由蝴蝶定理引发的思考

如图1,M是☉O的弦AB的中点,CD、EF是过M的两条弦,连结CF、DE分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.此即被誉为"欧氏几何中的奇葩"的蝴蝶定理.众多书刊介绍了它的各种证法以及推广,吸引着大批数学家和数学爱好者在闲暇之时对它进行研究.教学之余,笔者对它进行了一番思考,另辟蹊径,引出了几个意想不到的结论.     

筝形定理与蝴蝶定理的关系探究

筝形定理曾作为1990年全国数学冬令营选拔赛试题,在多种中学数学杂志上作过介绍,至今还偶有论及.蝴蝶定理这个美妙的名字首次出现在1944年2月美国《数学月刊》上,随后广为流传,1946年本题曾成为美国普特南大学生数学竞赛的试题.由于蝴蝶定理想象洵美,蕴理深刻,300多年来引起过许多中外数学家的兴趣.20世纪70年代末80年代初,我国的中学数学界又兴起一次研究蝴蝶定理的热潮,更令人欣喜的是这只美丽的蝴蝶终于在2003年飞到我国的高考(北京)试卷里.蝴蝶定理及其在一般二次曲线上的推广,具有高等数学知识     

广义蝴蝶定理

定理 已知半径为R的⊙O的弦AB上一点M,过M作两条相交弦CD,EF,连CF,ED分别交AB于S,T。设OM=r,M到AB中点的距离为a。则     

蝴蝶定理的推广

古典的“蝴蝶定理”是以圆为基础给出来的,它具有很大的局限性,将“蝴蝶定理”推广到一般二次曲线上进行讨论,并给出了新的“蝴蝶定理”,它弥补了古典“蝴蝶定理”的不足,使“蝴蝶定理”得到了更加广泛的应用。     

蝴蝶定理的推广

本文用射影理论将初等几何中的蝴蝶定理推广到常态二阶曲线的情形．     

蝴蝶定理的推广

大家熟知的蝴蝶定理可表述如下: 定理如图1设M是⊙O中弦AB的中点,CD,EF分别是过M点的两条弦,连接DE,CF交AB于P、Q两点,则PQ=MQ.     

蝴蝶定理的推广

本文用射影论将初等几何中的蝴蝶定理推广到常态二阶曲线的情形。     

美妙的蝴蝶定理

一、圆的蝴蝶定理例1(美国第24届大学生数学竞赛)设UV是圆O的弦,M是UV的中点,AB和CD是过M的另两条弦,AC和BD分别交UV于P、Q,求证:M是PQ的中点.证明以中点M为视点,分别对B、Q、D和C、P、A应用张角定理     

蝴蝶定理衍化与统一处理

蝴蝶定理,这个产生于1815年“男士日记”上的问题,横跨两世纪,经历了178年,各种衍化形态和不同的证明方法已不下十数种,各种衍化和证法还在不断翻新,我们在这里对部分衍化蝴蝶定理仅用初中几何知识(主要用“共角定理”),通过面积证法进行统一处理,这样的处理来得简洁明了,易于掌握。 (下面证明过程中△ABC表示三角形的面积)。命题1(蝴蝶定理)设AB是圆O的一条弦,过AB的中点M,作两条弦CD和EF,设ED、CF     

蝴蝶定理衍化与统一处理

<正>蝴蝶定理,这个产生于1815年“男士日记”上的问题,横跨两世纪,经历了178 年,各种衍化形态和不同的证明方法已不下十数种,各种衍化和证法还在不断翻新,我们在这里对部分衍化蝴蝶定理仅用初中几何知识(主要用“共角定理”),通过面积证法进行统一处理,这样的处理来得简洁明了,易于掌握.     

蝴蝶定理的新证法

《绅士日记》是一本曾在西欧国家长期风行的著名通俗杂志,它经常刊登一些问题征解,以吸引人们的研究兴趣,1815年刊登的问题是［1］。     

蝴蝶定理的衍变推广

蝴蝶定理是欧氏几何中与圆有关的一个重要定理，而欧氏几何又是射影几何的子几何，本文将利用射影变换将圆映射为常态的二次曲线，从而将蝴蝶定理衍变推广为射影几何的命题，以丰富的射影几何的内容。     

蝴蝶定理的最终形式

本刊文(1)、(2)、(3)讨论了蝴蝶定理的各种形式,今笔者给出蝴蝶定理的最终推广形式。 定理 过圆内一点M引两弦CD和EF分别交弦AB于G、H,CF和ED分别交AB于I,J。记GH中点为O,若OG=OH=d,AG=a,BH=b,IG=x,JH=y,则:     

蝴蝶定理的衍变推广

蝴蝶定理是欧氏几何中与圆有关的一个重要定理 ,而欧氏几何又是射影几何的子几何 ,本文将利用射影变换将圆映射为常态的二次曲线 ,从而将蝴蝶定理衍变推广为射影几何的命题 ,以丰富的射影几何的内容     

蝴蝶定理的新证法

<正>《绅士日记》是一本曾在西欧国家长期风行的著名通俗杂志,它经常刊登一些问题征解,以吸引人们的研究兴趣,1815年刊登的问题是^([1]):问题过圆中AB弦的中点M作任意两弦CD和EF,连结ED和CF分别交AB于P、Q,求证:PM=MQ.因为该问题的图形(如图1)像一只翩翩起舞的蝴蝶,故称之为蝴蝶定理.作为一道数学历史名题,蝴蝶定     

蝴蝶定理的多种证法

蝴蝶定理过圆O中弦PQ的中点M引任意两弦AB、CD,连结AD、BC交PQ于E、F。     

四边形中的蝴蝶定理和坎迪定理

1990年全国高中数学冬令营选拔赛试题第3题为(见文[1]): 在“筝形”ABCD中,AB=AD,BC=CD,经过AC、BD的交点O任作两条直线,分别交AD于E,交BC于F,交AB于G,交CD于H。CF、EH分别交BD于I、J。求证:IO=JO(图1)。 李长明教授在《筝形性质的推广与蝴蝶定理的关联》一文中将其作了如下推广(见文[2]):     

蝴蝶定理加强推广与统一处理

蝴蝶定理是初等几何中的一个著名定理,自其于1815年出现以来,近年各种推广和证法又有创新,如文[1]、[2]、[3]皆用解析方法推广该定理到一般二次曲线,文[4]用同一法得到了该定理的一种初等推广结果,文[5]用面积证法得到了该定理的几个初等推广结论。本文借助轴反射变换,利用共圆点证法及三角形合同对蝴蝶定理进行加强推广与统一处理。 定理1(蝴蝶定理)从圆心O向O的弦EF作垂线OM,过垂足M任作两弦AB和CD,设AD与BC分别交EF于P_1和Q_1,则P_1M=Q_1M。     

蝴蝶定理及其教育价值

本文以蝴蝶定理为栽体,以蝴蝶定理的教育价值为切入点,从体现数学之美,激发学生学习的兴趣;形式多样的解题策略,提供给学生研究性学习的可能性;寻找方便之解,诱发学生后续学习的兴趣;形式简单的推广,为学生提供数学研究的范例等四个方面谈普通高中数学课程标准理念的实现.     

蝴蝶定理解析新证

所谓蝴蝶定理, 是指下面的几何问题: 设AB是圆内的一条弦,过AB中点M作两弦CD和EF,连CF和DE,它们分别交AB于P、Q。求证: PM=QM。