正弦定理的联想及其它

由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证     

一个涉及两个三角形的不等式的别证

1981年,’重庆市第二十三中学数学教师高灵提出并证明了如下的不等式“’: 定理设三角形ABC及A产B尹C产分别有边长。、b、。及。‘、b,、c,,分别有面积△及△尹,则a,(b+c一a)+b‘(e+a一b)+e,(a+b一c)》4亿3△△‘(1)式中等号当且只当月BC及A声B尹C尹均为正三角形时成立. 1982年,中国科技大学教授彭家贵、常 10庚哲又给出了高灵的不等式(1)的一种巧妙证法〔么’.下面,笔者再给出(通)的一种更为简捷的证明方法,供参考. 证明由于熟知的费恩斯列尔—哈德维格尔不等式为a念+b笼+eZ》4了了△+(a一b)艺+(b一e)之+(e一a)么(2)令今4杯万△+2(aZ…     

对一道高考解三角形问题的深入探究

引例(2011年全国卷Ⅱ理科第17题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A-C=90°,a+c=槡2b,求C的值.分析一从a+c=槡2b突破,利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,即sinA+sinC=槡2sinB①,然后再结合A-C=90°,     

余弦定理一个变式的功效

余弦定理:△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则a2=b2+c2+2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.c2=a2+b2-2abcosC.该定理可以变形为:b2+c2-a2=2bccosA ①a2+c2-b2=2accosB ②a2+b2-c2=2abcosC ③该组变式在     

双圆半径的几何性质

本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC=     

数学趣题

题:如图所示,八个边长相等的正方形相接,求证:a,+aZ+a。+a‘二45。。证明:如图,连接AB、AC-一又2训一B月B刀 艺月BC=匕AB刀 △BCA二△BAD 乙B月C=匕BDA二a,①同理有:△已理刀二△CF月②③④ 匕C刀D二二CFA二a3 △D月E。△D‘A 乙DA}-:二匕刀弓刃二a; 又匕E且月二乙且EB=aZ①+②+③+④得 a,一a,+(:_.+a。=匕BAH二45。数学趣题@徐国权$黑龙江柴河林业局第三中学 @陈荣$浙江省新昌工商行政管理局~~     

4.一道竞赛题的简解

题:一个内接于圆的六边形,其五个边的边长苏为81,AB是它的第六边,其长为31,求从召出发的三条对角线长的和。 这是第九届美国数学邀请舞(A 1 ME)中的一道斌题,现给出一种较邸j捷的解法。 如图,设BD二a’BE“b,BF=e,连接JC、CE、AE,易证心E=A刀二B刀_户飞〔隧岁厂 由托勒密定理,在四边形B CDE中,81·b 512=aZ,① 在四边形BEFA中,sl.b 31·52=ac,② 在四边形B C EA中,31一a 52·a=bc。③ ②xb一③Xa得:81b2 31.slb一i12a2二o。再将①代入解得右== 144,从而a二135,e二105。所以a b c=384。“a,月C二BF二c4.一道竞赛题的简解@许恒…     

探究三角形形状的九种方法

一、应用正弦定理判定【例1】已知在△ABC中,sin2A+sin2B=sin2C,求证△ABC是直角三角形.证明:由正弦定理sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,代入sin2A+sin2B=sin2C中,得4aR22+4bR22=4cR22,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.二、应用余弦定理判定【例2】在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,a≠b,且a·cosA=b·cosB.判定△ABC的形状.解:α·cosA=b·cosB,由余弦定理得α·b2+2cb2c-a2=b·a2+2ca2c-b2,化简整理得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∵a≠b,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.三、应用根的判别式判定【例3】若a、b、c为△ABC的…     

