一道联赛题的另两种解法

1994年全国数学联赛中有这样一个题目:设锐角三角形ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H,若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是( ).     

一道中考压轴题的优化解法

<正>题目(2016年湖州中考题)如图1,在等腰△ABC中,BC=7,AB=AC=4,在底边BC上取一点D,连结AD,使得∠DAC=∠ACD.将△ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,AE与BC交于点M,连结BE,得到四边形ABED,则BE的长是()     

辩证看待两种解法 合理配置多维营养——基于勾股定理解题教学的策略研究

<正>1缘起——一种思路的意外受挫一次单元测试,有这样一道源自课本复习参考题的改编题:如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=a,AD=2a,E是AD边上一点,n DE=AD(n为大于2的整数),连接BE,作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F、G,FG与BE的交点为O,连接BF和EG.(1)试判断四边形BFEG的形状,并说明理由;(2)如果四边形BFEG与矩形ABCD的面积比     

一道中考题的面积解法

题目:(2001年无锡市27题)如图1,已知在梯形ABCD中,AD//BC,BC=3AD,E是腰AB上的一点,连结CE,(1)略.(2)设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2,且2S1=3S2,试求BE/AE的值.     

中线分点问题的解法

HF些此邵BC,一一=得//GE豁嗣AD又·二于故 近年来,在国内外中学数学竞赛试题中,经常出现涉及三角形中线分点的间题,这类题利用下述命题来解,十分简捷。,.,. AD// EF.// BC. 命题过△ABC的顶点C任作一直线,与边八刀及中线AD分别交于点F及E.求证:AE:ED一ZAF:FB.(初中教材《几何》第二册尸。6第9题,西南师大版义务教材《儿何》第三册复习题五第6题) 例3在正方形ABCD中,E是AD边的中点,BD与CE交于F点.求证:AF上BE.(1 992年四川省初中数学联赛)图1证明:。:又BE为.BGBFFDBCDE△ABCD 例1如图2,0是正方形ABCD对角线的交点…     

一道中考几何题的多种解法

题目如图1,在梯形ABCD中,AB//CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点．求证：CE上BE．（2008年山东日照）     

巧用面积法解(证)平面几何题

有些平面几何 ,本身虽然与面积无关 .若从面积的角度来考虑 ,往往具有思路明快 ,过程简捷 ,现举例如下 .一、用面积证明线段相等例 1　如图 1,在△ A BC中 ,BE⊥ AC于 E,CF⊥AB于 F,且 BE =CF,求证 :AB =A C.证明 :在△ A BC中 ,由三角形面积公式 ,得S△ ABC=12 A B .CF =12 A C .BE∵ BE =CF,∴ AB =AC.图 1图 2二、用面积法证明线段不等例 2　如图 2 ,在△ A BC中 ,BC >A C,AD⊥ BC于D,BE⊥ AC于 E,求证 :BE >A D.证明 :∵ S△ ABC =12 BE .A C =12 AD .BC,∴ BEA O=BCA C,又∵ BC >AC,∴ BE >AD .…     

一道有趣的平面几何小题

如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AB=BC,BE⊥AD,垂足为点E,则结论1 BE=DE.证明:过点C作CG⊥BE于G,如图2,则有矩形CDEG,CG=DE.易证△BAE≌△CBG,所以BE=CG=DE.结论2(1)BE=AE+CD;(2)2BE=AD+CD.证明:(1)由矩形CDEG得GE=CD.由△BAE≌△CBG得AE=BG,所以BE=BG+GE=AE+CD.     

一道题的多种解法

1997年江苏省连云港市中考有这样一道填空题:“如图,□ABCD的周长为40,∠ABC=60°,E、F在BD上,BE=EF=FD,AE的延长线交BC于M,MF的延长线交AD于点N,设BC=x,△AMN的面积为y,则y与x的函数解析式是——.”此题,名为填空,实为求解,而且是几何与函数综合题.尽管□ABCD的面积可直接求     

一道习题的多种解法

在平时的解题中,把思路放开一些,对于一道题从多个角度去思考,寻找灵活多变的解法,这样才能开阔视野,提高解题能力.题目已知AD是△ABC的中线,E是AD的中点,F是BE的延长线与AC的交点求证:AF=1/2FC.(初中《几何》第二册第194页第18题)解法1 如图1,过点D作DG∥AC,交BF     

一道中考填空题的解法、变式

<正>题目如图1,矩形ABCD中,AB=8,点E是AD上的一点,有AE=4,BE的垂直平分线分别交AB,BE,BC的延长线于点H,O,F,连结EF交CD于点G,若G是CD的中点,则BC的长是.(2014年浙江省义乌(金华)市中考数学卷第15题)1解法分析     

