托勒密定理的证明及其应用

托勒密(Ptolemy)是公元二世纪时希腊数学家,三角术创始人之一。托勒密定理(下文简称 P 定理)就是他发现的一个著名平面几何定理。这个定理内容是:圆内接四边形中两双对边积的和等于两对角线的积。托勒密曾以此定理为理论基础,造出了世界上第一张弦表。一、P 定理及其逆定理的证明P 定理有多种证法,这里再提出一个较简单的证法,供参考。如图一,四边形 ABCD 内接于圆,对角线 AC、BD 交于 E,求证:     

托勒密定理逆定理的简单证法

本刊1985年4期《刊登的托勒密定理的证明及其应用》一文中,用贝利切那德定理推出了托勒密定理的逆定理,证明过程冗繁,不易为读者接受,这里给出一种简单证法。已知:在四边形ABCD中AB·CD+BC·AD=AC·BD,     

从证明托勒密定理过程中感受初等几何的思维视角

初等平面几何中定理、性质、结论较多,运用广泛,在数学竞赛中,证明几何题方法灵活机动,可从代数、几何、三角知识作深入性思考,现结合托勒密定理证明作简单阐述,供参考.托勒密(Ptolemy)定理:圆内接四边形的两组对边的乘积之和等于两对角线的乘积.已知:四边形ABCD内接于圆O.证明:AB·CD+AD·BC=AC·BD.证法分析1此定理从几何角度证明方法较多,从中选     

Lagrange中值定理证明方法的研究

对Lagrange中值定理的证明,在高等数学的传统证法中,通常都是采用引入一个"辅助函数",将适合定理的函数转换成适合Rolle中值定理的函数的办法.为了进一步开阔思路,更好地理解和掌握Lagrange中值定理,本文给出了行列式证法、旋转变换证法和区间套定理证法等几种证明方法.     

微分中值定理及其推广

微分中值定理一般的证明方法是引入辅助函数,然后通过求导来证得结论.闭区间套证法和拓展洛尔定理后的旋转坐标轴法是两种新的证法,可以将微分中值定理向多元和高级方向推广.     

对Lagrange中值定理证明方法的讨论

对Lagrange中值定理的证明，在高等数学的传统证法中，通常都是采用引入一个“辅助函数”，将适合定理的函数转换成适合Rolle中值定理的函数的办法．为了进一步开阔思路，更好地理解和掌握Lagrange中值定理，本文给出了行列式证法、旋转变换证法和区间套定理证法等几种证明方法。     

从托莱密定理证法得到的启示

托勒密定理是联系四边形和圆的一个重要定理。它是这样叙述的,圆内接四边形ABCD的两组对边乘积之和等于两对角线乘积。即: AC·BD=AB·CD AD·BC 通常证法是设法将①式左边分为两项,使与右边两项对应相等。 设在AC上取一点P,使AC=AP PC,代入①式左边得:AC·BD=AP·BD PC·BD.     

勾股定理及其逆定理的另证

勾股定理及其逆定理的证法很多．笔者运用平面几何中著名的托勒密定理．构造出托勒密定理满足的基本条件,再借助初中几何的圆及四边形等综合知识,对两个定理加以证明．利用构造的方法,对培养学生的创新思维具有抛砖引玉的功效．     

两个著名定理的等价性

本文给出两个著名定理:西姆松线定理与托勒密定理等价性的证明.为方便,将两个定理写在下面:托勒密定理:若四边形ABCD是圆内接四边形,则AB·CD AD·BC=AC·BD.西姆松线定理:三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线.1 用西姆松线定理证明托勒密定理文[1]已给出证明,简述如下:证明 ABCD是任一凸四边形,连接AC,如图,过D向△ABC各边作垂线,垂足分别为 C_1、A_1、B_1,连结C_1B_1,B_1A_1,由西姆松线定理得:     

一道背景丰富的解析几何选择题

文章对2020年高考数学全国卷Ⅰ理科试题的第11题进行解题分析,挖掘试题背后蕴藏的几何背景——托勒密定理与极点极线,探讨托勒密定理与极点极线在数学解题特别是解析几何中的应用.     