高一数学专题复习月考卷(一)——解斜三角形

高一数学专题复习月考卷(一)一、选择题1.C2.A3.B4.D5.D6.C7.B8.D9.C10.A11.A12.B二、填空题13.a14.-4115.60m16.0三、解答题17.证明:由cos2B cos2C=1 cos2A,得1-sin2B 1-sin2C=2-sin2A,所以sin2A=sin2B sin2C.由正弦定理得a2=b2 c2,所以A=90°.又sinA=2sinBcosC,cosC=sinB,2sin2B=1,sinB=!22,所以B=45°,C=45°.所以b=c且A=90°.18.解:如图,在△ACD中,S△ACD=21AC·ADsin∠1,所以sin∠1=A2CS·△AACDD=53.所以sin∠2=5!143.在△ABC中,由正弦定理BCsin∠2=siAn6C0°,所以BC=5.cos∠2=!1-sin2∠2=1114.所以BC2=…     

美国数学竞赛题和解答

第七届(1 9 78年),已知。、b、。、d、e为实数,且满足a+乙+c+口+e二8,a:+bZ+c艺+d,+已2== 16试确定己的最大值。 解:对于一切实数二、:,不等式2x,三二2十yZ成立,并且当且只当:二,时取等号。下面,我们要多次用到这个不等式,只不过是将。、乙、c、反来轮流替换二、夕罢了。由题没条件可知 (8一约2二(口十b+‘+d)2 二尹+b名一卜产+d之+2口b+宕a‘ +2‘d十2乡c一于Zb己十Zc叮三(al+乙,+c“+dZ)+(。2+乙“) +(aZ+c“)+(aZ+dZ) +(乙忿+cZ)+(乙“+d名) +(cZ+dZ) =4(aZ+乙2+cZ+dZ) =4(16一e艺),.’. 64一16￡+eZ三64一4。艺,即5e2一16e三0,由…     

巧用正弦定理解题

设△ABC的三边为a、b、c,对角分别是A、B、C,则有a/sinA=B/sinB=c/sinC=2R,其中R为△ABC的外接圆半径,这就是正弦定理,运用正弦定理,证平面几何题,常具有思路清楚,过程简单,少作或不作辅助线等优点,下面举例说明,     

2005年河北省初中数学创新与知识应用竞赛预赛试题

一、选择魔 1.已知实数a,b,c满足 aZ Zb=7,bZ一Zc-一1,cZ一6a=一17, 则a十b十。的值等于() (A)2.(B)3.(C)4.(D)5. 2.如图1,△ABC中,AC=政二,匕ACB~ 9.如图3,矩形内放里8个半径为l的圈,其 中相邻两回都相切,并且左上角和右下角的两因 和矩形的两边都相切,其它的固 和矩形的一边相切,则该矩形的 面积为 10.对于一个有四个侧面的 :澎丹飞 翼。 900,八D平分艺刀AC旧E上八D交 AC的延长线于.饭F,且垂足为E, 则下面结论: ①AD一BF;②CF一CD; ③Ac十CD~乃丑; ④BE一〔下;⑤刀F一ZBE. 其中正确的个数是() (A)1.(B)2.(C)3. 长方体…     

正弦定理及其应用

同学们都熟知,在△ABC中,A、B、C为三个内角,a,b,c为三边,R为△ABC的外接圆半径,则有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 正弦定理它是揭示三角形的边、角及外接圆半径之间数量关系的一个重要定理.灵活运用正弦定理解几何题,往往可以避免因添设辅助线所带来的困难,而且在许多情况下,能使证明思路清晰,解法简捷明快.     

对一道习题错解的剖析

有这样一道题:已知外接圆半径为6的△ABC的边长是a、b、c,内角B、C和面积S满足条件: ①sinB sinC=4/3,②S=a2-(b-c)2 (1)求sinA (2)求△ABC的面积S的最大值. 为利于剖析,摘录解答过程如下:     

错在哪里?

