直线系与圆系方程

内容概述 具有某种性质的直线(圆)的集合叫直线(圆)系.通常方程中含有一个或几个参变数. 1.直线系常见类型 (1)过定点(a,b)的直线系为:λ1(y-b)+λ2(x-a)=0,其中λ1、λ2为参数 (2)与直线Ax+By+C=0平行的直线系为:Ax+By+λ=0,(λ≠C,λ为参数) (3)与直线Ax + By + C=0垂直的直线系为:Bx-Ay+λ=0(其中λ为参数) (4)若直线l1与l2的一般式分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则曲线系:λ1f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λi为参数)     

关于圆系的两个问题

设有两个不同的圆:F_1(z,y)≡x~2 y~2 2D_1x 2E_1y F_1=0及 F_2(x,y)≡x~2 y~2 2D_2x 2E_1y F_2=0.我们称 F_1(x,y) λF_2(x,y)=0(参数λ■-1)为圆系(不包括圆 F_2(x,y)=0).(1)问题是:1.方程(1)一定表示圆吗?2.圆系有什么性质?参数λ的几何意义是什么?     

数学教学中如何培养创新精神

一、鼓励参与,培养主体意识数学教学的本质是数学思维活动的教学,教师是全部教学活动的组织者．如我在复习曲线对称问题时,提出问题：(1)点(x,y)关于点(a,b)的对称点坐标是什么?曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线是什么?由学生思考、学生回答、教师讲解．(2)设抛物y=x~2-1上存在关于直线L：x+y=0对称的相异两点,求这两点坐标.师生共同分析点关于直线对称问题的一般解法及特殊直线的特殊求法,由学生解答．(3)若改y=x~2-1为y=(1/2)x~2-1,抛物线上是否还存在关于直线对称的两     

应用伸缩变换解几道高考题

<正>新课程在选修4系列的《坐标系与参数方程》中介绍了有关坐标系伸缩变换的概念.定义设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:x'=λx(λ>0)y'=μy(μ>0){的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),则称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.在这种变换下,有性质1直线与曲线的位置关系保持不变;性质2直线l变成l',且kl'=μλkl;     

一道高考题的探究性教学

教学实录(多媒体演示2007年福建省省高考理科数学试卷第20题)如图,已知点F(1,0),直线l:x=?1,P为平面上的动点,过P作直线[?5,7]的垂线,垂足为点Q,且QP?QF=FP?FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=λ1AF,MB=λ2BF,求λ1 λ2的值.学生很快完成(Ⅰ)题,笔者请一名学生到黑板把(Ⅰ)题的解答过程写出来:生1解:(Ⅰ)设点P的坐标为P(x,y),则Q(?1,y),由QP?QF=FP?FQ可得:(x 1,0)?(2,?y)=(x?1,y)?(?2,y,化简得C:y2=4x.师这位同学把题设的向量关系直接转化为坐标的形式,通过化简求得动点P轨…     

曲线的和与积

一、二曲线的和系定义1:在实数域内,设有二曲线 f_1(x、y)=0,f_2(x、y)=0,称曲线系mf_1(x、y)+nf_2(x、y)=0为曲线f_1、f_2的和系.m、n是不为0的实参数.令λ=n/m,则曲线f_1、f_2的和系可以写成: f_1(x、y)+λf_2(x、y)=0,当f_1=f_2时,规定λ≠—1。性质1:当二曲线f_1(x、y)=0与f_2(x、y)=0有公共点时,二曲线的和系f_1(x、y)+λf_2(x、y)=0为过f_1、f_2公共点的曲线系。性质2:除曲线f_1(x、y)=0与f_2(x、y)=0的公共点以外,二曲线的和系f_1(x、y)+λf_2(x、y)=0与曲线f_1或f_2没有其他的公共     

圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用

圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题1设斜率为k的直线与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0)相交于A、B两点,动点M满足AM=λMB(λ为常数),则点M的轨迹方程是2(22)2(1)(2222b x+a ky+λ4?λb x+a y?a2b2)(b2+a2k2)=0.证明设点M(x,y),直线AB的参数方程为x0=x+t,y0=y+kt(t为参数),代入椭圆方程并整理得:(b2+a2k2)t2+2(b2x+a2ky)t+b2x2+a2y2?a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,则:22222t1+t2=?2(b x+a ky)/(b+a…     

利用直线系方程证明平面几何问题

(本讲适合高中)解析法证明平面几何问题已备受关注,而直线系方程的巧妙利用,既可摆脱求交点、直线方程等烦琐运算,又能较简单地得到所需结论,充分体现了整体处理问题的解题策略.本文从六个方面介绍直线系方程在证明平面几何问题中的应用.若直线a1x b1y c1=0与a2x b2y c2=0相交于点P,则通过点P的直线系方程可写成λ(a1x b1y c1) μ(a2x b2y c2)=0(λ、μ∈R).1证明三线共点用直线系方程表示过其中两直线交点的直线,然后,取特殊的λ0、μ0时就是第三条直线,从而证明三线共点.图1例1如图1,⊙O与△ABC的边BC、CA、AB分别交于点A1和A2、点…     

反函数中几个常见误区

反函数是研究函数性质的重要手段,反函数的掌握有助于学生进一步了解函数的概念、性质,有助于得到比较系统的函数知识,并为以后函数的深入学习奠定基础.在本人多年的教学过程中,发现学生对反函数的认识有以下三种常见错误,本文将它们进行剖析,以期达到析错防错之功效.误区一认为f?1(x+a)与f(x+a)(a≠0)是互为反函数.例1已知函数()231f xxx=?+,函数y=g(x)的图象与函数y=f?1(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(5)的值.错解∵y=g(x)与y=f?1(x+1)关于直线y=x对称;∴g(x)与f?1(x+1)互为反函数,即()(1)2(1)325(1)1g x f xx xx x=+=++?+=+,∴g(5)=15/5…     

提高教学有效性的若干思考

<正>提高数学教学的有效性,涉及的方面很多.笔者就以下几点谈一些自己的思考.一、教师个人良好的素质是实施有效教学的根本和源头例1(苏教版必修2第84页思考题)已知直线l_1:x+y+1=0,l_2:x-2y+4=0,那么方程x+y+1+λ(x-2y+4)=0(λ为任意实数)表示的直线有什么特点?过去遇到这个问题,一般都是直接给出答案:该方程表示经过l_1与l_2交点(-2,1)的     

直线系方程的应用——从一道课本习题说起

人教A必修2第三章直线与方程习题3、3A组第4题：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1=0与l2：A2x＋B2y＋C2=0相交,证明方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0（λ∈R）表示过l1与l2交点的直线方程.这是一个有用的结论,表示过2条已知直线l1和l2的交点的直线系方程,其中λ是参数,当λ=0时,     

圆系方程问题再探讨

1.问题背景 文[1]及文[2]讨论了⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0无公共点时,方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+ F2)=0的意义,但均没有指明方程表示何种曲线. 本文试图通过对方程x2+ y2+ Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0及x2+ y2+ D1x+E1y+F1+λ(x2+ y2+ D2x+E2y+ F2)=0的分析,从而阐明:当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2相交(以下简称“相交圆系”)时,上述方程一定表示圆;当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2不相交(以下简称“非相交圆系”)时,上述方程可能表示何种曲线.     

