关于三角形内点的一个向量命题

命题　若P是△ABC内的一点 ,记△BPC、△APC、△APB的面积为SA 、SB 、SC ,则SA ·PA SB ·PB SC ·PC =0 .证明　延长AP与BC边相交于D点 ,则｜BD｜｜DC｜ =S△ABDS△ACD=S△BPDS△PCD=-S△BPD-S△PCD等比定理 SCSB.记｜BD｜｜DC｜=λ ,有BD=λDC ,所以PD- PB=λ( PC- PD) ,所以 - ( 1 λ) ·PD PB λPC=0 .又因为PD =- ｜PD｜｜PA｜ · PA =-SASB SC·PA ,所以 SASB SC( 1 SCSB) ·PA PB SCSB ·PC=0 ,所以SA·PA SB·PB SC·PC =0 .推论 1　当P为△ABC的内心时 ,有sin…     

关于三角形内点的一个向量命题

命题 若P是△ABC内的一点,记△BPC、△APC、△APB的面积为SA、SB、SC,则SA·(PA) SB·(PB) SC·(PC)=0.     

应用单位向量定义的深层理解巧解题

单位向量是向量的一个重要概念,本文例谈对它的深层次理解巧解题.1应用单位向量定义从数上来深层次理解巧解题向量a为单位向量|a|=1;因为a|a|=||aa||=1,所以|aa|是非零向量a方向上的单位向量.例1(2002年全国高中数学联赛山东赛区预赛题)设O为△ABC内任一点,SA,SB,SC分别表示△BOC,△COA,△AOB的面积.求证:SA·OA SB·OB SC·OC=0.讲解由于三角形面积可用其内角的正弦表示,因此本题实质上是一个向量与三角的综合题.设∠BOC=α,∠COA=β,∠AOB=γ,e1、e2、e3分别表示OA、OB、OC上的单位向量,即e1=|OOAA|,e2=|OOBB|,e3=O…     

三棱锥的两个性质

命题已知三棱锥P-ABC,Q是底面△ABC内的一点,S△BQC∶S△CQA∶S△AQB=α∶β∶γ,且α β γ=1.(ⅰ)一平面分别交PQ、PA、PB、PC于Q′、A′、B′、C′点,则PQPQ′=α.PPAA′ β.PPBB′ γ.PPCC′.(ⅱ)过P点的一个球面,分别交PQ、PA、PB、PC于Q′、A′、B′、C′点,则PQ′.PQ=α.PA′.PA β.PB′.PB γ.PC′.PC.为证明该命题,先介绍几个引理.引理1已知P为△ABC内一点,S△BPC∶S△CPA∶S△APB=m∶n∶r,延长AP交BC于M,则MBMC=nr,PAPM=n m r.引理2已知M为△ABC边BC上一点,且BMMC=mn,任作一直线…     

与费尔马点相关的一个开放题的研究与探索

引理(费尔马问题) 已知△ABC,使PA+PB+PC为最小的平面上的点P称为△ABC的费尔马点. 解:显见点P不可能在△ABC外. (1)若△ABC的每个内角都小于120°,将△ABP绕B点逆时针旋转60°至△A_1BQ的位置,如图1,则△BPQ为正三角形.于是PA+PB+Pc=A_1Q+QP+CP. ∵A_1、C为定点,欲使PA+PB+PC最小,P点应在A_1C上.     

几何综合题

总复习阶段,应有针对性地、适量地研究一些不同类型的几何综合题的解法.几何综合题大多是圆与平行线、三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.近几年来,全国各地中考题中,一题多问、开放性题目是几何综合题常见类型.图1例1如图1,已知正△ABC内接于⊙O,P是劣弧BC上一点,PA交BC于点E.求证:(1)PA=PB+PC;(2)P1B+P1C=P1E.证明:(1)在AP上取一点D,使AD=PC,联结BD.易知△ABD≌△CBP.则BD=PB.又∠3=∠4=60°,所以△PBD是等边三角形.故PD=PB,即PA=PB+PC.(2)证法1:因为∠3=∠5=60°,∠1=∠2,所以,△PAB∽…     

张角公式在研究三角形连比问题中的应用

<正>张角公式如图1,设直线ACB外一点P对于线段AC、CB的张角分别为α、β,则sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证明因为S_(△PAB)=S_(△PAC)+S_(△PCB),所以1/2PA·PB·sin(α+β)=1/2PA·PC·sinα+1/2PC·PB·sinβ,两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所证等式.下面举例说明它的应用.例1如图2,已知BP:PQ:QC=3:2:1,AG:GC=4:3,则BE:EF:FG=___.     

