优秀几何题及其推广

题目如图1，已知：AA1，BB1，CC1是锐角△ABC的3条高，证明：点C1到线段AC，BC，BB1，AA1的垂足在同一条直线上．     

异面直线间距离求法种种

求异面直线间的距离是立体几何中的一个重点，也是一个难点，它涉及概念多，覆盖知识面广，综合性强．由于课本对这类问题的解法介绍得不多，再加上学生受解平几问题的影响，因此在解答此类问题时常常思维受阻．笔者就自己在教学与教研中的一些体会，归纳总结异面直线间距离的一些常用求法，可供同仁在教学中参考．一、直接求法分析图形的特征，通过辅助线将空间线段转化为同一平面中的相关关系，可以直接求出异面直线间距离．例1在棱长为a的正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中，求BD_l和B_1C间的距离．解如图1，由B_1C上BC_1，B_1CC_1D_1，…     

一道高考题的推广与引申

已知椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点是M，｜MA1｜：｜A1F1｜=2：1．     

数学问题与解答2007年第12期问题解答

721．如图1，在等腰直角△ABC中，点D1、D2在直角边AC上，且AD1=CD2，AE1⊥BD1于E1，延长AE1交斜边BC于Fl，AE2⊥BD2于E2，延长AE2交斜边BC于F2，求证：CF1/BF1＋CF2/BF2=1.     

一类方程组的求解方法及其应用

早在上个世纪八十年代初，笔者就在文献[1]中看到过形如 ｛1/x＋1/y＋z=1/a,（1） 1/y＋1/x＋z=1/b,（2） 1/z＋1/x＋y=1/c,（3） （abc≠0，且a＋b-c≠0，b＋c-a≠0，c＋a-b≠0）的方程组，可惜该书没有提供这道题的参考答案，当时笔者也未能求解出结果，然而，事隔十几年之后，在2000年的理科综合的压卷题求解过程中，又碰到了这种方程组，但同样地，参考答案也仅给出最后结果，     

途径一变，多种解法纷纷来

题目 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=3，BC=4，AA1=12，求AC与BD1所成角的余弦值．     

聚焦数学中向量的教与学

1关于向量线性运算的探求 1．1向量线性运算的基础——加、减法运算 例1如图1，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．     

一道有价值的立几试题的探讨

在各类试题中，曾发现有这样一道立体几何题：（如图1）在正三棱柱ABC—A_1B_1C_1年它又换上新装出现在普通高等学校招生全国统一考试的“三南”试题中，可见它是一道好题，引起笔者的兴趣．将探索所得到的结果公布于后，供同行们参考．［思路1］；本题的意图要证A_1B⊥A_1C，必须通过直线与直线，直线与平面的位置关系，进行逻辑推理．根据题目所具备的条件找出BC_1和A_1C在平面A_1ABB_1内的射影是证题的必由之路．证明1如图2，分别取AB、A_１B_１的中点为M、M_1由ABC—A_1B_1C_1为正三棱柱为A_1C在平面内的射影．同理可证：…     

向量中易被忽视的二个结论

结论1 设OA、OB不共线，点P在过A、B两点的直线上的充要条件是OP=αOA＋βOB，其中α，β∈R，且α＋β=1．在结论1中，若α=1/1＋λ,β=λ/1＋λ（λ∈R,县λ≠-1），则有：     

由一道全国高中数学联赛试题引出的圆锥曲线统一性质

文[1]研究了2011年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷第12题：设点A（-1，0），U（1，0），C（2，0），D在双曲线x^2-y^2=1的左支上，D≠A、直线CD交双曲线x^2=y^2=1的右支于点E，求证：直线AD与BE的交点P在直线x=1/2上．     

直角坐标平面内点与直线的位置关系及应用

命题 已知直线l：Ac+By+C=0，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(1)若P1、P2在l的两侧，则(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)&;lt;0；(2)若P1、P2在l的同侧，则(Ax1+By1+C)(4K+By2+C)&;gt;0。     

有多少对兔子

欧洲数学家斐波拉契编过一道题：如果1对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？     

等比数列和“和”性质与试题多解

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，当q≠1时，除了课本中介绍的两个前n项和Sn公式，即Sn=a1(1-q^n)/1-q和Sn=a1-anq/1-q，及在数列中都有an=sn-sn-1，n≥2，S1，n=1，还可得到关于Sn的下列几个常见性质。     

GM(1,1)灰色模型的程序实现

在对GM（1，1）灰色模型研究基础上，利用Mat．1ab软件给出了GM（1，1）模型的实现程序．     

竞赛常用知识手册

1 排列与组合 1．1加法原理与乘法原理 加法原理做一件事，完成它的方法可以有n种办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有m1＋m2＋…＋mn，种不同的方法。     

一类极值问题的求解

例1 如图1所示，在以O为圆心，内、外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在垂直纸面的匀强磁场，R1=R0，     

修正GM（1，1）模型在销售量预测中的应用

基于GM(1，1)预测模型的模型误差的三种情形，给出了修正方法，建立了一种改进的GM(1，1)预测模型．讨论了改进GM(1，1)预测模型在销售量预测中的实际应用，结果表明改进模型具有较好的预测精度。     

线性空间理论中一个不能推广的证明

设V1，V2是数域F上的线性空间V的真子空间，很容易证明V1UV2真包含在V中．对于V中的m个真子空间V1，V2，…，Vm，易见mUi=1 V1也真包含在V中．但m=2时的证明方法不能推广到任意的m，否则，可以得到一个假命题．