直线和圆问题探究

在初中阶段,学生学习了直线和圆的一部分性质和定理,而在解析几何中,直线和圆的基本性质仍然十分重要,同时借助平面直角坐标系,应用坐标与点的关系,继续深化研究直线和圆的性质. 1.直线系和圆系①具有某一共同属性的直线的集合称为直线系.它的方程的特点是除含有坐标变量x,y以外,还有特定的系数(也称参变量). 例1 求经过两直线2x-3y-3=0和x y 2=0的交点,且与直线3x y-1=0平行的     

举一反三 触类旁通———由2005年全国高考(江苏卷)第19题引发的思考

考题:如图1,圆O1和圆O1的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2PN,试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.评析:本题是求由一动点出发的两条线段长之比为一定值的点的轨迹.通过这两条线段的形成和比值的变化可引发下列思考:思考一:若将题中的PM:PN=2改变为PM:PN=λ(λ>0),其他条件不变,则P点的轨迹又将是什么?分析:以O1O2所在直线为x轴,O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设P点坐标为(x,y),易得P点的轨迹方程为:(1-λ2)x2+(4+4λ2)x+(1-λ2)y2+3-3λ2=0.当λ=1时,P点的…     

怎样进行解题教学 才能提高思维能力

解题教学,是提高思维能力的重要环节.那么如何进行解题教学,才能提高思维能力呢?我在多年的教学实践中深深体会到,解题教学中注重发挥学生主体作用,是开发智力培养能力的重要举措.下面谈谈我的一些具体做法和体会.1给学生创造思维活动的机会解答数学问题的关键是思路.在解题教学中不要直接告诉学生思路,而是为学生提供思维活动的平台,引导学生在探究思路的过程中学会思考,让学生既知其然,又知其所以然,从而有效地提高独立分析问题,解决问题的能力.问题1已知椭圆x25+y24=1和直线l∶y=2x+t,问t在什么范围内变化时,椭圆上总有两点关于直线l对称?教学时,不要直接告诉学生解题过程,而是设置如下问题让学生思考:(1)求t的范围一般方法是什么?(解关于t的不等式)(2)根据什么特征来建立关于t的不等式?(具体方法),学生掌握了思维原则,就能从不同的角度探究解题方法.方法1利用判别式设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是椭圆上关于直线l对称的两点.直线M1M2与l垂直,可设直线M1M2的方程为y=-x2+m,即x=-2y+2m,代入椭圆方程得21y2-32my+16m2-20=0,则关于y的二次方程有两个不等实根,其充要条件...     

圆锥曲线的几个重要性质

性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2+y2/(1+λ)b21的椭圆;双曲线x2/a2-y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是双曲线上的点,直线OM与ON的斜率之积为b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2-y2/(1+λ)b2=1的双曲线;圆x2+y2=r2,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是方程为x2 +y2=(1+λ2)r2的圆.     

对“如图”二字理解的偏差

<正>笔者布置的作业中有一道填空题.作业批改下来,两个班的学生竟然只有一位做对了.原因究竟是什么呢?笔者对此做如下分析.例1如图1,在平面直角坐标系中,已知直线y=-3/4x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C(0,n)是y轴上的一点,将△ABC沿     

对2014年高考山东文科卷压轴题的探究

2014年高考山东文科卷压轴题:在平面直角坐标系中,椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为√3/2,直线y=x被椭圆C截得的线段长为4√10/5. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点, (i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值; (ii)求△OMN面积最大值. 本文将本题第(Ⅱ)问第(i)小问作一般化推广,并将结论类比到双曲线.     

向量三点共线结论的拓展与妙用

正结论1 P是平面OAB(OAB)上的一个动点,→OP=→x OA+→y OB(x,y∈R),若点P,A,B共线,则x+y=1;反之,若x+y=1,则点P,A,B共线.结论 1可作进一步推广:结论 2若点P与O落在直线AB的2侧,则有x+y1,反之也成立.证明设OP与AB所在的直线交于点P',则存在实数λ,使得→OP=λ→OP'且λ1.由上述定理     

浅谈另类直线系之切线直线系

一般地,具有某种共同属性的直线的集合,称为直线系.直线系的方程中除含坐标变量x,y以外,还有可以根据具体条件取不同值的变量,称为参变量,简称参数.常见的5种直线系方程如下:①过点P(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数);②斜率为k的直线系方程为y=kx+b(b为参数);③与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ为参数);④与