张角定理(高一、高二、高三)

1.定理 如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180°,那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是 证明 必要性:若A、B、C三点共线,则 S△PAB=S△PAC S△PCB,因此两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所欲证的等式.     

张角公式帮你解几何题

平面几何中有一个与面积关系有关的张角公式,一般不引人注目。但在教学时,却发现张角公式能帮助解决许多几何题,有的还是典型的难题。现分两方面介绍如下,供初中数学教师教学时参考。一、张角公式已知由点P发出的三射线PA、PB、PC;且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180°,那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是: sin(α β)/PC=sinα/PB sinβ/PA 证明:若A、B、C三点共线, 则△PAB=△PAC △PCB 故 1/2PA·PBsin(α β)=1/2PA·sinα 1/2PB·PCsinβ两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所欲证的等式。反之,若命题中等式成立,则反推可得: △PAB=△PAC △PCB。这说明△ABC=|△PAB-△PAC-△PCB|=0,所以A、B、C三点共线。     

三角形两个性质的三维推广

本文将三角形的两个平凡而有趣的性质推广到四面体中.先介绍三角形的两个性质:题1 设 M 是△PAB 的 AB 边上的点,任作一直线分别交 PA、PB、PM 于 A′、B′、M′点,则(PA)/(PA′) (PB)/(PB′)=2·(PM)/(PM′)的充要条件是 AM=MB.题2 设 M 是ΔPAB 的 AB 边上的点,过P点任作一圆分别交 PA、PB、PM 于 A′、B′、M′,则 PA′·PA PB′·PB=2PM′·PM 的充要条件是 AM=MB.题1的证明较易,证明从略.下面证明题2:     

张角公式帮你解竞赛题

本文现将张角公式及其在数学竞赛解题中的应用介绍如下: 一、张角公式如图,设直线ACB外一视点P,对于线段AC、CB的张角分别为α、β,且α β<180°,则sin(α β)/PC=sinα/PB sinβ/PA 证明:∵△PAB=△PAC △PCB,∴1/2PA·PB·sin(α β)-1/2PA·PC·sinα 1/2PC ·PBsinβ。∴两边同除以1/2PA·PB·PC,即得欲证式。二、应用举例例1 连结正△ABC的外接圆劣弧AB上一点P的线段CP交AB于D,求证:1/PA 1/PB=1/PD(1990年山西省初中数学     

应用张角公式巧解连比问题

1.张角公式如图1,设直线ACB外一点P对于线段AC、CB的张角分别为αβ,则sin（α＋β）/PC=sinα/PB＋sinβ/PA证明：因为S△PAB=S△PAC＋ S4PCB,所以1/2PA.PB·sin（α＋β）=1/2PA·PC·sinα＋1/2PC·PB·sinβ,两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所证等式.     

四棱锥侧棱上四点共面的一个充要条件

定理四棱锥S-ABCD底面对角线交于P,记(AP)/(PC)=λ1,(BP)/(PO)=λ2,则侧棱SA,SB,SC,SD上的点A1,B1,C1,D1共面的充要条件为((SA)/(SA1) λ1·(SC)/(SC1))/(1 λ1)=((SB)/(SB1) λ2·(SD)/(SD1))/(1 λ2).     

