再谈相似三角形共线边定理

《数学教学通讯》2000年第1期《相似三角形共线边定理及其应用》一文中的相似三角形共线边定理,没有考虑三角形全等是相似的特殊情况,不具有一般性。本文给出使此定理具有一般性的两种表达形式和跟射影定理等价的定理——直角三角形共线边定理。同一平面内,一个多边形的一条边在另一个多边形的一条边所在的直线上,这两条     

射影定理的四种证法

射影定理是平面几何中大家熟知的一个重要定理,它能够帮助我们解决很多有关直角三角形的问题.在初中平面几何课本上,射影定理是利用相似三角形的性质证明的.本文给出了射影定理的另外四种证法,供大家参考.射影定理:直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项,每条直角边是这边在斜边上的射影及斜边的比例中项.如图1,即CD~2=AD·BD     

西摩松定理的逆定理

西摩松定理告诉我们 ,三角形外接圆上任意一点在三角形三边上的射影是共线的(这条线叫西摩松线 ) .下面我们将要考虑的是 :在三角形三边上的射影共线的点 ,是否一定在三角形的外接圆上 ,即西摩松定理的逆命题是否为真 ?定理　如果一点在三角形三边上的射影共线 ,那么这点必在该三角形的外接圆上 .图 1证明　设 P为△ABC所在平面内的一点 ,且在边BC,CA,AB上的射影分别为 A1 ,B1 ,C1 .(1)若 P在外图 2接圆 O的内部 ,如图 1.A1 ,B1 ,C1 分别是 P在三边上的射影 ,连结 A1 C1 ,A1 B1 .设 AP,BP,CP分别交圆 O于A2 ,B2 ,C2 (为便于观…     

一道竞赛题的解法探究

１９９８年全国初中数学竞赛第二试题中的第１１小题是一道几何计算题,分值２０分．这道题涉及的数学知识较多,如三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质、勾股定理、射影定理及三角形面积的有关知识,而这部分知识内容恰恰又是初中几何知识结构中的重要组成部...     

课本引申题初三平面几何

原题取自人教社编初中课本《几何》第二册(1984年10月版) P31,三角形相似判定定理2 1.如果一个三角形的三条边分别平行于另一个三角形的三条边,那么这两个三角形相似。 2.如果一个三角形的三条边分别垂直于另一个三角形的三条边,那么这两个三角形相似。     

利用西摩松定理证题

大家知道,西摩松(Simson)定理就是: 三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线。这就是说,如果P是△ABC外接圆上任意一点,X、Y、Z是P点分别在直线BC、CA、AB上的射影,那么X、Y、Z三点共线并且称直线XYZ是P点对于△ABC的西摩松线。西摩松定理不只是一个证明点共线的好题,而且可以用来来证     

谈笛沙格定理在初等几何中的应用

笛沙格定理是平面射影几何的基础之一 ,是射影几何的一个重要命题 ,在初等几何证明中某些“点共线”、“线共点”问题和解决求轨迹、求定点和作图等问题中有独到之处 .笛沙格定理 :两个三点形对应顶点的连线交于一点 ,那么 ,对应边的交点共线 .对偶定理 (逆定理 ) :两个三线形对应边的交点共线 ,那么 ,对应顶点的连线交于一点 .在运用笛沙格定理或逆定理证明点共线或线共点时 ,准确找到两个三点形或两个三线形是十分重要的 .如果找到的两个三点形或三线形不能解决问题时 ,一般应调整对应顶点的次序 ,以达到证明的目的 .例 1　已知△ ABC及…     

斜三角形射影定理

在中学数学里,正弦定理和余弦定理是刻画三角形边、角关系的两个最常用、最重要的定理。斜三角形的射影定理也是沟通边、角关系的重要定理。有时解题,应用射影定理,比较正弦定理和余弦定理,更加方便,本文将介绍斜三角形射影定理的若干应用。射影定理三角形的任意一边等于其余两边在这边上的射影之和。即,斜三角形的射影定理可表示成: a=bcosC+ccosB.(1) b=acos C+ccosA.(2) c=acos B+b cosA.(3)     

圆锥曲线准线的几何作图

本文介绍了利用射影定理、相似三角形性质、三角形角平分线性质、利用圆锥曲线切线及其它性质作圆锥曲线准线的若干几何作图方法.     

