二次方程整数根问题解法初探

1994年福州市初二数学竞赛有这样一道试题: 当m是什么整数时,关于x的方程 x~2-(m一1)x+m+1=0的两根都是整数? 这是涉及到一元二次方程整数根的问题,这类问题在数学     

让学生巧构方程解难题

由“韦达定理”可知,以两个数x_1、x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1),是x~2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0。在初中数学教学中,遇到某些难于证明的题目,引导学生运用这一结论去构造一元二次方程,然后去解答题目,往往能使难题迎刃而解。现举三例如下。     

两个一元二次方程有公共根的一个定理

近年来,国内外数学竞赛中经常出现两个一元二次方程有公共根的一类问题。本文将探讨两个一元二次方程的系数满足什么条件时才有公共根(以下的讨论是在复数域中进行)。为此,我们给出定理两个一元二次方程 a_1x~2+b_1x+c_1=0 (Ⅰ)和a_2x~2+b_2x+c_2=0 (Ⅱ)有一个公共根的充分必要条件是证明设x_1和x_2是方程(Ⅰ)的两个根,     

对“一道例题的反思”的再反思

2006年第6期《中学数学教学参考》(初中)刊载了四川张继海老师的“例谈数学习题讲评中的演变与反思”一文.读罢此文,受益匪浅.演变可以拓展学生的思维空间,培养学生的一题多解、一题多变的能力,还可以充分调动学生学习数学的积极性.不过,我们一线数学教育工作者在平时的教育教学过程中,往往会出现这样的现象:习题讲评,往往总是就题论题、照本宣书,不能很好地挖掘题目所隐含的数学思想、数学方法以及由问题进行演变、反思得到的变式练习.教学中,我们应该以该文为范例,切实有效地提高习题讲解的教学效果.文中的例2的“演变与反思”(3)提及了“若方程有实数根,则其根必是非负的实数根”,并安排了应用一元二次方程的求根公式、配方法两种方法来加以说明.对于方法1来说,文中是这样讲的:利用求根公     

一元二次方程综合题归类分析

本文以初中数学竞赛题为例,将与一元二次方程有关的综合题进行归类分析,供参考.一、与一元二次方程相结合例1(1999年山东省初中数学竞赛题)已知方程x~2+a_1x+a_2a_3=0与x~2+a_2x+a_1a_3=0有且只有一个公共根,求证:这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程x~2+a_3x+a_1a_2=     

涉及两个一元二次方程公根的一类求值问题的解法

在初中数学竞赛中,常常遇到以两个一元二次方程公根为内容的一类求值问题。由于此类问题课本没有涉及,因而参赛学生往往感到难以下手。下面通过举例,就这类问题的求解介绍几种常用的方法。 例1 首项系数不相等的两个一元二次方程 (a-1)x~2-(a~2 2)x (a~2 2a)=0 (1) (b-1)x~2-(b~2 2)x (b~2 2b)=0 (2) (其中a、b为正整数)有一个公共根。求a~b b~a/a~(-b) b~(-a)的值(1989年全国初中数学联赛)     

一元二次方程的根的符号与其系数的关系

一元二次方程是初等数学中最重要的内容之一。灵活运用一元二次方程的求根公式、判别式、韦达定理解决有关一元二次方程的问题是初等数学教学的重点和难点。已知实系数一元二次方程的根的情况求其系数的取值范围的题目屡见不鲜。本文研究实系数一元二次方程的根的符号与其系数的关系及应用。问题1 已知实系数一元二次方程(a-1)x~2(a 1)x a-1=0的两根都大于0,求a的取值范围。问题2 已知一元二次方程(a-1)x~2 (a 1)x a-1=0有大于2的根,求实数a的取值范围。对于问题1和问题2,容易想到用一元二次方程的求     

由根的分布求解一元二次方程参数的取值范围

我们常遇到这样的题目:当m为何值时,关于x的方程x~2-2mx m~2-4=0的两根都是正数?诸如此类的题目,即属于由一元二次方程的根的分布求参数的取值范围的问题。由于其解法比较灵活,故常令同学们感到棘手。本文介绍三种方法,仅供参考。     

解字母系数方程的注意事项

解答一元二次方程问题,初学者的错误主要出现在含有字母系数的一元二次方程这类题目中。所以,历年来各地的中考试卷常常在此设置“陷阱”。为此,本文提出几点注意事项。 1.如果题目中指明是二次方程或有两个实数根,应注意二次项系数不能为零 例1 a为何值时,方程a~2x~2 (2a-1)x 1=0有两个实数根。     

巧用韦达定理解竞赛题

如果ax~2 bx c=0=(a≠0)的两个根是_x_1、x_2,那么x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=c/a.这个定理是数学家韦达发现的.它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系.应用这个定理来求解的数学竞赛题在历年的初中数学竞赛中,频频出现.下面我们一起探讨几个问题。一、讨论方程的根的状况例1 当m是什么整数时,关于x的方程x~2-(m-1)x m 1=0的两根都是整数?     

