一道数列高考题的进一步讨论

2007年高考数学陕西卷理科第22题：已知各项全不为零的数列{an}的前k项和为Sk,且Sk=1/2akak＋1（k∈N^n）,其中a1=1．（Ⅰ）求数列{ak}的通项公式;（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2）,数列{bn}满足bk＋1/bk=k-n/ak＋1（k=1,2,…,n-1）,b1=1.求b1＋b2＋…＋bn.     

等差、等比数列的中间值性质及其应用

1等差数列{an}前n项和Sn的算术平均数Snn叫做等差数列前n项的中间值.根据等差数列前n项和公式,显然有Snn=a12 an,即等差数列的中间值等于第1项与第n项的等差中项.等差数列的中间值有如下两种情况:(1)当n=2k-1时,Snn=a1 2a2k-1=ak,k∈N*;(2)当n=2k时,Snn=a1 2a2k=ak ak 12,k∈N*     

每期一题

题:从射线OB与圆x~2 y~2=2ax的交点B向Ox轴作垂线BC,C为垂足,求C在OB上射影的轨迹方程。解一:选取过定点的动直线斜率为参数。如右图,设直线OB斜率为k(k为参数),OB直线方程为y=kx, y=kx由 { x~2 y~2=2ax, x_1=0 x_2=2a/(1 k~2) ∴ { { y_1=0 y_2=2ak/(1 k~2) 则C(2a/(1 k~2),0)     

数学题探讨

一(南京师院附中顾理生来稿)bZ一a 2 kZ年0△=(一ZaZm无)“一4(一aZmZ一 一a“西2)(右“一a 2 kZ)=0rJ、ee : 口F 日从 题证明:直线y=kx m与双曲线哎一买=,(以下简称双曲线)相切的条件a 2 bZ占、~”叫’‘,’~四呐“,目洲曰切刁、”是kZ护一石2=m“。(高中《数学》第六章复习题     

由数列递推公式求通项公式的几种方法

例1 3招 若数列2,az=2解’:a。一a:二{a。}满足a.十:=a-,求其通项公式。n一1 名(a,卜,一。,)k=1 n一1=名(3k 2) k=13.2 几一4 2:。a.=音‘3“’十“’ 11一1若乙l(幻可求,则满足递推公式a。,: k=1一“。=j(”),。:二。的数列的通项公式均可如此求出。 例2.数列{a.}满足a。 ;=2     

一类组合数求和问题

设等差数列王a。}前n项和为夕”,则 n公式I兄ak,,c方=k二0一星竺匕2 0.(i) 儿十1fl兄(一i)七ak十:c轰=0.k二O证设等差数列公差为d,则k :二a, 无d.于是 nak,:c轰二(a: kd)c轰兄卜 Cn乙n二。:乙c轰 k=0 k2”一In之1=(a; a。十1)2”一‘lln乙(一1)冷ak十;c全k=0二a,乙(一i)“k二O     

错在哪里

1.江西遂川二中肖是明来稿(邮编:343900)即/APO连AO、 在△DPO一/DPO,DO 题若a渭是方程xZ一Zx+乏盆二o的两个根,且a,a+夕,夕成等比数列,求h的值。 解:’:a渭是方程扩一Zx十kz=0的两个根,△APO中丫AO二DO,┌─────┐│、\ ││ “、O │├─────┤│ J ││ / ││ / ││ / ││/ │└─────┘:.,,达定理得{a+夕二2a,夕=kZ①又‘:口,a+夕渭成等比数列.:.(a+口),=。·夕② 将①代入②得2,=尸解得k二土2 将k=士2代入原方程得 xZ一Zx+4=0,.’乙=(一2)2一4义1丫4=一12<0 :’满足条件的k值不存在。此题无解。 解答错了,…     

用椭圆性质求解“希望杯”赛题(高二、高三)

