应用ab±a±b+1=(a±1)(b±1)解题

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巧用公式“ab±a±b+1=(a±1)(b±1)” 及其变形解竞赛题

含字母系数的一元二次方程整数根问题是数学竞赛命题的重要内容,一般要求待定字母或整数根。下面结合自己的实践谈一下公式“ab±a±b 1=(a±1)(b±1)”及其变形在求解这类问题中的应用,以体现这一公式的应用价值。     

用“ab±a±b 1=(a±1)(b±1)”解题

在解题过程中,常会遇到一个题目中含有ab、(a b)或(-a-b),此时若能巧妙地运用“”,往往能使向题简单化,出现出奇制胜的效果。 例一.若,求a、b的值。 解:已知,即: 分解为: 亦即:或,即或 所以,时,b为任何实数;时,a为任何实数。     

用a b≥2(ab)~(1/2)(a≥0,b≥0)巧解物理题三例

同学们,在初中学习中,有一些物理题,特别是求极值问题,若用a b≥2ab~(1/2),(a≥0,6≥0)来解决,比配方法,二次函数法等更方便,更快捷,可达到事半功倍之效果。1简单证明a b≥2ab~(1/2)因为(a~(1/2)-b~(1/2))2≥0,所以a b-2ab~(1/2)≥0。即a 6≥2ab~(1/2),(a≥0,6≥0,且a=b时,     

应用凑比法证明形如b/a=c~2/d~2的等式

形如b/a=c~2/b~2(a、b、c、d表示线段)的比例的证明,同学们常感到棘手,本文举例说明说它的一种证明方法—凑比法。其思路是将b/a凑成b/x·x/a,若待定线段x使得b/x=c/d且x/a=c/d,则b/a=b/x·x/a=c~2/d~2。例1 如图1,自⊙O外一点P作⊙O的切线PA,过P作割线PCB,求证:PB/PC=(AB)~2/(AC)~2 分析:设PB/PC=PB/x·x/PC(x为待定线段),先证明PB/x=AB/Ac,由此确定出x,再证明     

巧用(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(a>0、b>0)进行对数大小的比较

在对数函数教学中,常常遇到进行对数大小的比较之类问题.在解这类问题时若注意应用基本不等式0+b_.__才》澎石石一(a>6,b>0).常可收到化难为易之效。 二l 109。,+,,n·109(。;1)(”+2)<1即109:(。+l)>109佃+i)(。+2)‘二,由换底公式’。‘·‘·+‘,一‘。g告击例:试比较10923与10934的大小’ 解:…xog32一不奥飞>。.1093‘>0 Ju匕20109(。+,,(”+2)~1092 ”十1南10934109:3=10954·logaZ所以又有1os李击>los共 1’刀十i 若对数式含参数,则在比较大小时,现的一切可能情况分别加以讨论。 l ”+2’需对参数出由基本不等式“而、鲡、丛全奋9翅…     

分析·应用·推广——关于不等式(a b)/2≥(ab)~(1/2)(a>0,b>0)的教学

数学公式的教学经常有引入、证明、分析应用和推广等步骤。随着各个公式的具体内容不同,教学的侧重点也有所不同。不等式(a b)/2≥(ab)~(1/2)是基本不等式a~2 b~2≥2ab的推论,它的引入与证明都不难从基本不等式中得到,所以我们把教学的重点放在对这个公式的分析、应用和推广上。 (一)分析公式所谓分析公式,就是使学生知道公式字母的意义,公式中左式和右式的构成规律,公式成立的条件,公式的语言叙述,和有联系的公式互相比较,     

函数f(x)=(x~2 ax b)(1/2)±(x~2 cx d)(1/2)的最值

结论 1　若Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,则函数 f(x) =x2 ax b x2 cx d的最小值是 f(x) min=12 (-Δ1 -Δ2 ) 2 (a -c) 2 .证明 :因为Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,所以x2 ax b≥ 0 ,x2 cx d≥ 0 ,f(x) =x2 ax b x2 cx d =x a22 0 - 4b -a222 x c22 0 - 4d -c222 .求 f(x)的最小值即求两定点A - a2 ,4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 到x轴上一点 (x ,0 )距离和的最小值 ,即求两点A′ - a2 ,- 4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 之距 |A′B|.点A′与A关于x轴对称 .根据对称性 |A′B|=|PA| |PB|,在x轴上任取一点…     

关于f(x)=(ax b)~(1/2)±(cx d)~(1/2)(ac≠0)值域求法

记方程ax b=0,cx d=0的两根分别为t_1、t_2,在t_1=t_2的情况下,f(x)的值域易求,以下假设t_1t_2时,由于f(x)与f(-x)值域相同,可类似讨论f(-x)的值域).     

不等式(a b)(1/a 1/b)≥4的应用

在解析几何的一些极值问题或者不等式问题中,恰当地运用不等式(a b)(1/a 1/b)≥4(ab>0,可以使解题更简洁. [例1] 求圆x~2 y~2=r~2(r>0)的切线方程,使此切线夹在两坐标轴正半轴间的线段长最短,并求出这个线段长.     

