设而不求巧解题

<正>1.圆锥曲线涉及中点弦求曲线方程和直线方程的问题,经常用点差法设而不求解题例1已知椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a²=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b2=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b²。     

极值问题在解析几何中的应用

本文给出用极值求两图形间的距离的方法。一、求点到直线的离距。 1.在平面上,求点A(x_1,y_1)到直线l:y=kx+b的距离d。解:在直线l上任取一点p(x,y),则 |AP|=((x-x_1)~2+(y-y_1)~2)~(1/2) =((x-x_1)~2+(kx+b-y_1)~2)~(1/2) =((1+k~2)x~2-2(x_1+ky_1-kb)x+x_1~2+(y_1-b)~2)~(1/2) =((1+k~2)(x-(x_1+ky_1-kb)/(1+k~2))~2+(kx_1-y_1+b)~2/(1+k~2))~(1/2)当x=(x_1+ky_1-kb)/(1+k~2)时,|AP|取极小值d。所以d=|AP|极小=|kx_1-y_1+b|/(1+k~2)~(1/2)=0给出,则k=-A/B,b=-C/B,于是 d=|-(A/B)x_1-y_1-C/B|/(1+(A~2/B~2))~(1/2) =|Ax_1+By_1+C|/(A~2+B~2)~(1/2)     

巧用韦达定理——求弦长

解析几何中有一类韦达定理与弦长紧密联系的题型,兹举例说明. 首先,给出一个弦长公式表达式. 设直线y=kx+b与非退化圆锥曲线相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则 |AB|=((x_1-x_2)~2+(y_1-y_2)~2)~(1/2)(*) 为使(*)与韦达定理紧相联,自然会注意到     

双曲线的弦的垂直平分线及应用

本文将双曲线的弦的垂直平分线及其应用简介如下,供参考.定理 设A、B是双曲线x~2/a~2-y_2/b_2=1上的两点,线段AB的垂直平分线ι交X轴于P(X_0,0),线段AB中点坐标为(x′,y′),则 x_0=e~zx~ι,其中e为双曲线的离心率.证明设A(x_1y_1),B(x_2,y_2),     

我为高考设计题目(1)

<正>题1(1)在平面直角坐标系xOy中,已知不同的两点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2).(ⅰ)求直线AB的一般式方程;(ⅱ)当点O不在直线AB上时,求△OAB的面积.(2)若A、B是椭圆C:x²3/+y23/+y²=1上的两个动点,且点O不在直线AB上,求△OAB面积的最大值.解(1)(ⅰ)当x_1≠x_2且y_1≠y_2时,可得直     

三点共线的等价命题类

从平面几何到代数、立体几何和解析几何,证明三点共线的命题、方法、技巧,实在不少,它们都可以归结为等价命题.(1)P、Q、R 三点共线(在同一条直线上).(2)P 在直线 QR 上.(3)P 到直线 QR 的距离为0.(4)P、Q、R 都是平面α与β的公共点.(5)P、Q、R 是△ABC 外接圆上一点分别在直线AB、BC、CA 上的射影.(6)S_(△PQR)=0。(7)三点 P、Q、R 在直线 AB 同侧,且 S_(△PAB)=S_(△QAB)=S_(△RAB).(8)线段 PQ、QR、PR 中,有两条之和等于第三条.(9)k_(PQ)=k_(PR).(10)若直线 PQ 的方程为 Ax By C=0,则直线 PR 的方程为 kAx kBy kC=0(k≠0为常数).若设三点 P、Q、R 的坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3),则有(11)(x_3,y_3)满足方程(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1).(12)设λ_1=(x_1-x_2)/(x_2-x_3),λ_2=(y_1-y_2)/(y_2-y_3),则λ_1=λ_2.     

