也谈四面体的Nesbitt不等式

1引言1903年,A.M.Nesbitt建立了如下关于三角形边长a、b、c的几何不等式[1]:3/2≤a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)<2 文[2]将Nesbitt不等式推广到四面体中,得到:定理1设四面体A_1A_2A_3A_4中,顶点iA所对的面的三角形面积为(1,2,3,4)iSi=,实数1λ≥,则122343414()()3SSSSSSSSλλλ≤++++++34412123()()2SSSSSSSSλλ+<++++,(2)文[2]称1λ=时的(2)式为关于四面体的Nesbitt不等式.本文给出四面体中的Nesbitt不等式在另一指数范围内的一个推广.2主要结论定理2设四面体1234AAAA中,顶点iA所对的面的三角形面积为(1,2,3,4)iSi=,实数13/4…     

由Nesbitt不等式加强式的等价形式建立的几个不等式

文[1]中作者给出并证明了Nesbitt不等式的加强式,同时介绍了其运用,本文给出Nesbitt不等式加强式的一个等价形式,在此基础上建立几个新颖的不等式.Nesbitt不等式设a、b、c是正实数,则有a b+c+b c+a+c a+b≥32(1).文[1]将(1)式加强为:设a、b、c是正实数,则有a b+c+b c+a+c a+b≥32+a-b 2+b-c 2+c-a 2 a+b+c 2(2).这里给出(2)的等价变形形式,在此基础上建立几个有趣的不等式.     

Nesbitt不等式的十七种证明

<正>Nesbitt不等式设a,b,c∈R+,求证:a/b+c+b/c+a+c/a+b≥32.Nesbitt不等式形式对称优美,内涵丰富多彩.本文挑选整理了它的十七种证明,分为四个层次,辑录于此,其中涉及多个重要不等式的运用和不等式证明的多种方法与技巧,供读者参考.1直接变形证明很多人认为:不等式的证明灵活多变,技巧性强,难以把握.其实不等式证明并不都很难,有些直接化     

Pham Kim Hung不等式加强的再探究

正Pham Kim Hung不等式:设a,b,c≥0,a+b+c=2,证明:a~2b~2+b~2c2+c~2a~2+abc≤1①.当且仅当a=b=1,c=0及其循环排列时等号成立.这是Pham Kim Hung在《不等式的秘密》(第一卷)中提到并证明的一个有趣的不等式,文[2]将该不等式加强为     

两个不等式猜想的解决--兼擂题(58)解答

《中学数学教学》2 0 0 2年第 6期有奖解题擂台( 5 8)中 ,杨先义老师提出如下猜想 :设a >0 ,b >0 ,c>0 ,a +b +c=1 ,则1b+c2 +1c +a2 +1a +b2 ≥2 74①ab +c2 +bc +a2 +ca +b2 ≥ 94②本文指出 ,猜想不等式①不成立 ,不等式②成立。在①式中 ,令a =0 6,b=0 3 6,c =0 0 4,得左边 =3 41 9455 1 5 2 8<2 74=右边 ;故不等式①不成立。下面证明不等式②成立 ,并修正①式。运用Cauchy不等式 ,得[a(b +c2 ) +b(c +a2 ) +c(a +b2 ) ]( ab+c2 +bc+a2 +ca +b2 )≥ (a +b +c) 2 =1 ,所以　 ab +c2 +bc+a2 +ca +b2 ≥1ab +bc +ca +a2 b +b2 c+c2 a。…     

一道竞赛题的变化题的再推广

正Nesbitt不等式:若a,b,c∈R+,则a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2.该不等式可参见高中课标课程人教版高中教材《不等式选讲》第49页习题第7题,它也曾经作为1963年俄罗斯数学竞赛试题出现,其证明方法有多种,但基本上都是变形复杂、计算量大,对学生来讲可操作性不高.梁开华在其文章《两道竞赛题的变化题》中给出了上述著名的不等式的两道如下变化题:     

再探关于四面体的Nesbitt不等式

1903年,A.M.Nesbitt建立了如下关于三 角形边长a、b、c的几何不等式［１］ 32.2abcbccaab?+<+++ (1) 文[2]中,我们给出了“面型”的四面体Nesbitt不等式: 41423iiiSSSll=骣?琪-桫, (2) 其中,1l,41iiSS==,iS(1,2,3,4i=)为四面体1234AAAA中顶点Ai所对面的三角形面积. 本文建立“线型”的四面体Nesbitt不等式,即 定理 设四面体1234AAAA六条棱的长分别为 1a、2a、3a、4a、5a、6a,61iisa==,实数1l,则 6163()52iiiasalll=?-, (3) 等号当且仅当四面体1234AAAA为正四面体时成立. 证明 因为 61iiiasa=-616iissa==-+- 6…     

2021奥地利数学奥林匹克不等式题的探究

(2021奥地利数学奥林匹克不等式)已知a,b,c∈R⁺,a+b+c=1,求证:a/2a+1+b/3b+1+c/6c+1≤1/2(1).本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.1.不等式(1)的证法分析1:不等式(1)的左端每一项的结构相同,但遗憾的是分母的系数不等,注意到每一项的特点,因此可通过证明局部不等式,再叠加.     

构造条件等式证明不等式例谈

本文举例介绍通过构造条件等式来证明不等式,这种方法只是给大家提供一种证明不等式的新视角,有时并不一定是最便捷的,不当之处请同行批评指正. 例1(2000年加拿大数学奥林匹克试题)设a,b,c ∈ R+,求证:a3/bc+b3/ac+c3/ab≥a+b+c.     