培养学生探索能力的一次尝试

我在“一元二次方程的根与系数的关系”的教学中,注意教给学生从特殊到一般的思维方法,培养探索能力,收到了较好的效果。一上课先复习方程的四种解法,并且求解方程2 x~2 5 x-3=0(1),然后提问:“一元二次方程根与系数的关系,我们已经学过哪些?”学生回答,“根的判别式是由方程的系数构成的,从△的符号能判别方程实根的有、无等情形。”“求根公式也表明根与系数的关系。”我肯定了他们的回答:“判别式、求根公式都正确地表明了系数与根的关系,即由系数去求根。这节课我们要进一步讨论根与系数的关系,例如已知方程的两根怎样去求系数。”这一小结为下面的探索提供了线索。接着我们求解方程x~2-5 x 6=0(2),得出结论“方程的两根之和等于方程一次项系数的     

关于一道初中数学题的讨论

在某市举行的一次初中数学竞赛预赛中,有这样一道试题:设 p、q 是一元二次方程 x~2+px+q=0的根,求 p、q 的值.所给出的标准答案是(这里称为解法一).解法一因为 p、q 是一元二次方程 x~2+px+q=0的根,故由韦达定理可得     

用二次函数的图象求一元二次方程中的参数

周知,一元二次方程ax~2÷bx c=0(a≠0)的根与二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象之间有着密切的联系。在探求二次函数的图象与x轴有无交点的的问题中常利用一元二次方程的根的情况来考察;反之,也可以从二次函数的图象的某些特征来考察一元二次方程的根的情况。本文对系数含参数的一元二次方程已知根的某些性质,利用二次函数图象的特征来求出参数这个问题作一探讨。 例1 已知关于x的方程2x~2-6x 3m=0的两个实数根都大于1,求m的取值范围。 分析:学生往往用韦达定理来解如下: 设方程2x~2-6x 3m=0的两根为x_1、x_2。     

读者来信

编辑同志:初中数学第四册第十八页有这样一道练习题:m 取什么值时,方程(m~2-2)x~2-2(m+1)x+1=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根?教学参考书的答案,忽视了“一元二次方程定义中的二次项系数不等于零”这一条件。正确的答案应为:     

关于两线段是一元二次方程根的几个习题

下面是散见于一些数学书刊上关于两条线段是某一元二次方程两个根的习题,笔者加以搜集、整理、证明(每题只按一种方法证)并配上练习,奉献给读者,你对这些习题,看(或做)后,感到趣乐无穷吗? 例 1 α、b、c是△ABC的三边,∠A的平分线交BC于D.求证:BD、DC是关于x的二次方程(b c)~2x~2-α(b c)~2x α~2bc=0的两个根.     

重体验 重思想 更高效——一道模考试题讲评课的案例与总结

1缘起:我讲了n遍你怎么还不会我校高三一模文科数学第20题如下:题目已知函数f(x)=一x~2+ax-ln x(a∈R).(Ⅰ)略;(Ⅱ)当函数f(x)在(1/2,2)上单调时,求a的取值范围.这本是一种在高考试题与模拟试题中屡见不鲜、考生耳熟能详的题型,笔者在一轮复习中也较为系统地归纳了"不等式恒成立"问题及"二次方程根的分布"问题的处理思路,但笔者所授两个文科班学生的考试结果着实     

与分式方程的增根有关的问题

<正>在初中数学教材中先后出现了可化为一元一次方程的分式方程和可化为一元二次方程的分式方程的相关问题.其中,让学生一直感到困惑的是与增根有关的问题.下面就常见的几种情况加以分析.题型一、解分式方程例1(2008南京中考)解方程:2/x+1-x/x~2-1=0.错解方程两边同乘(x-1)(x+1),得2(x-1)-x=0.解这个方程,得x=2.所以,x=2是原方程的解.     

巧解一道讨论题

在学习“一元二次方程”中,老师出了这样一道讨论题:已知关于x的一元二次方程:①x~2-2mx+m~2-m=0;②x~2-(4m+1)x+4m~2+m=0;③(m~2+1)x~2-(2m+1)x+1=0中至少有一个方程有实数根。试求m的取值范围。     

初中数学练习的六种方式

数学练习是学生运用知识的过程 ,加强数学练习能培养学生的能力 ,发展智力 ,从而有效地训练学生思维。数学练习有以下 6种方式 :　　 (1 )区别性练习。区别性练习是培养学生能准确地将相似的知识区别开来 ,从而加深对知识的理解 ,有效地训练学生思维的敏捷性。例如 ,判别式与韦达定理的区别 :判别式用于判断一元二次方程根的情况 ,韦达定理是确定根与系数之间的关系。　　 (2 )分类性练习。通过观察、比较、分析 ,抓住事物的本质 ,做到分类合理 ,触类旁通 ,从而培养学生思维的深刻性。如 :列代数式 (Ａ)ｘ、ｙ的差的平方 ;(Ｂ)ｘ、ｙ的平方…     

求作一类二次方程的简便方法

利用一元二次方程的求根公式,可以证明:方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0两根的a倍(a≠0)。运用这个结论,可以很快解决求作一个一元二次方程且使它的根分别是已知方程的各根的几倍问题。例1求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程3x~2-16x+5=0的两根的3倍。解:因为方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0的两根的a倍,所以,所求作的一元二次方程是x~2-16x+3×5=0,即x~2-16x+15=0.如果已知方程的二次项系数刚好等于所求方程的的根是已知方程各根的倍数,那么,就用已知方程二次项系数移乘常数项,二次项系数改为1,一次项不