直线与圆中两个关联问题的探究

<正>事物是普遍联系的,数学知识、数学问题的关联性更能反映这一点.在苏教版数学必修2"直线与圆"的教学过程中,笔者发现有两个比较有趣的关联问题.现整理如下,以飨读者.问题1(1)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)²+(y-b)2+(y-b)²=r2=r²(r>0)上一点,求过点P的圆C的切线方程;(2)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)2(r>0)上一点,求过点P的圆C的切线方程;(2)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)²+(y-b)2+(y-b)²=r2=r²(r>0)外一点,过点P的圆C的     

用复数证几何题

在《全日制十年制学校中学数学教学大纲》中,要求“理解复数运算的几何意义”。利用复数运算证明几何题,不仅有助于数学知识的综合运用,而且有助于加深理解复数的几何意义。本文就平面几何中常见的几种类型,给出复数证法。一、预备知识 1、平面上两点之间的距离设z_1=x_1+iy,z_2=x_2+iy_2是平面上任意两点,则z_1、z_2的距离 d=|z_2-z_1|=((x_2-x_1)~2+(y_2-y_1)~2)~(1/2) 或d=(|z_2-z_1|~2)~(1/2)=((z_2-z_1)(z_2-z_1))~(1/2) 2、复数有理运算的几何意义。①加减法——平移变换     

线段的定比分圆

定义若圆上任一点到点 A 的距离与到点 B 的距离的比恒为常数λ(λ>0,λ≠1),则称该圆分有向线段()所成的比是λ;该圆称为有向线段()的定比分圆.定理设 A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)是定点,一个圆分有向线段()所成的比是λ,则该圆的圆心坐标是 x_0=(x_1-λ~2x_2)/(1-λ~2),y_0=(y_1-λ~2y_2)/(1-λ~2),半径是 r=λ|1-λ~2|·|AB|.证明:设 P(x,y)是圆上的动点,由 |PA|/|PB|=λ得(x-x_1)~2 (y-y_1)~2=λ~2[(x-x_2)~2 (y-y_2)~2],经整理,得x~2 y~2-2x·(x_1-λ~2x_2)/(1-λ~2)-2x·(y_1-λ~2y_2)/(1-λ~2)=(λ~2x_2~2 λ~2y_2~2-x_1~2-y_1~2)/(1-λ~2),配方并化简整理,得     

利用一次函数性质解题

由一次函数y=f(x)=kx b的图象,我们易得下面的性质: 1° 若k>0(<0),则y=kx b在(-∞, ∞)上是增(减)函数。 2° 若(x_1,y_1)、(x_2,y_2)是函数图象上任意两点,则有(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=k。     

从一道例题说起

例1 已知分别过抛物线 y~2=2px 上点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)的两条切线相交于 P(x′,y′).求证:x′=(y_1y_2)/2p,y′=(y_1 y_2)/2.证明如图1,由文献[1]可知过 A,B 两点的切线方程为:l_1:y_1y=p(x x_1);l_2:y_2y=p(x x_2).又 P 在 l_1,l_2上,有y_1y′=p(x′ x_1); (1)y_2y′=p(x′ x_2). (2)式(1)-式(2)得(y_1-y_2)y′=p(x_1-x_2).又 x_1=y_1~2/2p,x_2=y_2~2/2p,代入上式整理得y′=1/2(y_1 y_2), (3)将式(3)代入式(1)得1/2y_1(y_1 y_2)=px′ py_1~2/2p,由此得 x′=y_1y_2/2p,所以     

探析弦长公式在“共线‘弦长＇比”问题中的“另类”应用——兼谈弦长公式中弦长的本质和误区

我们知道,公式｜AB｜=1＋k~2（1/1＋k~2）｜x_2-x_1｜（或｜AB｜=1＋1/k~2（1/1＋k~2/1）｜y_2-y_1｜（k≠0））是是解析几何中,当斜率为k的直线与圆锥曲线相交时,用来求弦长的公式（其中x_1,x_2（或y_1,y_2）分别是两交点的横（纵）坐标）.然而,弦长公式只能用来求弦长吗？笔者在高三复习教学中发现,     