具有相同规律的一组数学竞赛题

先看下面的一个公式:设ai∈R,bi∈R+,i=1,2,…,n.则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn.这个公式是由柯西不等式稍加变形后得到的,用它处理一类分式不等式问题十分方便.下面举例说明.例1已知a、b、c∈R+.求证:ab+c+bc+a+ca+b≥32.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明:ab+c+bc+a+ca+b=a2a(b+c)+b2b(c+a)+c2c(a+b)≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)=32.例2设a、b、c∈R+,且abc=1.则1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.(第26届IMO)证明:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=a2b2c2a3(b+c)+a2b2c2b3(c+a)+a2b2c2c3(a+b)=b2c2a(b+…     

几个著名不等式的加强

著名的Gerretsen不等式是:若s、R、r为△ABC的半周长及外接圆、内切圆半径,则16r-5r~2≤s~2≤4R~2+4Rr+3r~2 (1) 不等式(1)在证明三角不等式时有着广泛的应用。本文先给出s~2≤4R+4Rr+3r的一个加强: 命题1 s~2≤R(4R+r)~2/2(2R-r) (2) 证明 设a、b、c为△ABC三边长,将三角形中恒等式s-a=r/tg(A/2)和a=2RsinA相加,整理得:     

一道竞赛题的另证

2013年浙江省高中数学竞赛的附加题是一道不等式证明题.题目设a、b、c∈R+,ab+bc+ca≥3.证明:a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)≥9这道不等式题,证明的人口宽,方法多.下面先给出命题组提供的参考答案.证明原命题等价于证明     

《一组猜想不等式的证明》引发的思考

在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式: 猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c); 猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4; 猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3; 猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2.     

等与不等的转化

1.已知a、b、c为正整数,且a~2+b~2+c~2+48<4a+6b+12c,求(1/a+1/b+1/c)~(abc)的值.解:由a、b、c为正整数,得a~2+b~2+c~2+48和4a+6b+12c均为正整数,则不等式a~2+b~2+c~2+48<4a+6b+12c与不等式a~2+b~2+c~2+48+1≤4a+6b+12c等价.     

举一反三 触类旁通——一道课本习题的变式及应用

高中《数学》(试验修订本·必修)第二册(上)第11页习题6.2第1题是:求证:(a2+b)2≤a22+b2.将上述不等式变形可得a2+b2≥(a+2b)2.(*)不等式(*)可利用均值不等式直接证明,也可借助恒等式2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2及(a-b)2≥0证明.不等式(*)有着广泛的使用价值,本文略举数例加以说明.一、证明不等式【例1】设c是直角三角形的斜边,a、b是两条直角边,求证:a+b≤2c.证明:由题设得a2+b2=c2,由不等式(*)得c2=a2+b2≥(a+2b)2,即(a+b)2≤2c2,亦即a+b≤2c.【例2】己知a、b∈R+,且a+b=1,求证:a+21+b+21≤2.证明:由不等式(*)及已知有2=(a+21)+(b+21)≥(a+21…     

以南京大学的自主招生试题为例谈一类不等式的证明

1.引例2008年南京大学自主招生考试第二大题为:设a,b,c为正数,且a+b+c=1,求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值.该题是不等式的一个常见问题,可以用基本不等式或柯西不等式求解,还可以推广为:     

第42届IMO第2题简证

第 42届 IMO第 2题是 :对所有正实数 a,b,c,证明 :aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab≥ 1.(1)这是一个形式优美的不等式 ,文 [1]介绍了一种基于反证法的证明 .笔者经过思考 ,给出了一种很简洁的直接证法 .证明　 (a43 +b43 +c43 ) 2 - (a43 ) 2=(b43 +c43 ) (a43 +a43 +b43 +c43 )≥ 2 b23 c23 · 4a23 b13 c13=8a23 bc,∴ (a43 +b43 +c43 ) 2 ≥ (a43 ) 2 +8a23 bc=a23 (a2 +8bc) ,∴ aa2 +8bc≥ a43a43 +b43 +c43.同理可证 :bb2 +8ac≥ b43a43 +b43 +c43,cc2 +8ab≥ c43a43 +b43 +c43,以上三式相加 ,即证得 (1)式成立 .第42届IMO第2题简证@姜…     

Klamkin不等式逆向的一个改进

设a,b,c是△ABC的三边边长,则有如下 Klamkin不等式:a/b+b/c+c/a≥1/3(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) (1)文[1]给出了Klamkin不等式的如下逆向形     

在变换的过程中提出问题

问题 1　《数学教学》2 0 0 3年第 2期“数学问题与解答”栏目中的第 5 80题为设a、b、c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b≥ 32 .①笔者试图探索这个新颖不等式的上界 ,得出问题 1 .1　设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .②综合不等式①、②得问题 1 .2　设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :32 ≤ a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .③为了证明不等式③ ,笔者首先想到了它的类似 :问题 1 .3　设x ,y ,z为任意正实数 ,求证 :xy +z+yz +x+zx +y≥ 32 .④于是 ,联想到 :能否将不等式③转化为三…     

2011爱沙尼亚国家队选拔题简证及推广

2011年爱沙尼亚国家队选拔考试第4题设a,b,c为正实数,满足2a²+b²=9c²,证明:（2c）/a+c/b≥3^1/2.侯典峰、郝明泉两位老师在文[1]中主要依据均值不等式,对该题给出了"三个简证".经过探求,笔者发现,借助权方和不等式证明该题,更显简洁.证明:由题设知a,b,c为正实数,满足2a²+b²