一个向量命题的简证及应用

笔者从正弦定理的向量证法中受到启发,引入直线的法向量并做数量积运算来证明下面的命题.此证法简捷.S_△表示三角形的面积.     

莫利定理的三角证法

初等几何中最令人惊讶的定理之一是莫利(F.Morley)定理,莫利定理以其优美的结论和证明的难度而闻名于世.从现在已知的莫利定理的证明来看,证明的主要思想是一致的,那就是同一法.本文给出一种直接证法.     

用变化的眼光证明勾股定理

勾股定理是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理,是数学中第一个最伟大的定理．由于它的重要性和迷人魅力,千百年来人们冥思苦索给出多达300多种的证明,是证明方法第一多的定理．新的证明还不断地涌现．本文集中介绍互有联系的变化着的证法,重点是突出它们之间的联系,其中证法4、证法6和证法7属于作者．     

也谈应用Ptolemy定理证明Erds不等式

Erds 不等式:“P 为△AABG 内一点,它到边 BC,CA,AB 的距离分别为 PA_1,PB_1,PC_1,则 PA+PB+PC≥2(PA_1+PB_1+PC_1)”.一般参考书中,都用三角方法证明.《数学教学》1983年第5期刊出“应用托勒密定理证明 Erds 不等式”一文,读后颇受启发,但感到方法较繁,现给出一个简捷的几何证法.     

开世定理的推广与应用

开世定理设⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4按逆时针的次序均内切于⊙O,对于1≤i相似文献   

用托勒密定理解几何题

托勒密（Ptolemy公元前85-165年）是古希腊亚历山大时代的著名数学家和天文学家。托勒密定理是初等几何中相当有趣的重要定理之一。本文就定理及其逆定理的证明和应用,列举数例以供同行教学中参考。     

对称地处理对称性问题——斯坦纳—雷米欧斯定理的最佳证法

我们知道,等腰三角形两腰上的高相等,中线相等,两底角的平分线相等.其逆命题也成立.这就是对称性.如线段中垂线定理,角平分线定理,平行线及圆的相关定理也都是可逆的.这也是反身性.但是,由于角平分线与高线和中线相比条件明显弱化(没有垂足,中点的具体直观性及其与边的直接联系),导致了Steiner-Lehmes定理证明的难度.但因此也引起数学爱好者的广泛关注,人们潜心于该定理不同证法的探究及形式多样的引申,几十年来趋之若鹜.其中,尤以比例性质、相似、圆幂定理、正弦定理、角平分线定理、面积法(共边定理,共角定理)和繁琐的代数证法     

运用正、余弦定理的向量证法解题

正正弦定理、余弦定理是高中数学中的重要定理,其证明方法很多.人教版普通教材中采用了新的证法——向量证法.其证明方法是用一个向量去和向量式的两边的向量同时数量积,不同的是正弦定理的证明是点乘一个特殊的向量,而余弦定理的证明则是点乘向量自身,即取向量的模的平方.其实质是向量数量积具体应用.正是这种应用,为我们解决相关问题提供了新的方法.现举例说明.一、确定参数     

爱因斯坦巧用相似证明勾股定理

学过几何的人都知道勾股定理(在西方又叫毕达哥拉斯定理).它是几何中一个重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有400多种,成为世界上证明方法最多的定理之一.像三国时期的数学家赵爽、古希腊数学家欧几里得、美国第20任总统加菲尔德、画家达·芬奇、伟大的物理学家爱因斯坦等,都用各自的方法证明了勾股定理.爱因斯坦12岁时,在未学过平面几何的情况下,根据三角形的相似特性(两直角三角形的相似,完全取决于它们的一个锐角,如果有一锐角相等,二者相似;否则,不相似),独立地给出了毕达哥拉斯定理的一个证法,为此,他长时间地激动!这虽然仅涉及一个非常古老的著名定理,他却经历了发现者首次的快乐.而且这一证法是毕达哥拉斯定理中最简单和最好的证法,证法如下.     

关于等腰四面体的一个判定定理

定义三组对棱分别相等的四面体称为等腰四面体.对于等腰四面体有如下的判定定理:定理四个面的面积都相等的四面体是等腰四边体.这个定理证法很多.证法一取 AB,BC,CD,DA,AC