A≥0且A≤0的条件的应用

大家都知道:若A≥0且A≤0,则有A=0。这个性质在数学解题中有着重要地位。其条件的出现往往是隐藏在题设或解题过程中,如果充分利用此性质,有时可以收到事半功倍之效。例1 在实数范围内:设x=(((a-2)(|a|-1))~(1/2) ((a-2)(1-|a|))~(1/2))/(1 1/(1-a)) (5a-1)/(1-a))~(1988),则x的个位数字是()(A)1(B)2(C)4(D) 6(88年全国初中数学联赛试题第一题(2)题). 解:要使两个根式都有意义,必须使:(a-2)(|a|-1)≥0且(a-2)(1-|a|)≥0,即(a-2)(|a|-1)≥0且(a-2)(|a|-1)≤0所以只能满足(a-2)(|a|-1)=0,解得a_1     

一道不等式问题的多种证法

第48届 IMO 中国国家集训队测试题(四)第1题:设正实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1 a_2 … a_n=1.求证:(a_1a_2 a_2a_3 … a_na_1)×((a_1/a_2~2 a_2) (a_2/a_3~2 a_3) … (a_n/a_1~2 a_1))≥n/(n 1)此题题型新颖,结构优美.本文给出了此题的6种证法,下面的证法1是由笔者给出的.证法1 首先由 Cauchy 不等式易得下述引理.引理1 设 a_1,a_2,…,a_n 是实数,x_1,x_2,…,x_n 是     

一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{a_n}是等比数列,S_n 是其前 n 项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求证2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列.文[1]给出了如下的一个推广:定理1 已知数列{a_n}是公比不为±1的等比数列,S_n 是其前 n 项和,若 xa_m,ya_(m 2k),za_(m k)成等差数列(其中 x,y,z 成等差数列,且均不为0,m,k 均为正整数),则2yzS_k,z~2S_(2k),x~2(S_(4k)-S_(2k))成等比数列.     

对2007年浙江省高考数学卷理科第21题的分析

试题已知数列{a_n}中的相邻两项 a_(2k-1),a_(2k)是关于 x 的方程 x~2-(3k 2~k) 3k·2~k=0的2个根,且 a_(2k-1)≤a_(2k)(k=1,2,3,…).(1)求a_1,a_3,a_5,a_7;(2)求数列{a_n}的前2n 项和 S_(2n);(3)记 f(n)=1/2((|sinn|)/(sinn) 3),T_n=((-1)~(f(2)))(a_1a_2) ((-1)~(f(3)))/(a_3a_4) ((-1)~(f(4)))/(a_5a_6) ... ((-1)~(f(n 1)))/(a_(2n-1)a_(2n)),求证:1/6≤T_n≤5/24(n∈N~*).1 特点分析2007年浙江省高考数学试题在"能力立意"思想的指导下,在坚持考查学生基础知识、基本方法的同时,特别突显对学生思维能力的考查,其中理科第21题就是一个亮点.该试题以等差数列、等比数列为基础,将数列、方程、不等式、函数、三角等知识巧妙结合,体现了命题者的匠心独运和超凡构思.试题既考查学生对相关知识的掌握情况,又考查学生能否     

等差数列的一个性质的推广

《数学通报》1981年第1期发表了雷宗焕同志的《等差数列的一个有趣的性质》一文(下称雷文)。该文用数学归纳法证明了下述命题: 如果a_1,a_2,…,a_n,a_(n+1)成等差数列,则当n≥2时,下列等式总成立: a_1-C_n~1a_2+C_n~2a_3-…+(-1)~(n-1)C_n~(n-1)a_n++(-1)~nC_n~na_(n+1)=0。(※) 本文将(※)式给予推广。首先研究下述命题:     

1999年高考理科第(17)题的六种解法

若正数 a、b 满足 ab=a b 3,则 ab 的取值范围是(1999年高考理科第(17)题).下面给出此题的六种解法,供参考.解法1 因为 ab=a b 3,a>0,b>0,所以(a-1)b=a 3.且 a-1>0,所以 b=(a 3)/(a-1).ab=(a~2 3a)/(a-1)=(a-1) 4/(a-1) 5≥2 4~(1/2) 5=9.当且仅当 a-1=4/(a-1)即 a=3时取等号.     

