数学悖论对数学发展的影响

数学史上的三次数学危机都是由数学悖论引起的。论述了数学悖论及其引发的三次数学危机的产生与发展,及数学悖论对数学发展的作用。     

数学危机与数学发展

数学发展的主要动力是人们的社会实践活动 ,在实践与探索的历史长河中 ,曾有过三次数学危机 ,对于数学危机的探索与解决又推动了数学更大更快的发展。     

谈悖论对数学发展的影响

在数学史上,悖论对数学的发展产生了深远的影响。在解决悖论的过程中,各种理论应运而生：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。     

试论数学危机与数学的发展

数学这门学科始终围绕着数与形而展开。数学的发展并非一帆风顺,而是处处充满了危机。数学在其发展过程中经历了三次大的危机。探究这三次数学危机的历史根源、思想背景,分析危机的解决给数学带来的巨大促进作用,对了解数学这门学科的发展脉络、领略数学的旖旎风光与思想方法无疑具有十分重要的意义。     

现代数学与数学教育

数学是一门充满活力的科学.虽然在它的发展过程中出现了三次危机,并且目前仍处在第三次危机中,但这并不影响它强大的生命力.20世纪以来,数学又取得了长足的进展,展现出许多新的特点,从而跨入了现代数学时代.它以崭新的面貌出现在我们的眼前,它在改变世界,也在改变数学教育.一、数学得到了空前广泛的应用,数学应用成为数学教育的主要内容20世纪数学的一个最大进展就是它的应用范围迅速扩大.20世纪以前,数学在其他科学中的应用主要集中于物理学领域,20世纪以来,这种情况迅速改变.首先,化学由定性研究迅速向定量研究的方向发展,数学成为化学研究的有力工具,并与化学相结合,导致数理化学、化学动力学、量子化学、分子拓扑学、计算机化学等交叉科学的诞生.高度抽象的群论和拓扑学在化学中获得广泛应用,十二面体的旋转群导致C60继而12月号C50、C70等碳分子的诞生,引起科学界的极大震动.分子拓扑性质的发展,导致分子结构的拓扑理论迅速发展,分子电荷分布的拓扑性质、化学键的拓扑理论等相继建立.恩格斯在19世纪后期曾指出,数学在生物学中的应用等于零[.1]然而,20世纪以来,出人意料地出现了一个十分活跃的应用数学领域——生物数学,它包括生物统计学...     

论数学危机与思想解放

数学是一门经典的科学,也是一门常新的科学。数学的每一次重大进步,都是人类历史上的一次大的思想解放和创新的过程。纵观数学的发展史,史学家有把它概括为三次数学危机,也有概括为四次数学危机。从推动科学的发展作用上看,更倾向于概括为四次数学危机。探讨四次数学危机,可以发现其与人类思想解放和创新的关系。     

现代数学基础理论中的一个不可解危机

从新构建的基础理论学的角度,讨论同时存在于现有集合论中两种性质上截然不同的“无穷集合”概念——潜无穷式的与实无穷式的无穷集合．指出现有数学中通常所使用的“无穷”概念极端的模糊不清,一方面混淆了原来的“有穷”概念,另一方面使人们无法理解与解析数学中与“无穷”相关的许多数量形式的性质,因此导致许多错误的数学行为．数学基础理论中这个致命缺陷是导致第二次与第三次数学危机的最根本原因．因此,只有对传统的“无穷”概念进行修正,构建新的“有穷-无穷”理论体系及相关的数量体系才是彻底解决第二次与第三次数学危机的惟一途径．     

也谈数学确定性批判

数学的发展史同时也是人类与数学危机顽强抗争的历史，每一次数学危机过后都带来了数学的重大发展．现在我们又陷入规模更大的危机，以至于我们要重新认识数学确定性．“怀疑”、“批判”固然是良好思维品质的特征，但泛化的怀疑一切和批判只能导致妄想而无所裨益，我们应该不断地探索新的事实，立足于确定性去探索不确定性，不断地在矛盾当中寻求统一．     

从数学学科走向数学文化

长期以来。在我们的课程体系及其教学中，数学常常被局限在自己的学科领域．以科学的姿态出现在儿童的学习过程中，它带有抽象性、严谨性、科学性和系统性。传统的数学教学始终把解决呆板、枯燥、繁难的题目作为核心任务。在这样的价值取向下，我们时常会碰到这样的尴尬：学生在努力学习数学的同时．逐渐地厌烦、冷漠数学；学习数学除了做习题外，数学很难真正进入学生的生活，不能成为学生生活和精神的一部分。一旦数学解题的任务完成后，数学教育的功能也就随之消失了．这不能不说是数学教育的悲哀。     