浅谈高等几何在初等几何中的应用

高等几何对中学几何,特别是对解析几何有重要的指导作用。本文拟就如何用高等几何的方法解决中学几何,特别是初等几何中的一些问题进行了初步探讨。一、仿射变换的应用1、利用平行射影证明几何题平行射影是最简单的仿射变换,利用两条直线间的平行射影将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段,可使一些命题的证明简化。例1(menelaus定理)在三角形的边或其延长线上,三个分点共线的主要条件是顶点到分点与分点到这边上另一顶点的有向线段的值的比的乘积等于-1。已知:如图,在△ABC中,点L、M、N分别是AB、BC、CA上(或延长线上)的点。…     

以不变应万变——比例线段证明思路点拨

<正>初中平几相似形和圆的教学中,难点是比例线段.此类问题抽象多变,联系广泛.如何突破这个难点呢?笔者认为,思路的训练是重中之重.首先,必须把有关证比例线段知识前后串联起来,做到融会贯通,熟记于心.现行教材中得比例线段的主要有:(一)平行线分线段成比例定理及推论.常见三种基本图形:1三线平行型;2 A型;3X型.(二)相似三角形,重点是有公共边的两三角形相似和射影定理两种基本图形.(三)圆幂     

塞瓦定理与梅涅劳斯定理的联合推广

译注:该文引用了两个不难理解的新概念(广义欧氏平面(这是射影几何中的概念),与重心坐标),而使有关证明相当简洁,有关定理的结果及应用实例都很有启发性。塞瓦定理与梅涅劳斯定理在讨论诸线的共点与诸点的共线方面应用很广,其结果早已从三角形推广到多边形及空间图形。此外,这两个定理由于具有对偶性还可以相互导出。本文仅就三角形的情形给出一个推广,使     

谈初中几何教学中的“公共元素”妙用

初中平面几何图形中的公共边、公共角教学历来是初中数学教学的难点,常有师生感到"几何、几何,公共边、公共角,教师难教,学生难学",那么如何根据新教材特点,抓好几何公共边、公共角教学呢?笔者结合自己的教学实践,把个人在探索公共边、公共角教学的一些经验与体会作一简要总结,供同行在教学中参考。一、巧思教材资源,利用三角形的公共元素解决三角形相似(全等)问题教材提供的仅仅是一种方向,一条线索,教师在     

用极坐标法证Simson线

众所周知:“三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线。”这直线叫做该点对于该三角形的西摩松(Simson)线。     

九点球定理

文[1]给出了定义1 过球内接三角形一顶点且平行于球心与对边中点连线的直线称为三角形的伪高线.定理1 球内接三角形的三条伪高线交于一点(称为三角形的伪垂心),这点到顶点的距离是球心到对边中点距离的2倍.定理2 三角形的外接球心、重心和伪垂心三心共线(伪欧拉线,它在三角形所在平面的射影就是三角形的欧拉线),且外接球心到重心的距离与重心到伪垂心的距离之比为1:2.受到启发,我们有定义2 过三角形一顶点的伪高线与其外接球的     

平面射影几何基本定理的一个等价命题

本文证明了平面射影几何基本定理的一个等价命题:即由不共线三对对应点及不过此三点的一对对应直线确定一个平面射影变换.     

利用相似三角形巧解几何证明题

<正>三边成比例、三个角分别相等的两个三角形叫做相似三角形．作为几何中的一个重要模型,相似三角形是全等三角形的推广,相似比为1的三角形可以理解为全等三角形．相似三角形描述了两个三角形中角、边的关系,是一套定理的集合．相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形的对应角平分线、对应中线、对应高的比等于相似比．本文分析如何利用相似三角形概念解决几何证明题．     

共边定理及其应用与推广

<正>几何一直是初中数学的重难点,初中几何主要研究边角关系,并要求对边,角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难,难在思维的深度,尤其难在辅助线的添加,许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具,以供广大读者参考.一、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上,它是指,共边三角形的面积比等于第三个顶点的连线被公共边所截得的线段比.定理如图1,设直线AB     

斜三角形射影定理在三角证明中的应用

[斜三角形射影定理] 三角形任一边等于其余两边在这一边上的射影之和,即: a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=acosB+bcosA. 斜三角形射影定理(以下简称定理)与正、余弦定理一样,在三角、几何证题中有着广泛的应用,本文各例旨在说明其在三角证明中的应用。     

射影几何中的共点线(共线点)定理的关系

对射影几何中的共点线(共线点)定理之间的关系进行探讨,给出它们有关的对偶关系和等价关系.