不等式(x y)/2≥xy~(1/2)的推广

命题:a,b,u,v>0,a b=1,s,t是实数,则不等式au~s bv~i≥u~(as)·v~(bt)成立。略证:u~s,v~t>0,由对称性不妨设,x=(?)≥1,在[1,x]上对函数f(x)=x~a应用中值定理得不等式x~a-1≤(x-1)a(当u~s=v~t时取等号),将x=u~s/v~t代入不等式,整理并注意1-a=b即得证。推论:a,b,u,v>0,a b=1,贝au bu≥u~av~b易见不等式(x y)/2≥xy~(1/2)是该推论的特款。     

不等式中等号成立条件的应用

在高等数学或初等数学中,普遍地存在着形形色色的矛盾,然而矛盾着的双方,无不依照一定的条件而互相转化,比如等式与不等式就是既对立而又统一的,在等式中有时潜在着不等,在不等式中有时也潜在着相等,当着不等式依照一定的条件向着等式转化时,不等式两边之间的关系就发生了突变。一种新的思考方法也就会随之孕育而生。这时,灵活地利用这种转变,往往可以使问题的解决,获得化难为易,化繁为简的效果。     

不等式(a b)/2≥ab~(1/2)与函数最值

利用不等式(a b)/2≥ab~(1/2)求函数最值,必须注意等式成立的条件,否则可得出错误的结果。兹举例如下: 例过点(1,4)作一直线,使在二坐标轴上的截距为正且其和最小,求直线方程。 <错解> 设直线方程为y=k(x-1) 4,则k<0。截距a=1-4/k,b=4-k,及-k均大于0,由不等式     

利用不等式A kB≥(k 1)B证明不等式A≥B

不等式证明是高中数学教学的难点。对一类A≥B的不等式我们用它的等价不等式A kB≥(k 1)B并结合等号成立的条件来证明,往往会事半功倍,现举几例供读者参考。在下面不等式中左边记为A,右边记为     

例谈均值不等式中等号成立的条件

在整个高中数学中，求函数的最值是一项重要内容。这类问题常和生活实际联系比较密切。由于应用问题已进入高考，而且具有强烈的时代气息，所以最值问题也是高考的热点和难点问题。求函数最值的方法有很多种，利用均值不等式求最值是一种比较常用的方法。对均值不等式，高考已限制在二元、三元均值不等式的应用。以三元均值不等式为例：若a、b、c∈R＋，则a＋b＋c≥３３abc姨（当且仅当a＝b＝c时等号成立）利用此不等式求最值时应注意以下几个问题：（１）a、b、c∈R＋；（２）a＋b＋c或abc为常数；（３）不等式中等号成立的条件必须具备。…     

基本不等式a+b/2≥ab~(1/2)的应用

函数的最值是函数这一章节中的重要内容,它的重要性不仅在题型多样、方法灵活上,更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,一元二次函数是函数应用求最值的常用方法,而基本不等式是解决     

均值不等式中等号成立条件在解题中的导向作用

课本中介绍了均值定理：a,b∈R^＊,则a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”号）它还有两个常用变式：ab≤（a＋b/2）^2,ab≤a^2＋b^2/2,都是当且仅当a=b时取“=”号,用它们可以实现两式（或数）之积与其和的平方或平方的和这三者之间的互化,这些大家都很熟悉,但鲜有人注意到其中等号成立条件对不等式问题的解答有启发和导向作用,本文对此作以下探讨,以期抛砖引玉．     

基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2

《基本不等式》这节课主要研究从代数和几何两方面探究基本不等式的证明过程,体会数形结合,提高论证能力,提升数学素养。     

不等式(a b)/2≥ab~(1/2)(a,b∈R~ )的几种巧妙证法

不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2).     

不等式(a+b)/2≥(ab)~(1/2)的应用

本文提供了若干关于不等式a+b╱2≥(ab)~(1╱2)在代数、几何、三角及分析方面应用的例子,特别是介绍了由上述不等式推得的其它一些不等式的应用,这些结果对于求解某些多元函数条件极值问题是很有用的。     

基本不等式中等号成立的检验功能

<正>基本不等式包含两个不等式:(1)若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取"="号).(2)a,b为正实数,则槡(ab)^(1/2)≤a+b2(当且仅当a=b时取"="号).但是,在平时的教学中,发现学生不会灵活运用这些不等式.其实,只要我们合理利用它的检验功能,在解题过程中必然能发现自己所犯的错误.     

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的推广

不等式的证明中学生一般感到较为困难,其原因是题目变化较多,技巧多样,方法灵活,难度较高。但是仔细研究可以发现众多的题目可以由少数的基本不等式引伸而出,不少题目是同出一源。如果能适当归类,就能举一反三。现仅就一类有关“平均值”的不等式的证明作一简单的讨论和推广。 在现行统编高中数学教材第三册第二章证明了定理:如果a,b是实数,那么a~2 b~2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)和它的推论:如果a,b都是正数,那么     

不等式(a b)/2≥(ab)~(1/2)的几何证法种种

初中数学中的基础知识不仅包括初中代数与几何中的概念、法则、性质、公式、定理等,更重要的是由其内容所反映出来的数学思想和方法。其中数形结合思想是很重要的一条,利用数形结合思想来证明数学题目,不仅构思巧妙、直观易懂,而且能给出代数题目的     

不等式中等号成立条件的解题功能——兼谈对称思想

大家都知道,基本不等式中的等号,当且仅当诸数都相等时成立．事实上,我们遇到的要证明的绝大多数不等式的条件与结论都是关于所含字母的轮换对称式,这就预示着这些字母在解题中的地位是相同的,因此,当他们取值相同时,等号可能成立．于是,可以先猜测并验证要证明的不等式中等号成立的条件,然后,结合已知,通过拆添项、配凑等手段构造一系列基本不等式,最后通过同向不等式的运算给出证明．下面举例说明．     

不等式a~(1/2)-b~(1/2)＜(a-b)~(1/2)的推广

人教版普通高级中学教材《数学》第二册(上)第30页有这样一道习题:     

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的应用及推广

在中学数学课程中讲授不等式的证明时,曾引进了一个重要的不等式:当且仅当a=b时等号成立。这个不等式在证明其他绝对不等式,特别是在解一些求最大值和最小值问题中,都有着重要的应用。使学生理解这一不等式的意义、推导方法以及灵活地应用它来解某些有关问题是教学中值得注意的一个方面。     

基本不等式ab~(1/2)≤(a+b)/2课堂实录

<正>在前两节课的研究当中,学生已掌握了一些简单的不等式及其应用,并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系,掌握了不等式的一些简单性质与证明,研究了一元二次不等式及其解法,学习了二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外,为基本不等式的应用垫定了坚实的基础,所以说,本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第24届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等     

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的证明和应用

不等式(a b/2)≥ab~(1/2)(a≥0,b≥0)~*的证明和应用在中学数学教材中占有一定的地位。1980年高考数学复习大纲也列入了这部份内容。对它进行系统的复习,使学生自觉的掌握和运用这个基本不等式,对于解代数、三角、以至几何等有关问题是有一定帮助的。     

((a-b c)/a)~(1/2) ((b-c a)/b)~(1/2) ((c-a b)/c)~(1/2)的一个下界

安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1　在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2　在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明　设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个…