对椭圆牛+共一1(。>。>。),有性质 a曰O“12一3tl(丫4t2+4.12 }x+yl镇丫护+护.这条性质在解竞赛题很有用处. 1.证明 设‘:=acos夕,夕一bs艺n夕(O毛0<2二),则 !x+y}一}acos夕+bsin川 一}丫护+夕五n(夕+叻l镇了护+夕. 2.应用 例!已知a丫1一萨十b丫1一护一1, 求证护十护一1.(第三届92年“希望杯,’). 证明由于即解得0镇‘簇亏 例3已知a,b〔R,且a+b+1=O,求(a一2)2+(b一3)2的最小值 (第十届99年“希望杯”高二) 解设(a一2)“+(b一3)“=t,则(a一2)2.(b一3)2十一下厂一~一1aZ+bZ aZ(1一bZ).bZ(1一aZ)一-了--六不厂-十-一百-一一-下- l一口曰1一…     

“二元一次方程组”单元测试

黝黝一嘴填空题 1.已知二元一次方程入一y=l,若x=2,则)二,若丁=0,则x= 2.某人买了60分的邮票和80分的邮票共20枚,用去了13元2角.则60分邮票买了枚,80分邮票买了枚. (x二1 .fx二2. 3.若}二一,,}。3’都是方程溉 l,二,0的解,则一,。—. fx一艺=一4. 4一元一次方程组弓:一2了=一1,的解为 七x十了一之=一1 __、__,_{既一3J=5,,___{x=0.5,,卜. 5.女口果方程组.}的解是{则。=,b= LZx一b丁=1{J=1.—— f觅 2丫=3. 6.若方程组}一有无数多组解,则k的值为 阮 (k一l)少=k— 7.在方程(k2一4)尸 (2一3k卜 (k l妙 3左=O中,如果此方程为二元一次方程,则k…     

巧构数列 妙解赛题(高二、高三)

1.构造等差中项 例1若(x 了xZ 1)(夕十侧夕2 1)=l,求证x y一0.(第31届西班牙数学奥赛) 证明令x y二Za,视a为x,y的等差中项,则可设x一a一d,y一a d.因为(x 丫护 l)(y 丫少 l)一1,最大值为2涯,最小值为2. 3.构造等比数列【}q}<1)的各项和 例3已知x,y都在区间(一2,2)内,且xy _.49.,,二L。-一l,则u“一十二--下的最小值是() 4一x乙’9一y乙’,一’一一‘12一5 D12一7 C7一n Bco一5 A所以x构辱再万~ ly十丫yZ十1~了少 1一y,(03年全国联赛)x2即x十y一了少 1一了xZ 1.解由x,y任(一2,2),得琴,答任(0,1) 任沙两端平方整理得1一xy一了(x“十1)(少 1…     

全国卷第（21）题别解

试题　已知常数 a(a>0 ) ,在矩形ABCD中 ,AB=4 ,BC=4 a,O为 AB的中点 ,点 E,F,G分别在 BC,CD,DA上移动 ,且 BEBC=CFCD=DGDA,P为 GE与 OF交点 ,问是否存在两个定点 ,使 P到这两点的距离和为定值 ?若存在 ,求出这两点的坐标及此定值 ;若不存在 ,请说明理由 .解　由已知 ,易知 GE必过点 (0 ,2 a) ,凤OF的方程为 y=k1 x　 1,GE的方程为 y=k2 x+2 a　 2 .由 1,得 F点的横坐标为 4 ak1,由 2 ,得 E点的纵坐标为 2 k2 +2 a,于是 CF=2 - 4 ak1.由已知 2 k2 +2 a4 a =2 - 4 ak1 4 ,化简得 k2=- 2 a2k1 ,代入　 2 ,有 y=- 2 a2k1 x…     

1993年圣彼得堡市数学选拔考试

九年级 1.设{a_k}为正数序列,对任何k均有(a_(k 1) k)·a_k=1。证明:序列中各项均为无理数。 2.在△ABC中,AB=BC,在边AC,AB和BC上分别取点D,E和F,使得DE=DF,此时有AE FC=AC。证明:∠BAC=∠FDE。     