不等式(a b)/2≥ab~(1/2)(a,b∈R~ )的几种巧妙证法

不等式a b/2≥ab~(1/2)(a,b∈R )是中学数学重要不等式之一.其应用广泛,技巧性强,加强这一不等式的教学,对提高学生的分析问题、综合应用知识的证题能力和创造思维能力,以及诱发学生对数学的美感,增长他们创造数学美的能力是大有好处的.本文从不同的角度给出这一不等式的几种证法,以供参考. 定理如果a,b∈R ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号). 证法一:(用二次根式的性质证) 当a≠b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2>0; 当a=b时,(a~(1/2)-b~(1/2))~2=0. 故(a~(1/2)-b~(1/2))~2≥0. 即a b-2ab(1/2)≥0. 故a b/2≥ab~(1/2). 证法二:(用面积证)如图1所示, 当 a≠b 时,S_(正方形ABCD)>4S_(矩形AB_1C_1D_1); 当a=b时,S_(正方形ABCD)=4S_(矩形AB_1C_1D_1), 故 S_(正方形ABCD)≥4S_(矩形AB_1C_1D_1) (a b)~2≥4aba b/2≥ab~(1/2).     

不等式a+b/2≥(ab)~(1/2)(a,b∈R~+)的几何意义

中学数学教学大纲指出:“数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。”数与形是数学研究的两个重要侧面,它们之间相互渗透、相互转化。六年制重点中学高中数学课本代数第二册P87推论“如果a,b∈R~+,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号)。”此不等式有很多几何意义,本文提供的各种几何意义若能使学生理解,那么无疑会有助于我们综合运用中学数学知识能力的提高。 (1)取直线AMB,设AM=a,MB=b,以AB为直径作⊙O,其圆心为O,连结ACBC,由射影定理知CM~2=AM·MB,即CM~2=abCM=(ab)~(1/2),由于在圆内直径是最大     

不等式a~n+b~n/2≥(a+b/2)~n的证明(a>0,b>0,n∈N)

这是统编十年制课本第三册159页的一个习题,是一个重要的不等式,各书刊都有许多有关它的具体运用的举例。本文拟就高中课本范围的知识,介绍它的若干证明方法。通过课堂教学或课外活动和墙报介绍给学生,能开扩学生的视野,提高分析问题和解决问题的能力。     

对有关形如y=(ax b)~(1/2)±(cx d)~(1/2)的最值问题探讨

在高中数学中,函数有关值域和最值问题是一个重点也是一个难点问题,题型和解法也较多。本文就形如y=(ax b)~(1/2)±(cx d)~(1/2)的有关函数求最值问题做一探讨。     

形如“(1/a) (1/b)=(1/c)”命题的证法初探

几何学中,形如“1/a 1/b=1/c”的题目,实质上也是比例线段的一种形式。但由于分母都是线段,而分子都是常数,条件与结论的内在联系又不明显,因而同学们感到头疼。本文就一些典型例题的证明,概括了如下几种思考方法,以供探究。 一、结论变形法 1.化去常数,变形为线段之比的形式     

巧用a~(1/2)(a≥0)的非负性

我们知道,式子a~(1/a)(a≥0)叫做二次根式,它隐含着两个非负数:a≥0,a~(1/a)≥0.若能灵活应用,则可巧解许多问题,现举例说明.     

利用a～(1/2)(a≥0)的非负性解题

式子a~(1/2)(a≥0)叫做二次根式,它具有双重非负性:(1)被开方数a是非负数;(2)二次根式a~(1/2)的值也是非负数,这看似简单的两条性质,在解决许多问题时却起到了很大的作用,现举例说明,以供参考.     

巧用(a±b)~2≥0解竞赛题一例

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浅谈利用a b≥2(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )求最值

不等式a b≥2ab(a、b∈R )(当且仅当a=b时等号成立)a b2≥ab(a、b∈R )(当且仅当a=b是等号成立),其中a b2、ab分别是a与b的算术平均数、几何平均数,故简称其为“均值”不等式或“均值”定理.另外均值不等式可推广为三个(或多个)变元的形式,即:a b c≥33abc(a、b、c∈R )(当且仅当a=b=c时等号成立)a1 a2 a3 … an≥na1a2a3…an(a1,a2,a3,…,an∈R )(当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立)均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值,在使用均值不等式求最值时必须具有三个缺一不可条件,即为:一正:诸元皆正;二定:…     

介绍形如(ax+b)~(1/2)±(cx+d)~(1/2)=k的无理方程的一种解法

解形如 了ax+b土了ex+d=k(.)的无理方程时,通常采用的方法是把方程的两边平方两次(包括移项过程),然后解一个一元二次方程。这样做往往要进行较烦琐的运算。下面介绍一种解法,其基本思想是,设法建立一个关于训ax十b和亿石不而的二元一次方程组,解出亿石玉下下或、‘丽不万,再求出x. 不难验证下列等式成立:.’.x=52一8了39.方程无其它根,这是由于方程丫告“石+了介而=一了譬无根。 检验:亿55一8侧而+衍I石刃瓜扇二杯(了59一凌)’+亿(s一丙。)2二4(、/ax+b士切ex+d)“=(丫誊“石干了+‘一,(令一导). 由本例可以看到,利用这种方法麻方程(·)时…