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1.
在高中代数第一册(甲种本)里曾证明过:若f(x)和f~(-1)(x)互为反函数,则它们的图象关于y=x对称。在此再证明一个命题,并介绍一个应用。命题:函数y=f(x)的反函数为y=f~(-1)(x)。设方程f(x)=f~(-1)(x),x=f(x),x=f~(-1)(x)的解集分别是M_1,M_2,M_3。 相似文献
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已知下列命题:①函数y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图象若有公共点,则公共点必在直线y=x上;②若y=f(x)有反函数,则它一定是单调函数;③若函数y=f(x)存在反函数y=f~(-1)(x),则必有f[f~(-1)(x)]=f~(-1)[f(x)]=x成立;④f(x)与f~(-1)(x)有相同的单调性,其中不正确的个数有( ) 相似文献
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张卫东 《中学数学研究(江西师大)》2006,(8):44-45
题型:若函数 y=f(x)存在反函数 y=f~(-1)(x),求 y=f(x-1)的反函数.解:因为 y=f(x)的反函数是 y=f~(-1)(x),在解析式中,用 x-1代换 x 得 y=f(x-1)的反函数是 y=f~(-1)(x-1).在解题时很多学生会用上述的解法求反函数,这种解法正确与否?探究①:函数 y=f(x)与 y=f(x-1)之间是什么关系?同样,函数 y=f~(-1)(x)与 y=f~(-1)(x-1)之间又是什么关系? 相似文献
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如果函数y=f(x)有反函数y=f~(-1)(x),那么函数y=f(x+1)的反函数就是y=f~(-1)(x+1)吗? 例已知f(x)=2~x,函数y=g(x)的图象与函数y=f~(-1)(x+1)的图象关于直线y=x对称,求g(2)。 相似文献
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设函数y=f(x),y=g(x)的反函数分别为:y=f~(-1)(x),y=g~(-1)(x).记方程f(x)=g(x)及f~(-1)(x)=g~(-1)(x)的根分别为α、β.若F(x)=f(x)-g(x)是单调函数,则有β=f(α)=g(α). 相似文献
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在一篇文章中见到这样的看法:“函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称,则它们的交点(如果相交)在直线y=x上。因此求交点,即解方程组等价于解方程f(x)=f~(-1)(x),又等价于解方程f(x)=x(或f~(-1)(x)=x)。”用以下结论解题笔者认为,这种看法不妥,还应商榷。 相似文献
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张化一 《潍坊教育学院学报》1994,(2)
<正> 本文就数学分析中两类计算较为繁琐的问题进行研讨,在理论分析的基础上,给出了相应的简单易行的计算方法,使之对问题的处理更加灵活多样.一、关于函数与反函数在积分中的关系数学分析教材中都提到,当函数y=f(x)与其反函数X=f~(-1)(y)满足一定条件时,有f~(-1)[f(x)]=X,f[f~(-1)]=y及f′(x)=1/[f~(-1)(y)]′(或f′(x)·[f~(-1)(y)]′=1).而对它们在积分中的关系却未曾涉及.以下给出其关系式;并谈谈它们的几何意义和应用. 相似文献
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本文对抽象函数的反函数的求法给出通用方法.一、问题的提出问题Ⅰ:设函数f(x)的反函数是f~(-1)(x),且函数f(2x 3)的反函数存在,求f(2x 3)的反函数.问题Ⅱ:设函数f(x)的反函数是f~(-1)(x),且函数f~(-1)(2x 3)的反函数存在,求f~(-1)(2x 3)的反函数.问题Ⅲ:设函数f(x)的反函数是f~(-1)(x),问:1.哪个函数的反函数是f~(-1)(x-3)/22.哪个函数的反函数是2·f~(-1)(x) 3二:问题的通用解法三个问题实质都是求抽象函数的反函数,可设所求函数为y=g(x),只须求出g(x)即可.而求函数g(x)用到如下结论: 相似文献
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我们知道,单调函数都存在反函数,且反函数与原函数具有相同的增减性,互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称,但是它们的图像不一定有公共点,如果有公共点,那么公共点是否一定在直线y=x上呢?如果曲线与其轴对称曲线有公共点,那么公共点是否一定在对称轴上? 定理1 函数y=f(x)与它的反函数y=f~(-1)(x)的图像的交点,或者在直线y=x上,或者关于直线y=x对称地成对出现. 证明:设点P(a,b)是函数y=f(x)与y=f~(-1)(x)的图像的交点. (1)若a=b,则点P(a,b)在直线y=x 相似文献
