求函数y=(ax b)~(1/2)-(cx d)~(1/2)(ac＞0)值域的新方法

函数 y=(ax b)~(1/2)-(cx d)~(1/2)是中学数学中重要的一类无理函数.近年来,许多刊物曾探讨过其值域的求解方法,本文运用的两个简单不等式给出解决这类问题的一种新方法,望同行赐教.很容易证明下列两个简单不等式:     

a＋b／2＞√ab及延伸式的几何证明

a b/2＞√ab作为最基本的不等式，其最常规的代数证明法已为人们所熟知，是否有其他的证明方法或技巧呢?在通过一定的研究后，向大家推荐一种用特定的几何图形为依据，对这一不等式及其延伸式的证明方法，供大家参考。     

浅谈(a~2+b~2)/2≥[(a+b)/2]~2的证明

(a2+b2)/2≥((a+b)/2)~2(人教版第二册第11页第1题)是一个很重要的不等式,证明它有很多方法,用它可以求某些式子的最值,并且可以证明一些不等式,下面给出几种有关它的证明方法以及它的一些应用.     

x~(1/2) y~(1/2)≤{2(x y)}~(1/2)的解题功效不容忽视

研究庞大的生物体从研究细微的细胞开始 ,同样的道理 ,对错综复杂的不等式研究 ,可以从对一些最为简单的不等式的探索开始。本文旨在探讨一个不惹人注意的简单不等式 :ｘ ｙ≤ 2 (ｘ ｙ) (其中ｘ、ｙ∈Ｒ ) ( )(当且仅当ｘ =ｙ时 ,等式成立 )证明不难 :　依基本不等式ｘ ｙ≥ 2ｘｙ,知(ｘ ｙ) 2 =(ｘ ｙ) 2 ｘｙ≤ (ｘ ｙ) (ｘ ｙ) =2 (ｘ ｙ) ,两边开平方 ,即得ｘ ｙ≤ 2 (ｘ ｙ) 。不等式 ( )的结构简单 ,而应用却十分广泛。1　求不等式恒成立时的参数最值例 1　若正数ａ使不等式 ｘ ｙ≤ａ ｘ ｙ对一切正数…     

利用a~2≥2a-1证明竞赛不等式(高二、高三)

证明不等式是数学竞赛中的热点,因此研究不等式的证明方法也是研究数学竞赛的重点内容之一. 本文通过利用基本不等式a2≥2n-1,当且仅当a=1时取等号,以及其推广来解决数学竞赛中一类不等式的证明问题.这种方法简捷、易于操作,且具有一般性,但运用时要注意等号成立的条件.下面举例说明. 例1 设x1,x2,…,xn∈R ,求证(x12)/x2 (x22)/x3 … (xn-12)/xn xn2/x1≥x1 x2 … xn.     

不等式“(a~2)/b≥2λa-λ~2b(a,b∈R~ )”的应用

在数学竞赛和数学杂志中,常常可以看到一些高难度的分式不等式的证明问题.我们通常用柯西不等式推论证明,然而若用"a~2/b≥2λa-λ~2b(a,b∈R~ )"来证明,则可以得到一种统一的解法且简单易行,还能解决更多的分式不等式的试题.下面举例说明.     

导数法证明不等式的函数构造

应用导数证明不等式是导数的一个重要应用,是不等式证明的一种新方法.导数法证明不等式就是根据原不等式的结构特点,构造适当的函数,进而通过求导考察函数的单调性或最值,再利用函数的单调性或最值来证明不等式.导数法证明不等式的关键是构造函数,本文举例说明构造函数的几种方法,供参考.1对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式.例1证明2sin2cos2sin55555ππ π>ππ cos5π.分析题中2π/5、π/5不是特殊角,若用传统方法证明将会很困难,考虑到原不等式两边的结构相同,分别是x sin x cosx…     

分析·应用·推广——关于不等式(a b)/2≥(ab)~(1/2)(a>0,b>0)的教学

数学公式的教学经常有引入、证明、分析应用和推广等步骤。随着各个公式的具体内容不同,教学的侧重点也有所不同。不等式(a b)/2≥(ab)~(1/2)是基本不等式a~2 b~2≥2ab的推论,它的引入与证明都不难从基本不等式中得到,所以我们把教学的重点放在对这个公式的分析、应用和推广上。 (一)分析公式所谓分析公式,就是使学生知道公式字母的意义,公式中左式和右式的构成规律,公式成立的条件,公式的语言叙述,和有联系的公式互相比较,     

∑sinA≤3(3~(1/2)/2)的加强

对0≤k≤2 2(2~(1/2)),在△ABC中成立不等式 ∑sinA≤3(3~(1/2))/2 k[∑sinA/2-3/2]。 (＊) 证明 首先,4cos((A B)/4)(1 cos((A-B)/4))≥4cos(π/4)(1 cos(π/4))=2(2~(1/2)) 2≥k。     

2~(1/2)的历程

2~(1/2)的存在与不可公度量的发现是数学史上的一件大事.2~(1/2)无理性的证明引起了许多数学家的兴趣并给出 了多种证明方法.通过对2~(1/2)的有理近似值的探讨,发现了2~(1/2)的许多其他表示形式.     

