一道几何题引发的思考

<正>笔者在教学中遇到一道几何题,阅卷中发现学生有多种不同的解法,但答案却各不相同,于是引起了我的思考:是不是某些解法出现了错误呢?但经过审查没有发现任何逻辑推理上的漏洞,那么问题出在哪呢?下面我们来研究这道题目及其解法.一、题目如图1,已知AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点F,点E在⊙O外,作直线AE,且∠EAC=∠D.     

对一道习题解法的再思考

<正>一、问题呈现题目如图1所示,在△ABC中,AB=6,AC=3,∠BAC=120°,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.二、解法新探及思考解法1如图1,过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠EDA=∠BAD.∵AD平分∠BAC,∠BAC=120°,∴∠EAD=∠BAD=∠EDA=60°,故△ADE是正三角形,DE=EA=AD.由DE∥AB,     

再探一道存在性问题错解的原因

<正>我们知道,很多数学问题从不同角度出发,会得到多种解法,当然也有可能产生不同的错解.下面以《中学数学教学参考》中曾刊出的一道题目和解法,根据本人的想法整理成文,以供同行借鉴.一、题目及其错解题目如图1,在RtABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8.点P以1cm/s的速度从点A沿AB向点B运动,同时点Q以2cm/s的速度从点B沿BC向点C运动,当点Q到达点     

对一道几何题解法的思考

<正>本文对一道填空题的解法进行一番探究与思考,从中体会数学本真之美!一、题目呈现如图1,设△ABC的底边AB固定,且AB=4,顶点C是动点,分别以AC、BC为边向外作正方形ACED、BCFG,连结DG.取线段DG、AB的中点为点M、O,那么OM的长度是1 二、解法探究解题思路利用特殊化思想,由于点C是动点,先猜想点C运动到使△ABC是特殊三角形时线段OM的长度;再猜想点C运动到任     

两椭圆的“相遇”

在讲授椭圆这部分内容时,我曾给学生出了这样一道题目:“过点P(2,1)作直线与椭圆x2/16 y2/4=1交于A、B两点,若点P平分弦AB,求弦AB所在的直线方程.”学生很快就想出了两种解法:一种是设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),然后将直线方程代入椭圆方程来解题;另一种是用两点法. 这时,有一个学生举手,说自己还有第三种解法,她的解法如下: 如图1,设A(x,y),因为点P平分弦AB,所以B点坐标为(4-x,2-y). 因为A、B两点在椭圆x2 4y2=16上,     

两椭圆的“相遇”

在讲授椭圆这部分内容时,我曾给学生出了这样一道题目:"过点P(2,1)作直线与椭圆x2/a2+y2/b2=1交于A、B两点,若点P平分弦AB,求弦AB所在的直线方程."学生很快就想出了两种解法:一种是设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),然后将直线方程代入椭圆方程来解题;另一种是用两点法.     

殊途不同归奥妙何在?

<正> 下面这道题目,用不同的解法得到两种不同的结果,其奥妙何在?请同学们思考. 题目如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠1=∠2.如果AB=m,BC=n,求CD的长.     

提炼模型 变式突破——以“角平分线问题的处理策略”为例

<正>波利亚说过:"假如你想从解题中得到最大的收获,你就应当在所做的题目中去找出它的特征,那些特征是在你以后求解其他题目时,能引到被指引的作用".笔者以中考二轮专题复习课"角平分线问题的处理策略"为例,来谈谈对专题复习课模式的理解和思考.一、题目呈现已知:如图1,AD是∠ABC的角平分线.求证:二、解法探究解法1 利用角平分线的性质——"角平分线上的点到角两边的距离相等"作"双高".证明如图1,过点D作DM⊥AB     

多题同类相似的解法

在众多的数学题中,如果我们稍加留意就会发现有不少题目似曾相识,同源同类.这些类似的题目,只是把已知条件和结论略作改变而已.对于同类题目,只要探究其中一题的解法,然后进行解法迁移就可以了.如在复习“轴对称”这一章节时,我们就可以利用轴对称图形性质,巧解中考题中一类最小值问题.一、三角形与轴对称例1(2006年河南课改区中考题)如图1,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是.分析:作点D关于AB的对称点D′,因为点E在AB边上运动,根据轴对称性质可知:ED=ED′.要求EC+ED的最小值,即…     

一类动点最值问题的解法探析

<正>本文以一道动点引起线段长度变化问题为研究对象,对其解法进行探究,提炼通式通法,希望对初中生的学习能够提供帮助.解决动点最值问题的方法一般有两种:一是合情推理找临界点;二是建立函数模型演绎推理.本文重点介绍第二种方法.题目(2014年宁波中考题)如图1,已知线段AB=10,点P是AB上的动点,在AB同侧分别以AP、PB为边作正方形APCD和正方     

对条件概率题解法的探索

对于条件概率这类题目的解法,教材上推导出两个公式,一个是P（A｜B）=n（AB）/n（A）,另一个是P（B｜A）=P（AB）/P（A）.     

