圆锥截线的故事

在现代的中学数学课程中,通常是在初等解析几何中学到圆锥截线,亦即椭圆、双曲线和抛物线.圆锥截线的发现和研究起始于古希腊.Euclid,Archimedes,Apollonius,Pappus等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究,而且都有专著论述其几何性质,其中以Apollonius所著的八册<圆锥截线论>集其大成,可以说是古希腊几何学的一个登峰造极之作.     

圆锥截线的故事（续1）

4 坐标变换和不变量 空间的一个重要本质是它完美的对称性和均匀性,它在坐标解析几何中的反映就是所有正交坐标系(亦称之为笛卡儿坐标系)之间的互换等价性.     

圆锥截线若干性质的解析证明

关于圆锥截线的定性理论已有很多文章论及(如[1]、[2]),受[1]的启示本文给出这一课题的另一种纯粹的解析证明,不仅可以讨论截线的形状,而且可计算截线的中心坐标,主轴长和方程及椭圆面积等.先证如下引理引理1若锥面∑:ax2 by2 cz2=0被平面π所截得曲线Γ,若Γ为中心二次曲线且中心为(α,β,γ),则平面π的方程可表成aα2 bβ2 cγ2=aαx bβy cγz证:设过(α,β,γ)的直线方程为x-αl=y-mβ=z-nγ=r(r为参数)此直线与Γ交于A、B两点,且A(lr1 α,mr1 β,nr1 γ),B(lr2 α,mr2 β,nr2 γ),这里r1、r2是方程(al2 bm2)r2 2r(aαl bβm cγn) a…     

关于"圆锥截线是圆锥曲线"的注记

一般解析几何教材中关于定理“圆锥截线是圆锥曲线”均没有证明,至多只做简单的说明．本文拟用空间解析几何的方法加以论证．引理：平面∑与平面∑’交角为θ(0≤θ＜π/2),平面∑内的圆锥曲线S在平面∑上的射影柱面与平面∑’的交线为S’,则S与S’是同样类型的圆锥曲线．     

圆锥曲线是椭圆、双曲线和抛物线的又一解析证明

《数学通报》2 0 0 3年第 4期刊登了王申怀先生关于圆锥曲线是椭圆、双曲线和抛物线的一种解析证明 ,读完深受启发 .本文再给出一种更加直观易懂的解析证明 ,和读者一起分享圆锥曲线的解析含义 .椭圆、双曲线、抛物线之所以称为圆锥曲线 ,是由于它们是直圆锥面和平面相交的曲线 .为了从解析的观点说明这一事实 ,我们首先建立空间坐标系 ,为方便起见 ,选坐标原点O在直圆锥的顶点 ,z轴为对称轴 ,设直圆锥的母线与对称轴的夹角为α ,准线方程为x2 +y2 +z2 =r2z =h 　 (0 相似文献   

圆锥截线的故事（续5）

9 圆锥截线例题,极与极线 例1 圆锥截线方程的矩阵表达式 在§4中我们用到以矩阵来表达圆锥截线的方程式     

圆锥曲线外切三角形的几个性质及其证明

如果一个三角形三边所在的直线都与某圆锥曲线相切,我们就称该三角形是此圆锥曲线的外切三角形.外切三角形对椭圆来说有两种情形:椭圆在三角形外或椭圆在三角形内(如图     

例说圆锥曲线定义的应用

我们知道,在平面解析几何中,椭圆、双曲线、抛物线既有各自的定义（即第一定义）,还有统一的定义（即第二定义）。[第一段]     

圆锥截线的故事（续4）

(四) 温习:cosθ和sinθ的微分 从圆的简单几何性质和简单的物理观念,我们很容易便得出cosθ和sinθ的微分.其简单的推导如下:     

圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线的定义是解析几何的一个重要基础知识点，有着广泛的应用。椭圆、双曲线除了其自身的第一定义外，与抛物线还有统一的第二定义。以椭圆为例：设P（xo,yo）是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上的一点，F1,F2是左右焦点。     

双曲抛物面与平面束截迹的研究

对双曲抛物面与各种位置平面束的截交线所形成的图形作了详细的论述。揭示了双曲抛物面图形中隐含的特性，拓宽了二次曲面所研究的内容。     

也谈单叶双曲面与平面的截线

本文利用射影柱面，给出平面与单叶双曲面截线的判别条件。     

圆锥截线的故事（续2）

5五点定一"二次曲线"和六点共在一"二次曲线"上的条件 在初等几何中有两个熟知的事实,即两点定一直线和不共线三点定一圆.若改用解析观点来看,上述几何事实与直线和圆的方程式中系数比的个数是密切相对应的.     

圆锥曲线的又一特性

椭圆、双曲线、抛物线除了能统一定义以外 ,还蕴涵着许多类似的特性 ,如光学性质、反映基本量a、b、c间关系的特征三角形、以焦半径为直径的圆的位置等。在我们对圆锥曲线的进一步研究中 ,发现了圆锥曲线的又一共同特性———一条特殊的切线 (斜率等于离心率 ) ,即以下三个命题。命题 1　自抛物线y2 =2px( p >0 )的准线与对称轴的交点 ,引抛物线的切线 ,则切线斜率的平方等于1 ,且切点与焦点的连线垂直于对称轴。证明　设切线的斜率为k ,则切线方程为 y =k(x+p2 ) ,代入 y2 =2 px ,得y2 -2 pky +p2 =0 ,由Δ =( 2 pk) 2 -4p2 =0 ,得k2 =1。…     

韦达定理的一种几何解释

定理设抛物线y=x2 bx c与x轴交于A,B,与y轴交于C,则△ABC的外接圆过定点D(0,1).     

怎样在圆锥面上画圆锥曲线

我们知道，用一个平面去截一个圆锥面，所截得的交线叫做圆锥曲线，截面所切人的角度不同，所得交线也不同．这些交线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线或两条相交直线．传统的方法教师很难在课堂上精确地画出这些曲线．由于教学的需要，笔经过摸索，找到了利用《几何画板》的轨迹功能在圆锥面上画圆锥曲线的方法，现介绍如下：     

圆锥截线的故事（续3）

7 Kepler行星三定律 日月和四季的变化,具有明确的周期性和规律性,而且它们都全面地影响着大地上的一切现象和活动.     

正圆锥面被平面所截得的曲线方程的探究

1．问题的提出 “圆锥曲线”是中学数学解析几何的核心内容是毋庸置疑的．湘教板《普通高中课程标准实验教课书》选修1．1第二章圆锥曲线与方程章题图和引言中,给出了“圆锥曲线”名称的由来,使用过程中,学生一直都有一个很困惑问题,为什么正圆锥面被平面所截得到的曲线会是圆、椭圆、双曲线、抛物线,