浅谈利用a b≥2(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )求最值

不等式a b≥2ab(a、b∈R )(当且仅当a=b时等号成立)a b2≥ab(a、b∈R )(当且仅当a=b是等号成立),其中a b2、ab分别是a与b的算术平均数、几何平均数,故简称其为“均值”不等式或“均值”定理.另外均值不等式可推广为三个(或多个)变元的形式,即:a b c≥33abc(a、b、c∈R )(当且仅当a=b=c时等号成立)a1 a2 a3 … an≥na1a2a3…an(a1,a2,a3,…,an∈R )(当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立)均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值,在使用均值不等式求最值时必须具有三个缺一不可条件,即为:一正:诸元皆正;二定:…     

较Weitzenb(o)ck不等式更精确的不等式

本文通过斯特瓦特定理推导出三角形三边中线平方和的公式,借助于三角形的中线长不小于该边上的高,进而推导出三角形面积与三边长的不等式S≤√3/4·√a2+b2+c2/1/a2+1/b2+1/c2,该不等式较Weitzenb(o)ck不等式S≤1/4√3(a2+b2+c2)确定的△ABC面积的上界要小.在推导该不等式的同时也给出了Weitzenb(o)ck不等式的一种新的证明方法.     

构造条件等式证明不等式例谈

本文举例介绍通过构造条件等式来证明不等式,这种方法只是给大家提供一种证明不等式的新视角,有时并不一定是最便捷的,不当之处请同行批评指正. 例1(2000年加拿大数学奥林匹克试题)设a,b,c ∈ R+,求证:a3/bc+b3/ac+c3/ab≥a+b+c.     

巧用数形结合法证明不等式

数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象.将抽象的数与直观的形双向联系与沟通,可使抽象思维与形象思维有机地结合起来,化抽象为形象,从而达到化难为易的目的,本文介绍如何巧用数形结合法证明不等式,供大家参考. 一、构造直角三角形几何模型证明不等式例1求证:3~(2/1)+8~(2/1)>1+10~(2/1). (人教版新教材高二数学上册第30页复习参考题六第7题)     

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的证明和应用

不等式(a b/2)≥ab~(1/2)(a≥0,b≥0)~*的证明和应用在中学数学教材中占有一定的地位。1980年高考数学复习大纲也列入了这部份内容。对它进行系统的复习,使学生自觉的掌握和运用这个基本不等式,对于解代数、三角、以至几何等有关问题是有一定帮助的。     

解不等式(组)的应用(下)

应用四求函数自变量的取值范围用解析式表达的函数,如果要求自变量的取值范围往往要解不等式(组)。例6 求函数y=(7-x)~(1/2)/(x-2)~(1/2)的自变量x取值范围。解∵{7-x≥0, ∴{x≤7, {x-2>0, {x>2。∴自变量x的取值范围是2相似文献   

一道联赛题的思路与方法

2003年全国高中数学联赛第13题: 设3/2≤x≤5,证明不等式 2((x+1)~(1/2))+((2x-3)~(1/2))+((15-3x)~(1/2))<2(19~(1/2))．这是一道看似平常的问题,但要证明它,须有较好的解题功底,须具有坚实的“双基”．笔者经过深入研究, 归纳出了证明本题的6种思路15种方法,供大家参考．思路1利用重要不等式证法1借助二元均值不等式ab~(1/2)≤a+b/2(a,b∈R+,以下本文所要用到的不等式中,字母均表示正数, 不再一一说明)     

"不等式的证明"(复习)课堂实录

[本课选自人教版《数学》(必修)第2册(上).]一、不等式证明的常用方法和基本不等式师:前面我们复习了不等式的性质,现在开始复习不等式的证明.下面我们先来看一个问题:例1:求证:(a~2 b~2)(c~2 d~2)≥(ac bd)~2如何证明这个不等式呢?我们回忆一下,不等式证明有哪些常用的方法?生:比较法、分析法和综合法.     

R≥2r～(1/2)的隔离及一个猜想的否定

设双圆四边形ABCD内切圆为()Ir,外接圆为()OR,四边形ABCD四个旁切圆为⊙()aaIr,⊙()bbIr,⊙()ccIr,⊙()ddIr,则旁心四边形abcdIIII内接于圆.设这个圆为⊙0'()OR.杨之先生于文[1]中猜想:2322()22rrrRR-?证明左边不等式2322()2rrrR?化简即知成立.右边不等式可写为232()22rrRR-?(1)设rxR=,则22x.(1)式即为2(32/2)2xx-?即2(32/2)20xx--?32329/220xxx- -?2252()(2)022xxx-- ?2(2/2)(22)0xx--?由2/2x知上式成立,定理1获证.定理2在上述记号条件下,有22032()2RRRrr?.(2)简证不等式(2)可化为2032()2rRrR?.由文[1]98P第18条性质知02RR.…     

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的推广

不等式的证明中学生一般感到较为困难,其原因是题目变化较多,技巧多样,方法灵活,难度较高。但是仔细研究可以发现众多的题目可以由少数的基本不等式引伸而出,不少题目是同出一源。如果能适当归类,就能举一反三。现仅就一类有关“平均值”的不等式的证明作一简单的讨论和推广。 在现行统编高中数学教材第三册第二章证明了定理:如果a,b是实数,那么a~2 b~2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)和它的推论:如果a,b都是正数,那么