三次数学危机与悖论

悖论的发现，给数学界以极大的震动，相继导致了数学史上的三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，数学界、逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。本文就悖论与数学危机的产生、悖论的根源以及障论对数学科学的影响提出一些看法。     

数学基础中的逻辑主义

康托尔创立集合论,推进了数学家对于“无穷”的认识,但是却引出了被称为集合论悖论的第三次数学危机,这次危机导致了人们对于数学基础的深入研究。逻辑主义学派不仅致力解决集合论悖论．还决心将数学的基础建立在逻辑之上。该学派的工作虽然极大地促进了数学基础的研究和数理逻辑的发展,但是,将数学建立在逻辑上的目的却没有取得最终的成功。     

数学确定性批判

自非欧几何诞生以来，数学史上的几次重大危机，撼动了数学宏伟大厦的根基；罗素悖论的产生，促进了康托集合论公理化基础的改进；哥德尔不完备定理的提出，彻底暗淡了数学确定性的光芒．怀疑、批判是数学发展的真实动力，破除数学确定性的神性观念，重建数学批判性的人文观念，是传统数学教育模式发生根本转变的关键．数学教育的批判性转型任重而道远．     

渗透数学文化,提升数学素养 把数学史作为一种文化融入到数学教学

正数学史是一部从少到多、由浅及深的发展史,从美索不达米亚人开始用小石子表示羊群的只数,预示着数学符号雏形的出现,经历了三次数学危机,到今天才形成一脉相承的数学体系,并应用到社会发展的各个领域。对于讲授数学的教师和学习数学的学生来说,数学史更是必读的篇章,应该作为一种文化走进小学课堂,渗入实际课堂教学,提升学生的数学素养。一、感受前人的严谨态度,增强探索欲望小学数学教材只写出经过严密论证的结论,隐去了数学发现的过程,它的内容的抽象性往往掩盖了数学的本来面貌,未能表现出创造     

数学元认知在数学问题解决中的作用

数学元认知是元认识系统的一个子系统，它包括三个方面的内容，即数学元认知知识、数学元认知体验以及数学元认知监控．本文简要介绍了数学元认知在数学问题解决中的作用．     

数学教学中的“问题解决”

“问题是数学的心脏”———P．R．Halmos的这句话完全可用数学发展的历史来证明它的真实性。数学中的三次“数学危机”都是出现了在当时不能解决的数学“问题”，而在解决了这一个一个的“问题”之后，数学的理论却因此产生了重大的飞跃，导致了数学的思想方法产生一次重大的变革；特别是当D．Hilbert于１９００年在巴黎国际数学家代表大会上发表演讲《数学问题》，提出了指引性的２３个世界级数学问题之后，解决数学问题理所当然地成为激励数学家推进数学发展的一种主要的动力。率先明确提出把“问题解决”作为“学校数学的核心”的，是…     

数学进步与数学教育对经济的影响

本文从数学所历的三次大的危机阐述了数学的发展历程,给出了数学文化三个层次的划分,指出数学的发展推动了科学技术的进步,从而促进经济效益的提高,提出加强数学素质教育,提高数学应用能力,彻底改变应试教育的现状应从教学改革做起,应从小学做起.     

重新认识第二次数学危机

深入讨论了数学分析中“x→0”的数量形式，分析了无穷小方法、标准分析方法、非标准分析方法这三代数学分析理论的本质及之间的异同点，得出明确的结论：三百多年来无穷小悖论悬而未决，第二次数学危机名亡实存，是现有数学基础理论中所存在的“有穷－无穷”理论体系及相关的数量体系中的本质性缺陷使人们不具备认识数学中所有“x→0”的数量形式的能力，不具备解决第二次数学危机的能力。     

要重视数学阅读教学

谈起阅读，一般都联想到语文、英语的阅读理解，不屑于数学的阅读教学，其实数学更需要培养学生阅读课本和数学课外书刊的兴趣和能力．数学阅读往往要求更高，它一般是建立在思维基础之上的逻辑性阅读、符号化阅读、图表化阅读．笔者就学生的数学阅读面、阅读理解能力、阅读现状等内容作了一次全县性的调研．初一学生的问题为：在华罗庚、祖冲之、刘徽、陈景润等名字中，你认为有——位是数学家．近85％的学生选择是3位，     

文化视角下的第二次数学危机

数学是一种文化,数学危机事实上就是一种在数学层面发生的文化危机.由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次危机。     

对工科数学教学改革的思考

对工科数学教学改革的思考沙基昌一、数学教学改革是时代的呼唤随着科学技术的发展和时代的进步，在数学与数学教学方面出现了一系列矛盾，呼唤着数学教学改革。１．数学的地位与数学教学地位的矛盾。２０世纪下半叶以来，随着新技术革命和第五次浪潮的出现，数学在科学技...