等差数列奇次方幂和的表示法

设数列{a_n}是公差为d(d≠0)的等差数列。若令a_0=a_1-d,a_(n 1)=a_n d,则① a_1 a_2 … a_n=(1/2d)(a_na_(n 1)-a_0a_1); ② a_1~3 a_2~3 … a_n~3=(1/4d)[(a_na_(n 1))~2-(a_0a_1)~2]。证①∵ a_ka_(k 1)-a_(k-1)a_k=a_k(a_(k 1)-a_(k-1)=2da_k,k=1,2,…。令k=1,2,…,n, 得n个等式,将它们的两边分别相加得 a_na_(a 1)-a_0a_1=2d(a_1 a_2 … a_n)。∴ a_1 a_2 … a_n=(1/(2d))(a_na_(n 1)-a_0a_1)。②∵ (a_ka_(k 1))~2-(a_(k-1)a_k)~2=a_k~2[a_(k 1)~2     

一道思考题解法的高观点研究

九年义务教育六年制小学教科书《数学》第四册88页有这样一道思考题:把1,3,5,7,9,11,13填进7个空中,使每个圆圈中四个数字的和都相等。这道题中给出的七个已知数成等差数列,运用等差数列的下面两个性质,很快便能得出符合题意的多种填法:[性质1]若 a_1,a_2,a_3是公差为 d 的等差数列,则 a_1 a_2,a_1 a_3,a_2 a_3也是公差为 d 的等差数列。     

一类等比数列的讨论

现行高中教材《数学》第一册(上)第128页有一道数列例题:已知 S_n 是等比数列{a_n}的前 n 项和,S_9,S_9,S_9成等差数列.求证:a_2,a_8,a_5成等差数列.文[1]将其推广,得到定理1 设 S_n 是等比数列{a_n)的前 n 项和,其公比g≠1,k∈N,k≥2,则 s_k,S-(3k),S_(2k)成等差数列的充要条件为 a_(k-1),a_(3k-1),a_(2k-1),成等差数列.这里,从两个方面推广了该例题:其一,由特殊推向一般;其二,由必要性推到充要性.读完该文,似乎觉得尚有进一步讨论的余地.例     

一道习题的探索

高中数学第三册第二章不等式有这样一道习题:用逆证法证明: (1) a~(1/2)-(a-1)~(1/2)<(a-2)~(1/2)-(a-3)~(1/2),(a≥3); (2) 1/3~(1/2)+2~(1/2)>5~(1/2)-2。下面我们用顺证法证明命题(1)成立。证证:∵ a≥3, ∴ a~(1/2)、(a-1)~(1/2)、(a-     

等差数列的前n项立方和公式

命题 若等差数列{a_n}的公差为d,则其前n项的立方和为: a_1~3 a_2~3… a_n~3= 证明 ∵(a_1~2 da_1)~2-(a_1~2-da_1)~2=     

用“假设法”解题也要创新

现行高中《数学》(必修 )第一册 (上 )第3 .5节例 4是 :已知Sn 是等比数列 {an}的前n项和 ,S3,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .这是一道难得的好题 ,具有很好的研究价值 .一、例题引申引申 1:若Sn 是公比q≠ 1的等比数列{an}的前n项和 ,a2 ,a8,a5成等差数列 ,则S3,S9,S6 成等差数列 .证明 :设等比数列 {an}的首项为a1 (a1 ≠ 0 ) .∵a2 ,a8,a5成等差数列∴ 2a8=a2 +a5.即 :2a1 q7=a1 q +a1 q4∴ 2q6 =1+q3,∴q3+q6 =2q9.又q≠ 1,∴S3+S6 =a1 ( 1-q3)1-q +a1 ( 1-q6 )1-q=a1 [2 -(q3+q6 ) ]1-q=2a1 ( 1-q9)1-q =2S9.∴S3,…     

等差数列和等比数列的两个性质

本刊88年第一、二期(80页)有如下一道选择题:“一等比数列前三项之和为21,第四项到第六项之和为168,那么第七项到第九项之和等于:A.336,B.504,C.672,D.1344。”在这道题中,D是正确的。此题恰有:(a_4 a_5 a_6)~2=(a_1 a_2 a_3)(a_7 a_8 a_9).即a_1 a_2 a_3,a_4 a_5 a_6,a_7 a_8 a_9也成等比数列。这是偶然的吗?回答是必然的。为方便叙述起见,先建立如下定义。定义1 a_(l0) a_(l0 1) a_(l0 2) … a_(l(?) k0-1)(k_0、l_0∈N)叫做数列{a_n}的片断     

运用二项式定理证明不等式

二项式定理以结构的对称性给人以美的享受,这种美感更体现在它的广泛应用上。运用二项式定理证明一些不等式,结构简明,思路清晰,可达事半功倍之效。 例1 已知数列|a_n|,|b_n|,分别是等差数列和等比数列,且a_1=b_1,a_2=b_2,a_1≠a_2;a_n>0(n∈N~ ),求证:当n≥3时,a_nN时a_n<0,矛盾。故d>0。 n≥3,b_n=b_1q~(n-1)=a_(a_2/a_1)~(n-1) =a_1((a_1) a_1)~(n-1)=a_1(1 d/(a_1))~(n-1) =a_1[1 C_(n-1)~1d/(a_1) C_(n-1)~2 … C_(n-1)~(n-1)(d/(a_1))~(n-1)]     