每期一题

题求过圆物一1)“十妙一].)“=1外一点P(3,2)向该圆所引切线的方程。 (宿州市三八中学陈新昌) 解法一:设过P(3,2)的圆(x一1)2十(y一1)“=1的切线方程为y一2二I.(。一3)即无x一夕十2一3无=0(x一1)2+(少一1)“=1的切线方程为夕一2=无〔x一3)解方程组{ 即k落一,+2一3左二。(劣一1)2+(y一1)“=工(工)kx一y+2一3无=0(2)则由圆心到切线的距离等于半径,一_。}k。1一1。1+2一3k!而有一土兰少一红){全二巴{卫一=1 、/八:+(一1)2 把(劝代入(l)整理,得 (1+无2)xZ一(2一Zk+6k“)x++gk之一6k+1二0 .’.圆(二一i)2十(y一1)“=1与直线相切, ·’.△=〔一(…     

第50届IMO试题解答

1．设n是一个正整数,a1,a2,…,ak（k≥2）是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n｜ai（ai＋1-1）．证明：n ak（a1-1）．     

一道课本例题的再推广

高中《数学》(试验修订本·必修 )第一册(上 )第 13 2页例 4为“已知 Sn 是等比数列{an}的前 n项和 ,S3 ,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .”文 [1]将其推广为 :已知 Sn 是等比数列 {an}的前 n项和 ,公比 q≠ 1,则 ak,ak+ 2 p,ak+ p成等差数列的充要条件是 Sk+ 1 ,Sk+ 1 + 2 p,Sk+ 1 + p成等差数列 (k,p∈ N* ) .文 [2 ]又将其推广为 :已知 Sn 是等比数列 {an}的前 n项和 ,公比 q≠ 1,则 ak,al,am 成等差数列的充要条件是 Sk+ p,Sl+ p,Sm + p成等差数列 (k,l,m∈ N* ,p∈ Z,且 k+ p,l+ p,m+ p≥ 1) .受其启发 ,本文将其作…     

利用一次函数的单调性巧证两道竞赛题

第十五届全俄中学生数学竞赛题九年级第六题为: 1.试证明:对任意的x、y、:任(0,1),不等式 x(l一刀) 夕(1一劝 之(1一x)<1成立. 第二十一届全苏中学生奥林匹克竞赛中有一道为: 2.设a、乙、。,x、方、:为正实数,且a x=b y=。十:=k,求证:a, 乙z ex相似文献   

解答一道数学奥林匹克题

题目 定义正整数数列｛an}为a1=1,a2=2,ak＋2=2ak＋1＋ak（k≥1）.     

2004年高考数列试题的分析与思考

一、试题概述与分析2004年高考数学全国卷之一(新课程版卷)理科的压轴题是数列试题: 已知数列{an}中,a1=1,且a2k=a2k-1(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,……(Ⅰ)求a3,a5;(Ⅱ)求{an}的通项公式. 该题主要考查数列、等比数列的概     

配分母的应用

对于分式,我们把分子拼凑出分母,再用分母去除,可使问题获解,并使过程简捷。 】al+}引__}al1+}al+lb}一1+la}+}bl十 例Zx+7x+3 解:1画函数y-的图象。 {b}1+}川一卜}引镇 {a}.}bI二二一十;一:一命石1十}a 11十l亡71例5数列{x”}:x,若x,>2(x+3)+1x+32+1┌─────┐│口(一3,2 │├─────┤│ │└─────┘2,求证对一切n〔N都有2臼,。一1)刃,,>2.x+3证明:(飞、众一归纳法.·1时,x:>2成立;y一2一汉设当n一k时不等式成立,即x*>2 一弓j目.土一土l 一刃x十3一了,y一2一夕或、二*一1>1,那么当n一k+1时即令得夕一少这是中心在O’(一3,2)…     

老题新芽 别样趣味

近日,笔者在研究两道与数列变换有关的题目时,发现了一些非常有趣的结论.题1已知数列{an}、{bn}、{cn}满足:an+1=|bn-cn|,bn+1=|cn-an|,cn+1=|an-bn|.证明:对于任意正整数a1、b1、c1,存在正整数k,使得ak+1=ak,bk+1=bk,ck+1=ck.(2017,全国高中数学联赛安徽赛区预赛)题2对于数列A:a1,a2,…,an(ai∈N,i=1,2,…,n),定义“T变换”:T将数列A变换成数列B:b1,b2,…,bn,其中,bi=|ai-ai+1|(i=1,2,…,n-1),且bn=|an-a1|.这种T变换记作B=T(A).