应用张角公式求三线段的连比值

应用张角公式求三线段的连比值,不仅富有新意、相当有效,而且能够化难为易、变繁为简.现以几道初中几何题为例,介绍这种创新的解法如下,供教师参考.一、张角公式如图1,设直线ACB外一点P对于线段AC、CB的张角分别为α、β,则（sin（α+β））/（PC）=（sinα）/（PB）+（sinβ）/（PA）.证明:因为S_△PAB=S_△PAC+S_△PCB,所以1/2PA·PB·sin（α+β）=1/2PA·PC·sinα+1/2PC·PB·sinβ,两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所证等式.     

2006年第8期问题解答

43.设△ABC的边BC、CA、AB上分别有点K、L、M,求证:在△LAM、△MBK和△KCL中,至少有一个面积不大于△ABC面积的四分之一.证明:用SA、SB、SC和S分别表示△LAM、△MBK、△KCL和△ABC的面积.因为SA=21AM·AL·sinA,S=12AB·AC·sinA,所以SSA=AAMB··AACL.同理SSB=BBMA··BBCK,SCS=CCBK··CCAL.于是SA·SSB3·SC=AMA·BM2B·BKB·CK2C·CLC·AL2A.因为AM·MB≤14(AM MB)2=41AB2.所以AMA·BM2B≤14.同理BKB·CK2C≤14,CLC·AL2A≤14.即SA·SSB3·SC≤41"#3.所以SSA,SSB,SSC…     

中考“全等三角形”开放题例析

开放探索题是考查发散思维能力与创新意识的极好题型,下面以中考题为例,解析如下.开放探索题是考查发散思维能力与创新意识的极好题型!下面以中考题为例!解析如下.下.例1(2005年福州市中考题)已知:如图,点C、D在线段AB上,PC=PD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明.所添条件为.你得到的一对全等三角形是△≌△.解析:结合图形和已知条件,由PC=PD,可以推得∠PCB=∠PDA.进而可以推得∠PCA=∠PDB.若添加∠A=∠B,则还可推得PA=PB.这样在△PAC和△PBD中,∠A=∠B,∠PCA=∠PDB,PA=PB,由三角形全等的判定定理易得…     

又一组与圆有关的等积线段

相交弦定理、切割线定理反映的是两组与圆有关的等积线段或比例线段 ,这是再介绍一组 ,供同行参考 .命题 :三角形外接圆上任一点到三角形各顶点的距离与到各顶点所对边的距离之积相等 .此命题试证如下 :设△ABC内接于⊙O ,P是⊙O上任一点 ,连结PA、PB、PC ,分别作PA′⊥BC ,PB′⊥AC ,PC′⊥AB ,垂足分别A′、B′、C′.求证 :PA·PA′ =PB·PB′=PC·PC′ .证明 :( 1 )当点P与A、B、C三点中某一点重合时 ,由点与点 ,点与直线的距离的规定可知此时 :PA·PA′ =PB·PB′ =PC·PC′=0 .( 2 )当点P不与A、B、C三点中任…     

对一道数学竞赛题的探讨

1990年全国初中数学竞赛第一试有中这样一道题:△ABC中,AB=2,BC=2~(1/2),AC=1,设P为BC上任意一点,则PA~2>PB·PC。本文在三角形中讨论了PA~2>PB·PC成立的充要条件,由此进一步讨论了使等式PA~2=PB·PC成立的PA分别是△ABC的中线、高、角平分线的充要条件。     

一道向量题,横跨数理天地(高一、高二、高三)

题在△ABC内任取一点(),证明: (其中SA、SB、SC分别表示△BOC、△COA、△AOB的面积). 解设OA、OB、OC方向上的单位向量依次为e1、e2、e3,并记∠BOC、∠COA、∠AOB依次为α1、α2、α3,则     

垂足三角形的相似比

<正>概念设P是△ABC内的任意一点,从该点向BC、CA、AB分别引垂线PA1、PB1、PC1(如图1),以它们的垂足A1、B1、C1为顶点的三角形A1B1C1称为△ABC关于"垂心"P的垂足三角形.问题对任一给定的△ABC与△ABC中给定的一个内点,第三个垂足三角形A3B3C3与△ABC相似吗?若相似,相似比能恰当地表示吗?纽伯格(J.Neuberg)已证明了第三个垂足三角形与原三角形是相似的.