“方程a~x=log_ax解的个数问题”的问题

近年,“方程 a~x=log_ax 解的个数问题”频繁以各种形式出现在刊物或课堂上,从中暴露出一些值得重视的问题,比较突出的有:(1)在数学上,以为这是一个尚未解决的问题,辛辛苦苦的工作其实质是“研究空转”;(2)在教学上,出现这样或那样的错误,向课堂传输了失真的信息.本文将在概括种种失误的基础上,提供一个完整的结论.1 问题的表现和成因分析1.1 问题的表现1.1.1 误作为初等数学研究的新成果文[1]作为“成果集锦”介绍了“关于方程     

“方程a~x=log_ax解的个数问题”的问题(续)

(上接第4期)2.1.2代数论证 由图象的动态启发,我们用代数方法时,首先处理临界状态,即先求出y一ax与y一x相切时a的值.设所以,当x~一fog。Ina时,f(x)一ax一x取得最小值f(一logalna)=1+Inlna Ina又因为Ina>0(a>1),al一x,(a‘)‘=x怪所以只需判断1+lulna的正负,就可判断f(x)的最小值的正负(此时f(x)的最小值是a的函数).由①知,只需讨论a与a。一砖的关系.1 la二Ina=1=> xlnx士一1=> Inx一1 .’.x一。,得。一砂(即上述。。一砂).① 现考虑f(x)=ax一x的最小值,由厂(x)一axlna一1知, 当axlna一1二0时,得唯一的零点 xn~l。二。华一l。:。In。,⑦ …     

超越方程a~x=x~α根的个数

1问题研究关于x的方程ax=xα(a>0且a≠1,α≠0,x>0)根的个数.为了研究方便,这里我们仅考虑x>0时的情况.下面给出两个处理方案:方案1转化为研究指数函数y=ax与幂函数y=xα(x>0)图象的交点个数.     

方程a~x=x~a解的初等讨论

本文用初等方法给出方程α~x=x~α的解(实数、有理数、整数),并讨论了解的有关性质。     

关于│x-d│±│x-e│=±f型方程的解

3°当f>e-d时,方程(Ⅱ)的解,是以F_1(d,0)、F_2(e,0)为焦点的椭园,在长轴(2a=f)上的顶点的横坐标。(如图二) 因此,解方程(Ⅱ)可化为解方程组     

函数y=a~x与y=log_ax的图象有几个交点

<正>~~     

方程a^x=loga^x解的个数与解的范围

关于x的方程a^x=/logax/（0〈a〈1）有多少个实数解？在一些高中复习资料中,往往是粗略地作出函数y=a^x与y=/logax/（0〈a〈1）图像,仅凭直观得出它有两个实数解。实际情况是怎样的呢？     

方程a~x=x~a的解及a~x与x~a的大小关系

对于象4~(55)与55~4的大小比较问题,学生往往感到困难。本文将对方程a~x=x~a的解以以a~x与x~a的大小关系问题进行一般的讨论。一.函数y=x~(a/x)(x>0,a>0且a≠1)的性质 1.y=x~(a/x)在定义域上连续,可导。y′=ax~(x/a-2)(1-1nx),令y′=0,则x=e是唯一驻点,因为x∈(0,e)时,y′>0,则y是x的单调增函数;x∈(e,+∞)时,y′<0,y是x的单调减函数,所以当x=e时,函数取极大值,为e~(a/e)。     

有关方程a~x=log_a~x根的讨论

本文利用闭区间上连续函数的零点存在定理以及用导数判断函数单调性,系统讨论了方程ax=logax根的情况.此方法不失为一种更清晰的方法,对于改进高等数学教学具有一定的现实意义.     

对方程ax=|logax|解的个数的思考

文[1]和文[2]各有一道方程ax=|logax|习题和例题,经过研究发现两题都是错题,并引发了一些思考,写出来供大家参考和继续研究.     

对方程a^x=｜logx｜解的个数的思考

文[1]和文[2]各有一道方程a^x=|logx|习题和例题，经过研究发现两题都是错题，并引发了一些思考，写出来供大家参考和继续研究。     

超越方程a~x=x实根分布新探

正自从高中数学引入了导数以后,笔者在探究中发现超越方程ax=x的实根分布便可用导数与根的存在性定理来获解.其结论是:定理对于超越方程ax=x,有(1)当0a1时,方程有唯一实根x0,且x0∈(a,1);1(2)当a1时,1若a=e~(1/e),则方程有1唯一实根xe 0=e;2若1ae~(1/e),则方程有     

超越方程log_ax bx c=0的解法探讨

对数函数在理论上的重要性及应用的广泛性，早已有所肯定．在应用中提出了这样一类问题：求曲线y=loga~x与直线y=kx b的交点，即需解方程组于是问题归结为解形如logax bx c=0的超越方程．迄今为止，超越方程log_a~x bx c=0（b≠0）还没有一般解法，本文将讨论这类方程的初等解法及其根的个数判别式．一、定理定理设a、b、c、x都是实数，且x＞0，a＞0，a≠1，b≠0，则超越方程有根x＝a~a（a∈R）的充要条件是证必要性从略．充分性：从（2）式成立→（1）式有根a~a．反证法：假定x＝a~a不是（1）式的根，a~a不满足（1）式，有a ba~a c≠0即a~…     

│AB│=│A│.│B│的四种方法

在高等代数中有这样的结论：对任意两个Ｎ阶方阵Ａ、Ｂ恒有：│ＡＢ│＝│Ａ│．│Ｂ│本文介绍了一下这个结论的四种证明方法。     

巧用方程的正根个数判断三角形解的个数

已知三角形的两边和其中一边的对角,判断三角形解的个数问题是同学们学习中的一个难点．教材利用数形结合的方法总结出如何判断有一解,两解或是无解的方法．但是,此法由于情形复杂,学习过程中,同学们往往不易把握．下面本文通过讨论方程的根个数给出该问题的一个简便解法,希望能对同学们的学习有所帮助．     

“方程a^x=logax解的个数问题”的问题

近年，“方程a^x=logax解的个数问题”频繁以各种形式出现在刊物或课堂上，从中暴露出一些值得重视的问题，比较突出的有：     

│AB│=│A│·│B│的四种证明方法

在高等代数中有这样的结论:对任意两个n阶方阵A、B恒有:|AB|=|A|·|B|本文介绍一下这个结论的四种证明方法。     

恒等式x^2=│x│^2在解一元二次方程中的妙用

本文介绍了应用恒等式x^2=│x│^2解一元二次方程的几种方法，这一方法的运用，可以化繁为简，避免繁琐的讨论，取得事半功倍的效果。     

对方程α^x=｜logαx｜解的个数的思考

文[1]和文[2]各有一道方程α^x=|logαx|习题和例题，经过研究发现两题都是错的，并引发了一些思考，写出来供大家参考和继续研究．