关联周界中点三角形的性质

笔者通过对周界中点三角形边长之间的关系的研究，得到下面一个有趣的性质． 命题 设△DEF是△ABC的周界中点三角形，且△ABC的三边长分别为a、b、c，半周长为p，面积为S，外接圆半径为R，内切圆半径为r，EF=a1，FD=b1，DE=c1，∑表示循环和．则     

关于费马点与重心的距离公式

命题 在△ABC中，F、G分别为费马点和重心，令BC=a，CA=b，AB=c，S为△ABC的面积．则GF=√1/2（a^2＋b^2＋c^2-4√3S）/3.     

旁心三角形的一个面积公式

定理 设△ABC三边为a,b,c,a＋b＋c=2p，外接圆半径为R．则由三个旁心构成的三角形的面积S0=2pR．     

一个著名几何不等式的推广

第 3届国际中学生数学竞赛有一个几何题是这样叙述的 :设 a,b,c为△ ABC的三边之长 ,S为面积 .求证 :a2 b2 c2≥ 43 S,当且仅当 a =b=c取“=”.这就是著名的 Weisenbock不等式 .本文运用等周定理和幂平均不等式来推广Weisenbock不等式 .命题 1　设△ ABC三边之长分别为 a,b     

分割三角形的一个面积公式

问题 如图，△ABC的面积为△，AF/AC=1/b，CE/CB=1/a，BD/BA=1/c(a、b、c为正实数)．求ΔGHM的面积S．     

有关三角形极值点的两个命题

本文给出两个关于三角形边的命题 .命题 1　到三边不等的三角形三边距离之和最小的点是此三角形最大边所对顶点 .命题 2　到三角形三边距离的平方和最小的点是此三角形重心的等角共轭点 .注 :△ABC内两点D、E互为等角共轭点的充分必要条件是 ,∠DAB =∠EAC ,∠DBC=∠EBA ,∠DCA =∠ECB .先证明命题 1 .证明 :设△ABC内一点P到三边BC、AC、AB的距离分别为x、y、z,并设BC =a ,AC =b ,AB =c ,S△ABC=S .则有ax by cz=2S .①不妨设a >b >c,则2S =ax by cz≤ax ay az=a(x y z) .所以 ,x y z≥2Sa .上式等号成立的条…     

关于费尔马点的一个不等式

设P是△ABC内部满足∠BPC=∠CPA=∠APC=120°的一点,则称点P是△ABC的费尔马点。 定理 设P是△ABC的费尔马点,点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,△ABC的内切圆半径为r.则有 r_n r_2 r_3≤3r.(1) 证明:记BC=a,CA=b,AB=c,PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,则有 a~2=R_2~2 R_3~2 R_2R_3, (2) b~2=R_3~2 R_1~2 R_3R_1. (3) 不妨设a≥b≥c.则可证     

一个猜想不等式的复数证法及加强

文[1]提出了关于Fermat-Torriccelli点的一个猜想: 设P为△ABC的费马点,记PA=u,PB=v,PC=w,△ABC的三边为a,b,c.则     

对一个猜想的探索

设△ DEF 为锐角△ ABC 的垂足三角形,并设 BC = a,CA = b,AB = c; A EF = a0,FD = b0, DE = c0 . F分别设△ ABC 、△ DEF 、 E△ AEF 、△ BDF、△CDE B的外接圆半径、内切圆半径、     

两个几何不等式猜想的证明

文[1]中,胡如松先生提出了若干猜想,由于多数猜想不难证明或否定,现仅对其中两个猜想予以证明. 设△DEF 为△ ABC 内接三角形(如图).并设△ ABC的三内角为 A、B、C;三边 BC = a、CA = b、AB = c ;EF = a0、FD =b0、DE = c0 .分别设△ ABC 、△ DEF 、△ AEF 、△ BDF 、△     

与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

旁心三角形的一个面积公式

定理设△ABC 三边为 a,b,c,a+b+c=2p,外接圆半径为 R.则由三个旁心构成的三角形的面积 S_0=2pR.证明:记△ABC 面积为 S,内切、旁切圆半径分别     

谈一道奥林匹克竞赛题改进的对偶形式

第 6届 IMO第 2题是设 a,b,c是△ ABC的三边长 ,求证a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≤ 3 abc (1)受启发 ,本文得到 (2 )式的如下对偶形式定理 1　设 a,b,c,r是△ ABC的三边长及内切圆半径 ,则有a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≥ 12 r(a + b + c) (2 )证明 :记 p =12 (a + b + c) ,R为△ ABC的外接圆半径 ,S为△ ABC的面积 ,由海伦公式 S = p (p -a) (p -b) (p -c) =rpabc =4RS =4Rrp得左边 =2 a2 (p -a) + 2 b2 (p -b) +2 c2 (p -c)≥2× 3 3 a2 b2 c2 (p -a) (p -b) (p -c) =63 16R2 r2 p2 .r2 p =…     

赛题另解

题1在平面直角坐标系中,点A、B、C在双曲线xy=1上,满足△ABC为等腰直角三角形.求△ABC面积的最小值. (2020,全国高中数学联合竞赛) 解由对称性,不妨设∠A =90°. 依题意,可设点A(a,1/a),B_(b,1/b),C(c,1/c)(a、b、c彼此不等).     

与三角形的费尔马点有关的一个性质的别证

设△ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,如图1,当∠A、∠B、∠C都小于120°时,F为△ABC的费尔马点,FA=u,FB=v,FC=w.则     

a^2＋b^2=c^2其变式的应用

由勾股定理:a2 b2=c2,可得到两个重要变式:a2 b2=(a b)2-2ab=c21a2 b2=(a-b)2 2ab=c22这两个变式在解题中有着极其广泛的应用,今分类举例说明如下.一、应用变式(a b)2-2ab=c2解题例1在Rt△ABC中,已知S△ABC=6,AC BC=7,求斜边AB及斜边AB上的高的长.解:设a、b、c分别为直角边、直     

因式分析解与三角形

一、判断三角形的形状例1已知a、b、c分别是△ABC的三条边,且a~2+ac=b~2+bc,试判断△ABC的形状．解析：由a~2+ac=b~2+bc．得a~2- b~2+ac-bc=0．将此式的左边分解因式,得(a-b)(a+b+c)=0．因为a、b、c是△ABC的三条边．所以a+b+b＞0．故a-b=0．从而a=b,于是△ABC是等腰三角形．     

一道“希望杯”竞赛题的探索

原题:如图1,一个面积为51cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起,则△ABC的面积是___cm2.(第十届希望杯赛题)探索:设大正方形的边长为a,小正方形边长为b,则a2=50.法1特殊值法.由题意知S△ABC与b的大小无关(b相似文献   

对一道高考选择题的思考

题目设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1=S△PBC/S△ABC，λ2=S△PCA/S△ABC，λ3=S△PAB/S△ABC，定义f（P）=（λ1，λ2，λ3），若G是△ABC的重心，f（Q）=（1/2，1/3，1/6），则（）     

数学问题与解答

301.在凸六边形AMBCND中,MN、AG、BD共点于P,MN交AB、CD于E、F,设MA、ND的延长线交于点S、MB,NC的延长线交于点Q,则1/PE-1/PF=1/PM-1/PN成立的充要条件是S、P、Q三点共线。证:如图1,连AN、DM、BN、CM。 302.设A、B、C为△ABC的三内角,0≤n≤1,试证:以sin~nA、sin~nB、sin~nC为三边长能组成一个三角形。证:当x=0时,命题显然成立。当n=1时,设△ABC的三边为a、b、c,则