不一定都满足题意, 题:在△ABC中,已知B=雌5o,“=2亿了,S=3+召丁,求e、b、才、C。 解:,.’S=士a·。。inB=告侧万。,.’.士了万‘=3+斌丁…。=侧万+侧丁 又由余弦定理得 b,二a“+cZ一ZaeeosB=12+8+4侧了一(了了+亿丁)·士了丁=20+4亿丁一12一4亿了=8.’.b二2侧丁。 再由正弦定理得 2亿丁_2召了 sinB sinAA(或B)一般有两个,应加检验。 木题正确答案是:2了了。A=CO。。C=c二侧万+侧万.b=75。题:a是何实数时, 戈义一2_一一孟十一一‘十X一艺劣 2丫+口x(x一2)二o,只有一个实数根,并求出这个根。解:原方程化为:2x2一Zx+4+a x.(x一2)=0,.…     

直角三角形的边角关系单元检测题

}一、自勺. 1.在直角△ABC中，乙C=9()o，a，b，。分别是乙滩，乙召，乙C的对边，a=12，e= 13，则下列各式成立的是(). A，inA二旦B.sinA=立c.c耐二旦D.co幼=立12 13 13 13 2.△ABc的三边分别是△刀EF的三边的3倍，那么它们的最小锐角的正弦值). A.前者是后者的3倍C.相等B.后者是前者的3倍D.无法判断3.在Rt△ABc中，乙C二oo。，。，‘，。分别是乙A，乙B，乙c的对边，下列关系式中错误的是(). A.a二c·cosA B.b=a.tallB C.a=c·511讲D.b=c·sinB 4.在等腰三角形ABC中，底边BC=2，且吻C=2，则△ABC的周长为(). A.2+2、/了B.…     

中考中的阅读理解型试题

近年来，各省市中考试卷中频频出现了引人注目的阅读理解型试题．这类题型的特点鲜明、内容丰富、形式多样、构思独特、寓意深刻．这类题可以从不同侧面综合地考察学生的阅读理解能力、分析报理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表述能力及探索、迁移能力等．1阅读──理解──判断例1阅读下题的解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2—b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解～a’c’－b’c‘。a‘－b‘，（A）”．cZ（aZ－b2）＝（a’＋bZ）（a’－b2），（B）“，2一a’＋bZ，（C）．”．凸ABC是直角三角形．（D）…     

一道西部数学奥林匹克赛题的溯源与推广

1.题目 2004年西部数学奥林匹克最后一题为〔‘〕:求证:对任意正实数a,b,。都有(5)即得不等式(1). 很显然,定理等价于如下的: ,ab1<-一二二二二三二吧十一一二二二二二二二;十 产2卫12,王2卫Z 冲“一「U、“O一「C命题设a,b,。)0,则(!)当几)8时,有 3丫1十几毛一李二一 吸2十肋2 b‘bZ 久cZ了O︸一c一 一2.溯源令x二扩,y=护,二=。“,则不等式(1)等价于cZ 只aZ 当8>久>0时1/‘x.「y,\丫舟y丁勺厂二下\/3、亿,,、飞一丁仪)l<一旦_ 丫厂沪下反乎,有 一b十、bZ 几cZ CcZ 几aZ 一X内‘一 一z 式(2)的右侧的不等式最早是文「2」的一个猜想,…     

巧用正—余弦定理解题

我们在初中已学过正弦定理和余弦定理:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其外接圆半径为R,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R及 a~2=b~2+c~2-2bccosA. 应用正弦定理把余弦定理中的边都化为角,则有: sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinCcosA. 可以证明当A+B+C=kπ,k为奇数时此式都成立。我们不妨把上式称为正——余弦定理。下面举例说明这个定理的应用。例1 求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°的值。     

一个几何定理及其应用

定理:在△ABC和△A‘B’C‘中,如果乙A=艺A尹,乙B+匕B产=180。。则AC:BC二A声C产:B,C产。 证明:根据正弦定理,对△ABC和△A‘B了C‘都有:_5 1 OB 5 inA_5 inB, 5 inA夕。 AC:BC==A,C一,:B尹C,。 本定理有着广泛的应用。利用它来证明某些几何命题,往往比常规证法明快得多。下面举例说明。 例1已知E、F是四边形ABCD一组时边的中点,EF的延长线交另一组对边的延长线于p、口。若艺BpE=艺万()C,本证A刀=CD:C一CA一B再由题设条件易得证明:在△P刀B和△QEC中,有艺1=艺2,匕3+艺4二180。。由定理得PB:EB二QC:EC但已知EB二…