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已知f(x)=((2x 3)/(x-1)),函数y=g(x)的图像与y=f~(-1)(x 1)的图像关于直线y=x对称,则g(3)等于()。(A)3 (B)7/2(c)9/2 (D)11/3 相似文献
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周承欢 《数学大世界(高中辅导)》2003,(10):6-8
人们用方程组求方程f(x)=f~(-1)(x)的解,f(x)与f~(-1)(x)的图象的交点,为什么有的无解、有的漏解呢?由于前者结果是后者交点的横坐标,所以这两类题的解都由f(x)与f~(-1)(x)的图象是否相交、交点在何处来确定。要回答上述疑问和有依有据地解好这两类问题,必须找到,f(x)与f~1(x)的图象相交的规律。笔者探索这规律时,发现连续函数有下面几个有趣的命题(命题中的函数连续)。[命题1] 斜率不为±1的一次函数与其反函数的图象有且仅有一个交点,这个交点在直线y=x上。 相似文献
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本刊1985年第1期《论函数y=(ax~2 bx c)/(mx~2 nx l)(m≠0)值域的求法》中的方法可以推广,今用该法求函数y=(a_1f~2(x) b_1f(x) c_1)/(f_2f~2(x) b_2f(x)) c_2)的值域。一、如果f(x)的函数值可取一切实数。令u=f(x),转化为该文讨论的函数。 [例1] 求函数y=(sin~2x-2sinxcosx 3cos~2x)/(sin~2x 2sinxcosx-3cos~2x)的值域解:1°当cosx=0时,y=1。 2°当cosx≠0时,该函数可化为 y=(tg~2x-2tgx 3)/(tg~2x 2tgx-3) 因为tgx可取一切实数值,且该函数的分子分母无公因式,于是 (1-y)tg~2x-2(1 y)tgx 3(1 y)=0 则Δ=[-2(1 y)]~2-4×3(1 y)(1-y)≥0 2y~2 y-1≥0 相似文献
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一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(x≤-2).(1)求f~(-1)(x);(2)设a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))(n≥2,n∈N),求a_n;(3)求sum from i=1 to n 1/(a_1+a_i+1)的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:(1)函数,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(定义域为x≤—2,值域为y≥0)的反函数为f~(-1)(x)=-(x~2+4)~(1/2)(定义域为x≥0,值域为y≤-2) (2)∵a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))由迭代法得:a_n=-(a_(n-1)~2+4)~(1/2)=-(a_(n-2)~2+2×4)~(1/2)=…=-(a_1~2+(n-1)4)~(1/2)=-(4n-3)~(1/2)(亦可由a_n~2=a_(n-1)~2+4,n=2,3,…n,累加而得) (3) 注意到 a_n~2-a_(n-1)~2=4, 相似文献
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f[f~(-1)(x)]=?,f~(-1)[f(x)]=?,f[f~(-1)(x)]=f~(-1)[f(x)]成立吗?在学习了反函数知识以后,常有学生提出这类问题,下面我们来探讨一下这几个有趣而重要的式子。从课本上可知,如果函数f(x)的定义域是A,值域是B,那么反函数,f~(-1)(x)的定义域是B,值域是A。 相似文献
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函数是中学数学的核心内容,各级各类考试试题中,函数试题占相当大的分量。而学生在解函数问题时1.忽略函数定义域问题:已知函数y=f(x)满足f(x-1)=x~2-2x +3(x≤0),则f~(-1)(x-1)=( ). 相似文献
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苏庆飞 《中学数学研究(江西师大)》2013,(7):33-34
一次分式函数f(x)=(cx+d)/(ax+b)(a≠0,ad-bc≠0)值域的通常求法是逆求法:即先改写成x=f~1(y),由x∈A(A为函数f(x)的定义域),得f~1(y)∈A,解出y的取值范围,即可得到函数f(x)的值域.使用这种传统求法,思路比较清晰,易于操作,但是在求解过程中看不出结果与定义域之间的内在联系.下面我们就来研究一下函数f(x)= 相似文献
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首先,让我们看一道流行习题:“函数f(x)=2~(1/(x-a))(x≥a)的图象与其反函数的图象有公共点,则实数a的取值范围是____”该题给出的解答过程为:“因为f(x)=2~(1/(x-a))(x≥a)的图象是‘半边’抛物线:若f(x)与f~(-1)(x)的图象有公共点,则y=f(x)与y=x有公共点,即 相似文献