抛物线的切点弦方程及其应用

从抛物线y~2=2px外一点p(x_0,y_0)、向抛物线引两条切线,切点为A,B,则线段AB称为p点的切点弦、切点弦AB的方程是yy_0=p(x+x_0),证明如下: 设切点A、B坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则PA、PB方程分别为:     

几类极值问题的统一处理

设△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)(按逆时针方向排列),则x_1y_1-x_2y_1=|x_1 y_1 x_2 y_2|=|0 0 1 x_1 y_1 1 x_2 y_2 1|=2S_(△OAB)=OA·OBsin∠O.应用这个方法可以把几类条件代数极值问题化为几何极值问题来处理. 例1.设ax by=c(a,b,c∈R~ ,x,y∈R~-),求f(x,y)=mx~(1/2) ny~(1/2)(m,n>0)的极值. 解考虑点A((ax)~(1/2),-(by)~(1/2)),B(n/b~(1/2),m/a~(1/2)),∠AOB=θ,则     

建立几何模型智解代数、三角问题

建立斜率公式模型形如(y_1-y_2)/(x_1-x_2)的分式,可把它理解成平面直角坐标系内,连接两点p_1(x_1,y_1),p_2(x_2,y_2)的直线的斜率,从而把这类问题转化为解析几何中直线的斜率问题.     

抛物线内接直角三角形的一个性质及应用

<正>抛物线除了对称性等熟知的性质外,还有一些未知的性质.本文探求以抛物线上一定点为直角顶点的内接直角三角形的一个性质,并运用该性质快捷地解决有关问题.一、性质及拓展抛物线y=ax²上有一定点A(x_0,y_0),B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)是二次函数图象上的两个不同于点A的动点.若AB⊥AC,     

上教版高三数学教材中样本标准差公式合理性初探

上教版高三数学教材中给出的样本方差、样本标准差的计算公式不同于其他版本的教材,给学生学习带来困扰.本文从用样本标准差评价总体标准差时需遵守的三大标准:无偏性、有效性、一致性出发,说明上教版样本标准差s=(((x_1-)²+(x_2-)2+(x_2-)²+…+(x_n-))2+…+(x_n-))²/(n-1))2/(n-1))^(1/2)作为总体标准差的点估计值的合理性.     

两个距离公式的应用

全国通用教材初中《数学》第六册里介绍了两个距离公式,就是:(1)平面内两点间的距离公式;|P_1P_2|=((x_1-x_2)~2+(y_1-y_2)~2)~(1/2),(2)点到直线的距离公式:d=(|A_x_0+B_y_0+C|)/(A~2+B~2)~(1/2),解决解析几何中的有关问题     

巧构直角三角形解题

<正>本文结合实例,探讨如何构造直角三角形解题.一、计算与求值1.计算线段的长度例1如图1,△ABC中,∠A=15°,∠B=15°,AB=2,求边长AC,BC的长度.分析与思考过点A作BC边上的高AD.构造出直角三角形,转化为对直角三角形的求解.为方便计算,设AC=2x,那么BC=2x,AD=x,DC=3^(1/2)x.由勾股定理,得AD(1/2)x.由勾股定理,得AD²+DB2+DB²=AB2=AB²,即有x2,即有x²+(2x+32+(2x+3^(1/2)x)(1/2)x)²=22=2²,解此方程求出x的值,那么△ABC的边长即可求出.     

一道高考题的求解策略及深入探究——剖析2018年上海高考第12题

<正>1试题呈现已知实数x_1、x_2、y_1、y_2满足x_1²+y_12+y_1²=1,x_22=1,x_2²+y_22+y_2²=1,x_1x_2+y_1y_2=1/2,则|x_1+y_1-1|/2(1/2)+|x_2+y_2-1|/2(1/2)的最大值为.本题为2018年上海市高考数学试题第12题,从题面上看,考查的是以"绝对值和方程"为载体、不等式为主线的典型问题,着重考查学生分析问题、解决问题的能力,能够检验学生对曲