在辩证运用中理解等差中项

在学习等差数列的过程中 ,我们辨证地来理解等差中项 ,以增强运用等差中项的意识 .一、若a ,A ,b成等差数列 ,则 2A =a+b【例 1】　已知a -1,a ,a2 +1成等差数列 ,求数列 {an}的通项公式an.解 :∵a-1,a ,a2 +1成等差数列 ,∴ 2a =(a-1) +(a2 +1) ,解得a =0或 1.当a =0时 ,a1 =-1,d =1,an =-1+(n -1) · 1=n -2 ;当a =1时 ,a1 =0 ,d =1,an =0 +(n-1) · 1=n-1.【例 2】　设 {an}是递增等差数列 ,前三项的和为 12 ,前三项的积为 48,求该数列的首项a1 .解 :∵等差数列 {an}前三项的和为 12 ,∴a1 +a2 +a3=3a2 =12 ,解得a2 =4.又前三项的积为 4…     

算术—几何平均不等式的一个证明

设n是大于1的自然数,a>0。易知a(?)1时,a-1与n-(1+a+…+a~(n-1))总是异号。所以, (a-1)[n-(1+a+…+a~(n-1))]≤0。即(a-1)(n-(1-a~n)/(1-a))≤0。整理,有a(n-a~(n-1))≤n-1。①显然,①式等号成立的充分必要是a=1。如果a_1,a_2,…,a_n是n个正数,在①中令a=(a_1/((a_1+a_2+…+a_n)/n)~(1/(n-1)),则有a_1~(1/(n-1))·(a_2+…+a_n)/(n-1)≤≤((a_1+a_2+…+a_n)/n)~(n~(n-1)),即((a_1+a_2+…+a_n)/n)~n≥≥a_1((a_1+a_2+…+a_n)/(n-1))~(n-1)。②再在①中令a=(a_2/(a_2+…+a_n)/(n-))~(1/(n-2)),重复上述步骤,并结合②,有     

等比数列求和公式的逆用

一、逆用等比数列前n项和的公式 a a_1q a_1q~2 …a_1q~(n-1)=a_1(1-q~n)/(1-q) (q≠1) 例1 求证2~n>2n 1(n∈N,且n≥3).(高中《代数》下册第125页第6(1)题) 证明:2~n=((1-2)~n/1-2) 1 =(1 2 2~2 … 2~n) 1 >(2 2 2 … 2) 1=2n 1. 读者类似可证相同教材第123页例5. 已知x>-1,且x≠0,n∈N,且n≥2, 求证(1 x)~n>1 nx. 二、逆用无穷递缩等比数列各项和的公式     

记一堂数列是非辨析课

请同学们思考以下问题:问题1:设数列{a_n}是正数等差数列,数列{b_n}是正数等比数列,且a_1=b_1,a(2n 1)=b_(2n 1).试比较a_(n 1)与b_(n 1)的大小关系.学生S_1很快给出了如下解法:因为a_(n 1)>0,b_(n 1)>0,所以,a_(n 1)=(a_1 a(2n 1))/2≥(a_1a_(2n 1))~(1/2)=     

等差数列一个性质及应用

性质:设{a_n}为等差数列,则(1) 1/(2k-1)sum from i=1 to (2k-1)(a_i=a_k).(2)1/2k sum from i=1 to 2k(a_i=(a_k a_(k 1))/2).此性质可叙述为:等差数列奇数项的算术平均值等于中间一项;等差数列偶数项的算术平均值等于中间两项的算术平均值.证明:设d为等差数列{a_n}的公差,则a_i=a_k (i-k)d=(a_k-kd) id(i=1,2,…)应用这个性质,可给出一些高考数列题的简解.例1.在等基数列{a_n}中,若a_3 a_4 a_5 a_6 a_7=450,则a_2 a_8的值等于( ).(A)45,(B)75,(C)180,(D)300.(1991年上海高考题)     

一个不等式的讨论

“已知a>0,b>0,a+b=1,求证(a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥25/2”,这是一个常见的习题,值得深入讨论一番。为了便于本文的讨论,先给出如下解法: ∵ a>0,b>0,a+b=1 ∴ 1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)≥4 ∴ (a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥ 2·((a+b+1/a+1/b)/2))~2≥ 2·(1+4/2)~2=25/2 这里,用到了不等式(a_1+a_2)(a_1~(-1)+a_2~(-1)≥2~2和a_1~2+a_2~2≥2((a_1+a_2)/2)~2.实际上,一般地有不等式(sum from k=1 to m ak)(sum from k=1 to m a_k~(-1))≥m~2和