两道IMO试题的血缘关系

(Ⅰ)判断并证明:是否能够在半径为1的圆周上选取1975个点,使得其中任意两点间的直线距离都是有理数.(17届IMO第5题) (Ⅱ)证明:对于任何自然数n≥3,在欧氏平面上存在一个以个点的集,使得每一对点之间的距离是无理数,并且每三个点构成     

一道30届IMO试题的别解

第30届IMO试题中有这样一道试题： 设n和k是正整数,S是平面上n个点的集合,满足（i）S中任何三点不共线：（ii）对s中的每一点P,5中至少有k个点与P的距离相等．     

格点多边形面积公式(初一、初二、初三)

04年江苏省常州市中考数学有一道探索猜想题: 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点叫格点, 以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S,它各边上的格点的个数和为x.     

类比设问 合情求解 引导教学——对一道中考题的分析

正题目:(2013年常州)用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,该多边形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b,则S=1/2a+b-1(史称"皮克公式").小明认真研究了"皮克公式",并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究:正三角形网格中每个小正三角形面积为1,小正三角形的顶点为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形,下图是该正三角形格点中的两个多边     

一道IMO试题的推广

我们首先来看第28届国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题1（见文献[1]）：设Pn（k）是集{1,2,…,n}的保持k个点不动的排列的数目,求证：     

几道国际数学竞赛题的讨论和改进

一、第十一届国际数学竞赛有这样一道题。设在一平面上已知100个点,其中没有三点在一直线上,我们考察以上述点为顶点的所有可能的三角形,证明这些三角形至多70％是锐角三角形. 平面上有限点集F有R个点,任三点不共线,共可构成C_n~3个三角形,用     

基于凹链邻域修正的定边界平面点集三角化方法

提出了一个在给定多边形边界的平面点集上进行三角化的方法.文中指出,一个定边界平面点集的三角化与该点集的无约束Delaunay三角化仅在称为凹链的局部区域存在不一致,二者的三角形个数与边数均有固定的关系.但是,由于Delaunay三角化无法保持边界约束.利用基于凹链的查找技术对Delaunay三角化的结果进行修正,从而得到定边界三角化结果.结果对Delaunay三角做到了最大程度的近似.     

28-IMO-5的巧妙证明

[28—IMO—5]:试证:对于任意n(n≥3),在欧氏平面上总存在n个点,每两点间的距离为无理数,每三点构成非退化的三角形,且有有理面积. [分析]本题就是要构造欧氏平面上无三点共线的k个点,满足下述两个条件:1)每两点有“无理距离”;2)每三点有“有理面积”.所以我们抛开原题,扣住“无理距离”和“有理面积”构想它的证明,     

怎样作多面体的截面

用一个平面去截一个多面体,就得到一个多边形的截口。这个多边形截口,叫做截面;这个平面叫做截平面。显然,截面在截平面上。怎样作出满足一定条件的截面呢?本文仅以平行六面体和五棱锥为例,讨论过三定点(即截平面与多面体有三个公共点)作截面的一般方法。     

聚模型 抓要素 寻关联

<正>1试题呈现(南京中考第27题)在平面内,将一个多边形绕自身的顶点A旋转一个角度θ(0°<θ<180°),再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小,使所得的多边形与原多边形对应线段的比为k,称这种变换为自旋转位似变换。若顺时针旋转,记作T(A,顺θ,k);若逆时针旋转,记作T(A,逆θ,k)。     

巧用射影法解立体几何题

在立体几何中,将某直线或某平面图形垂直投影到某个平面内,或者将某向量投影到一个单位方向向量上,常常可以巧妙地求解二面角、距离、体积等问题.一、面积射影法若二面角的一个半平面内有一个面积为S的多边形,此多边形在另一个半平面内的射影构成的多边形的面积为S',则利用公式cosθ=S'S可求出二面角θ的大小.例1如图1所示,一条长为2的线段AB夹在互相垂直的两平面α、β之间,AB与α成45°角,与β成30°角,过A、B两点分别作两个平面的交线的垂线AC、BD.求平面ABD与平面ABC所成的二面角.分析常规解法是先作出所求二面角的平面角,然后…     

2005年数学中考热点题赏析(二)

平面镶嵌题《九年义务教育数学课程标准》指出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索……是学生学习数学的重要方式.”近几年各省市中考试题中出现的平面镶嵌(密铺)题就是考查学生动手、探索、创新的好题.题(2005年济南市中考次压轴题)我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些多边形,能够拼成一个平面图形,既不留一丝空白,又不互相重叠,这在几何里叫做平面密铺(镶嵌).我们知道,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时,就能够拼成一个平面图形.某校研究性学习小组研究平面密…     

一道IMO试题的引进、改编、使用和解答

第33届IMO(1992年)的试题4为:在一个平面中,C为一个圆周,直线L是圆周的一条切线,M为L上一点.试求出具有如下性质的所有点P的集合;在直线L上存在两个点Q和R,使M是线段QR的中点,且C是三角形PQR的内切圆。这道由英国人提供的试题有多种平面几何解法,有兴趣的读者可参阅数学刊物[1]—[4]。这些解法大多用到了位似变换等性质,不易为大多数中学生所理解。最近,笔者尝试用坐标法求解,得出几种解法,因为只需用到现行高级中学平面解析几何课本中的基础知识和基本技能,所以笔者将该题以解析的面目出现在一次数学测试中,作为压卷题让高     

一般常宽多边形的构造

对一般常宽多边形的构造,文章提出一类由圆弧构成的平面图形的作图法,证明这类图形在闭合条件下具有常宽性质,利用线性不等式组求出闭合条件下的全体可行点.通过构造出具体的常宽多边形,表明文章提出的构造方法是可行的.     

关于CMO18-2(3)的探究

第18届中国数学奥林匹克(IMO)第二天试题第3题是:设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1;点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点,求证:     

从一道中考题谈起

请看2005年济南市中考试题的压轴题：我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360。时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：     

一道第37届IMO选拔赛试题的推广

题目(第37届IMO中国选拔赛试题): 以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB,AC分别交于点D和E,过D,E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG,EF交于点M.求证:AM⊥BC.     

一道IMO选拔赛试题的推广

题目(第37届IMO中国选拔赛试题).以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D和E,过D、E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG、EF交于点M.求证:AM⊥BC.     

"旋转相似"初探

旋转变换是一种全等变换,对应边相等、对应角相等;位似变换是一种相似变换,对应边成比例、对应角相等。在平面内,若先将一个多边形F以点O为位似中心在点O的同侧放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,再将所得多边形以点O为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,得到多边     

浅谈等腰三角形的几种解法

等腰三角形是三角形中的一种特殊图形,它与人们的生产生活密切相关.因而,中考中有关等腰三角形的试题也常常出现.例如:在网格中,以一条线段为一边作等腰三角形;运动中构成等腰三角形,求点的坐标或线段的长;在平面内作各种等腰三角形,等等.