巧设含参数分式 妙证分式不等式

分式不等式千姿百态，绚丽多彩，其证明方法也因题而异，异彩纷呈，美不胜收．本文介给一种参数证法：引入参数t，注意到1=a^t/a^t＋b^t＋b^t/a^t＋b^t,1=a^t/a^t＋b^t＋c^t＋b^t/a^t＋b^t＋c^t＋a^t/a^t＋b^t＋c^t等，借助拆项法、均值法，巧证一类分式不等式．     

关于一类分式不等式通法证明之研究

先对契比雪夫不等式、琴生不等式及均值不等式做简单证明作为引理，然后给出了一类分式不等式的一个重要定理及相关推论，并利用该定理证明一类分式不等式。     

分式型不等式新法新证

笔者在文[1～5]中曾介绍了证明分式型不等式的一些方法,经过探究,近期又发现了一些分式不等式的一种新证法——对偶法．兹举例说明之．     

整体代换法证分式不等式例说

对于许多分式(或可化为分式)不等式,可以分别将不等式项数较多的一端及它的各项分母的和看成一个整体,再由它们组成的简单恒等式(如3=M/M+N/N+1等)算术—几何平均值不等式加以证明.这种方法不但有较广泛的适     

两个分式不等式的新证及启示

题1 已知a,b,c∈(0,+∞),且abc≤1,求证:     

证明一类分式不等式的通法

文[1]和文[2]给出了一个分式不等式的多种证明方法,介绍的证明方法可谓个个"精妙绝伦",笔者阅后颇受启发,惟一感到有点遗憾的是这些方法都不容易想到.本文介绍一种思路自然且易于操作的证明这类分式不等式的通法,供大家参考.     

证明不等式的又一方法—排序法

排序原理设有两组有序实数：ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ,ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ（ｎ≥２）,若Ｍ＝ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ,Ｎ＝ａ１ｂｎ＋ａ２ｂｎ－１＋…＋ａｎｂ１,Ｑ＝ａ１ｂｉ１＋ａ２ｂｉ２＋…＋ａｎｂｉｎ,式中ｂｉ１,ｂｉ２,…,ｂｉｎ是ｂ１,ｂ２,...     

关于一类分式不等式通法证明之研究

先对契比雪夫不等式、琴生不等式及均值不等式做简单证明作为引理,然后给出了一类分式不等式的一个重要定理及相关推论,并利用该定理证明一类分式不等式。     

用权方和不等式简证一类分式不等式

权方和不等式是著名的重要不等式之一,是证明不等式的有力工具,它具有条件简明、结构优美、使用方便等特点．若能恰到好处地正确运用权方和不等式,将会起到简化证明过程的神奇效果．本文以数学杂志中的几个分式不等式为例,给出证明与大家共享．     

一个分式不等式的别证

<数学通报>2004年第2期"数学问题解答"栏第1472题是: 已知a,b∈(0, ∞),a b=1,求证:     

用一个新不等式证明一类分式不等式

新不等式是 :若Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,则Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ . ( )证明　因Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,依基本不等式得Ａ2(Ｂ) 2 (λＢ) 2 ≥ 2· ＡＢ·λＢ =2λＡ ,∴　 Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ .可以看出 ,新不等式的结构简单、特证明显 .它的左边是一个分式模型 ,右边则是与之相关的一个整式 ,这就是说 ,不等式有把分式转换为整式的功能 ,因而不等式 ( )是证明一类分式不等式的锐利武器 .现举几例说明之 .例 1　设ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 是正实数 ,求证 :ｘ21 ｘ2 ｘ22ｘ3 … ｘ2 ｎｘ1≥ｘ1 ｘ2 … ｘｎ.( 1984年全国高中联赛题…     

代换法证明数学竞赛中的分式不等式

数学竞赛中分式不等式的证明是个难点,但有些若用代换法进行转换,则容易找到证明的切入点,并作出证明,本文给出几种常用的代换方法,供参考．     

构造F(pi;xi)≥0巧证分式不等式

分式不等式的证明是一热门话题 ,方法颇多 .本文介绍Ｃａｕｃｈｙ不等式的一个变形 :定理　设 ｐｉ ∈Ｒ+ ,ｘｉ ∈Ｒ ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ ,则(ｐ1ｘ1+ｐ2 ｘ2 +… +ｐｎｘｎ) 2 ≤(ｐ1+ｐ2 +… +ｐｎ) (ｐ1ｘ21+ｐ2 ｘ22 +… +ｐｎｘ2 ｎ) .该定理可记为Ｆ(ｐ1,ｐ2 ,… ,ｐｎ;ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ)≥ 0 ,或简记为 :Ｆ(ｐｉ;ｘｉ)≥ 0 .定理广泛应用于一类不等式的证明 ,尤其是证明一类分式不等式 :只须适当地、巧妙地选取 ｐｉ,ｘｉ;换言之 ,只须恰当地构造Ｆ(ｐｉ;ｘｉ) ≥ 0 .1　巧证一类不含等号的不等式例 1　 (第 32届乌克兰数学竞赛试题 …     

一个分式不等式的证明

文[1]末提出如下一个不等式问题：     

证明分式不等式的一个行之有效的方法

证明分式不等式的困难在于化去分母并能降低次数,本文试图推出一个公式,以达到消去分母并降低次数的目的．设想已排好的一张m行n列的数表,其中的aij,）0（f一1,2…·。,j—I,2,…,。）设每一列的元素和为人一面a。。,j—l,2,”’,n,每一行的元素积为且一IIa。。,i一1,2…·,m．则据j一平均值不等式有将上面n个不等式相加得等号当且仅当数表中所有行对应的元素成比历时成立．下面举例说明公式的应用．例1设a,b,c,d为非负实数,且ah＋be＋cd＋d“l,＿＿＿＿…＿＿．＿＿。H－＞＋（第对届IMO预选题）a＋b＋c”3””·…     

分式不等式的又一证法

关于分式不等式的证明 ,人们已总结了不少方法 .本文利用柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式的一种变式再给出一种证法 ,这种证法常被人们所忽视 ,然而它在证明一类分式不等式时却十分凑效 ,现介绍如下 ,以供参考 .柯西不等式的变式　设ａｉ∈Ｒ ,ｂｉ∈Ｒ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则　　　 ( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=1ａｉｂ2 ｉ) ,( )等号成立当且仅当ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ.由柯西不等式易知不等式 ( )成立 ,证明从略 .为书写方便 ,用 表示循环和 .例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,ｋ为常数 ,ｋ∈Ｒ ,求证 ｘｋｙ ｚ ｙｋｚ ｘ ｚｋｘ …     

分式置换法证明不等式

不等式的证明,除了教材上的比较法、分析法、综合法、反证法外,还可用构造函数法、分式置换法等.所谓分式置换法是:对于约束条件n∑i=1的某些不等式,通过作代换x1=ai/n∑j=1aj(i=1,2,3,…,n)从而证明不等式的一种方法.本文就此给出分式置换法证明不等式的一些技巧,供教学时参考.     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

用均值不等式证明无理不等式和分式不等式例析

均值不等式是我们证明不等式最有力的基本工具．本文从数学思想的角度,例谈均值不等式在证明无理不等式和分式不等式中的应用．[第一段]