一道竞赛题的推广

本文对一道IMO的预选题进行了一些推广,得出了一些有用的结论．     

一道竞赛题的推广

从正方形ABCD的顶点A任引两条射线，使其夹角为45°，分别与BC、CD交于点E、F．与BD分别交于点P、Q．求证：S_△AEF=2S△apq.这是1990年四川省的一道高中数学竞赛题，现在我们进一步推广便有：定理如图正n（n=2p，P≥1）边形A_lA_2…A_(n-1)A_n中，A_1A_k为其外接圆直径，若A_(k-1)A_k,A_kA_(k 1)上各有一点E、F，且边形中心O而垂直于A_1A_k的直线交A_1E于P，A_1F于Q，则有．证作出正n边形的外接圆O，设其半径在Rt△A_1OP中，A_1_P=r·seca1，同理A_1Q＝r·seca_2在Rt△A_lA_(k 1)F中，A_1F＝（下转第32页）（上接第…     

一道竞赛题的推广

在2000年全国奥林匹克数学竞赛预赛试题中有这样一道题：设a,b,c分别是△ABC的三边的长且a/b=a+b/a+b+c,则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）     

一道竞赛题的推广

题　 (2 0 0 2年全国初中数学竞赛试题一 ,3 )　点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ的中点 ,连ＡＦ、ＣＥ ,设ＡＦ、ＣＥ交于点Ｇ ,则 Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ等于 (　　 )。(Ａ) 56　 (Ｂ) 45 　 (Ｃ) 34　 (Ｄ) 23本文给出该试题的两个推广。定理 1　点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ上的内点 ,且 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ(ｋ >0且ｋ∈Ｒ) ,连ＡＦ、ＣＥ相交于点Ｇ ,则Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ=ｋ 1ｋ 2 。证明　设ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,连结ＡＣ、ＥＦ ,如下图。∵ ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ ,∴ＥＦ∥ＡＣ ,Ａ…     

一道竞赛题的推广

2004年全国高中数学联赛试题第4题:设O点在△ABC内部,且有(OA→) 2(OB→) 3(OC→)=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ).     

一道竞赛题的推广

第12届美国数学邀请赛第9题: 一种单人纸牌游戏,其规则如下:将6对不同的纸牌放入一个书包中,游戏者每次随机地从书包中抽牌并放回,不过抽到成对的牌时,就将其放到一     

一道竞赛题的推广

现将竞赛题:“已知AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,求证S_(△DEF)≤(1/4)S_(△ABC)”作一推广。     

一道竞赛题的推广

第12届莫斯科数学奥林匹克有一道很有趣的题目：给定13只砝码,它们的重量都是整数克重,任取其中12只,都可以将其分成重量相等的两组,且每组都有6只砝码．求证：这13只砝码重量均相等．^[1]     

一道竞赛题的推广

2003年全国初中数学竞赛天津赛区初赛有如下一道填空题: 已知:α,β是方程x2-x-1=0的两根,则α4 3β的值是____.     

一道竞赛题的推广

2004年全国初中数学联赛的一道试题为: 图1 如图1,在2×3矩形方格纸上,各小正方形的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为( ).     

一道竞赛题的推广

第21届俄罗斯数学奥林匹克(九年级)决赛试题是: 将自然数称为相似的,如果它们可用同样的一组数字写出(例如112,121,211是相似的,因为它们都可由数字组1,1,2写出)。证明:存在三个相似的1995位数,它们的各位数字不含0,但是其中两数之和等于第三个数。     

一道竞赛题的推广

第七届美国中学生数学竞赛试卷中有一道题是：已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ是满足ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝８,ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＋ｅ２＝１６的实数,试求ｅ的最大值．本文通过对题中的字母及系数进行推广,得到一个一般性的命题．定理设ｘｉ∈Ｒ,λｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,...     

一道竞赛题的推广

在第22届莫斯科数学奥林匹克有一道赛题: 在给定凸四边形ABCD中,边AB和CD的中点分别为K和M,线段AM和DK的交     

一道竞赛题的推广

例图1中的小方格是边长为1的正方形,则从图中一共可以数出__个正方形. 分析:边长为1的小正方形的个数是4×4=4~2,边长为2的小正方形的个数是3×3=3~2,边长为3的小正方形的个数是2×2=2~2,边长为4的小正方形的个数是1×1=1~2,从而正方形的总个数为4~2+3~2+2~2+1~2=30.     

一道竞赛题的推广

1984年芜湖市初中数学竞赛试题：证明993^993＋991^991能被1984整除．     

一道竞赛题的推广

第二十九届国际奥林匹克数学竞赛中有这样一道题:(3)当A>900时,2R万石. VS一T 在直角三角形ABC中,AD是斜边上的高,连接△ABD与△ACD的内心的真线,分别与边AB及Ac交于L、K两点,△ABC与△通KL的面积分别记为S、T,求证:S)ZT。 我国选手何宏宇同学给出了一个精彩的证明,简述如下。 证设△ADC户△ADB的内心分别为M、N, ,.’△ADBco△CDA,DN、DM是过D点的两条分角线(即两条对应线段), (ZR为△ABC外接圆直径) 证(1)的结论在原题证明中已经得出。 (2)如图,作A尸土AB交BC的延长线于P,交DN的延长线于Q,则匕DA尸的平分线与D…     

一道竞赛题的推广

题目:设实数a、b∈[α,β],求证: b/a+a/b≤β/a+a/β,其中等号当且仅当a=α,b=β或a=β,b=α成立,α,β为正实数.(2008年湖南省高中数学竞赛试题第15题)