问题解答

2008年第9期问题解答187.如图,D为△ABC的边BC的中点,过AD的中点N作与BC不平行的直线l,分别交边AB、AC于点M、P.求证:ABAM AACP=4.证明:如图,过点B、C分别作AD的平行线交l于点E、F,则BMAM=ABEN,ACPP=ACNF.两式相加,得BMAM ACPP=BEA NC F.因为BE∥AD∥CF,D为BC的中点,所以BE CF=     

△巧旋转 妙解题

题目已知:等腰直角△ABC斜边AB上有D、E两点,且∠DCE=45°.求证:(DE)~2=(AD)~2+(BE)~2. 分析欲证(DE)~2=(AD)~2+(BE)~2,只需证DE、AD、BE三线段能构成以DE为斜边的直角三角形,但线段分散,故须通过变换     

倍长中线好解题

在几何解题中时常需要辅助线.在含有三角形中线条件的习题中倍长中线是一种重要的添加技巧,它可以将许多较为分散的条件相对集中,从而架设已知与未知的桥梁.现就倍长中线的方法举几例说明.例1如图1,△ABC中,BD=DC,若AD⊥AC,∠BAD=30°.求证:AC=12AB.简析虽然AC、AB在同一个三角形中,但无法证得结论.想到BD=DC,即AD是中线,可倍长中线,即延长AD至E,使DE=AD,再连结BE,则易证得△BDE≌△CDA.于是∠E=∠CAD,BE=AC.而AD⊥AC,则∠E=90°.在Rt△AEB中,∠BAD=ABEDC图1CADEB图230°,所以BE=12AB,故AC=12AB.例2如图2,…     

2004年全国高考数学(理)20题别解

原题　如图 1 ,已知四棱锥P -ABCD ,PB ⊥AD ,侧面PAD为边长为2的正三角形 ,底面ABCD是菱形 ,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为 1 2 0°.(Ⅰ )求点P到平面ABCD的距离 ;(Ⅱ )求面APB与面CPB所成的二面角的大小 .解　 (Ⅰ )取AD的中点E ,连结BE、PE .因为△PAD是正三角形 ,所以PE⊥AD ,又PB⊥AD ,所以AD⊥平面PBE ,所以BE⊥AD ,∠PEB是二面角P-AD-B的平面角 ,∠PEB=1 2 0再由AD ⊥平面PBE知面PBE ⊥面ABCD于BE .过P作PO ⊥BE交BE的延长线于O ,则PO ⊥平面ABCD ,PO的长度 ,为P到平面ABCD的距离 .在…     

安庆市第二届初中数学联赛试题及解答

一、填空题 1.若x一3是kx落十IOx一192的一个因式,则k二 2.已知2卜‘ z’一“ 2’一“=448,则X二 5.设〔x〕表示不超过x的最大整数,若f=〔1 91〕 〔1 92〕 〔1 93〕 … 〔1 91989〕 〔1 91990〕, 4.如图,△ABC中,AD,BE都是中线,MN平分BE且平行于AD.已知AD,BE,则fe\、义万\b\cND     

利用对称性证明几何不等式

例1如图1,在△ABC中,AB>AC,AD是BC边上的中线.求证:∠BAD<∠CAD.图1分析注意到AD是BC边上的中线,中线加倍是常见的添辅助线的方法.然后把研究对象集中在△ABE中,由大边对大角,将问题得以解决.证明延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,则D是△ADC与△EDB的对称中心,BE=CA,∠E=∠CAD.∵AB>AC,∴AB>BE,∴∠BAD<∠E,从而∠BAD<∠CAD.例2如图2,在△ABC中,D是BC边的中点,ED⊥DF,EF分别交AB、AC于E、F两点.求证:BE+FC>FE.图2分析能否将BE、FC、EF移到同一三角形考察线段不等关系?利用对称性作图是可以实施的,于是问…     

中考中的四边形新题赏析

一、与平行四边形有关的问题例1(2012福建南平)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,若点E,F分别在边BC,AD上,连接AE,CF,请再从下列三个备选条件中选择添加一个恰当的条件.使四边形AECF是平行四边形,并予以证明.备选条件:AE=CF,BE=DF,∠AEB=∠CFD.我选择添加的条件是:(注意:请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中,画出符合要求的示意图,并加以证明)解析添加的条件可以是BE=DF(答案不唯一).证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵BE=DF,∴AF=CE,即AF=CE,AF∥CE.     

数学问题与解答——2002年第5期问题解答

566.△ABC中,已知∠A=120°,AD、BE是△ABC的角平分线,求证:AB+AE=AD+BD.证:如图1,延长BA到F,使AF=AE;在     

小学数学竞赛中几何题的常用解法（二）

四、容斥原理例6.如图1,在平行四边形ABCD中,AD边长为8厘米,AB边长为10厘米,∠DAB=30°,高CI的长为4厘米,其中BE、DF是分别以AB、CD为半径,以∠EAB、∠DCF为圆心角所对应的弧,DG和BH是分别以AD、CB为半径,以∠DAG、∠BCH为圆心角所对应的圆弧,求阴影部分的面积。