由一道中考题引发的教学思考

<正>笔者参加了2015年苏州市中考阅卷工作,所在的阅卷组批阅第24题,题目是一道较简单的几何题.学生对第1问的解法五彩纷呈,现对几种典型的解法作评价分析.通过此题,笔者谈谈对教学的思考和启发,与同行交流.1.原题呈现如图,在△ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD.(1)求证:AD平分∠BAC;     

对一类抛物线中点弦问题的探讨

题目:定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y~2=x上移动,记线段AB的中点为M,求M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.抛物线弦的中点最值问题是高中数学中有关弦的常见题型之一,其解法灵活多样.本文从多个角度出发,探讨该题的多种解法,并     

两道解析几何题的探究式教学

新课程标准对课堂教学提出了很高的要求,以典型题目为素材,组织指导学生开展探究式教学,可大大激发学生的探究热情,笔者在一堂解析几何复习课中,用两道典型题目进行探究式教学,现整理如下:问题1设点P(4,2)是圆C:x2+y2-24x-28y-36=0内的一个定点,圆上的动点A、B满足∠APB=90°,求弦AB的中点M的轨迹方程.教师不急于把解法抛给学生,而引导学生分析条件与结论:如何利用∠APB=90°、点M为AB的中点?通过学生独立思考,很快有学生回答:设M(x,y),连结CM.则CM⊥AB.｜CM｜2+｜AM｜2=｜CA｜2.该式中:｜CM｜2=(x-12)2+(y-14)2、｜CA｜2=376…     

应用平移变换求阴影部分面积

<正>在求阴影部分图形面积的题目中,其阴影部分图形大多是不规则的,部分同学乍遇这类题目显得不知所措.为此,本文就由平移产生的阴影部分面积予以剖析.一、点的平移例1(2010烟台).如图1,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点.动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运动时间为t.分别以AP与PB为直径作半圆,则图中阴影部分的     

追求自然的解题方法

一、引言出现"懂而不会"现象的主要原因在于教师所给的解法技巧性太强,不是题目自然而然的解法.那么怎样的解法才是自然的解法?文[1]指出:自然的解法就是从题目条件出发,每一步跨度不大,容易想到,易于理解.不过判断一个解法是否自然,不同的人可能看法不一样.因为自然与否,和解题者本身的素养有很大关系,比如掌握案例的多少,联想能力,灵活运用能力等,难以一概而论,就好比"显然易见"一样,在你看来是显然的,可能别人要想半天.下面笔者结合解题教学中的几个片断,就所教学生具体情况谈谈教学中关于自然解法的思考,不妥之处恳请指正.     

解法自然源于学生已有的知识与经验

解法自然生成的过程中应考虑学生的感受,更应该注重学生已有知识与经验,学生能想到的解法就是最自然的解法.本文以一道中考试题为例,对解法自然谈几点思考.     

一道普高特长生招生资格考试题的探究

<正>笔者所在地区的教育局组织了多次中学生申报普高学科特长生招生资格考试.笔者参与了两次阅卷工作,发现数学试题难度较大.其中一道填空题的压轴题,引起了笔者的思考.一、试题呈现如图1,AB=BC=CA=AD=■,AH⊥CD于H,CP⊥BC交AH于点P,AP=■,则BD=____.二、解法探究这道题是"涉高"题,所以给出了如下的解法.解法1将BD放在■ABD中,AB,AD已知,只需要知道∠BAD即可.又∠BAC=60°,     

倡导自然 成之天然

<正>教学中,我们在设计试题时,不应过分追求解题技巧,不出偏题怪题,倡导"自然解法",也就是要遵循解题规律,抓住题目本质,注重通性通法,追寻本源,形成自然的思路或产生自然的转化,有效地提升解题能力.笔者以淄博市一道中考数学题为例,从题目考察的本质出发,力图展现多样的自然解法.一、试题呈现如图1,在直角坐标系中,点A的坐标是(0,3),点C是x轴上的一个动点,点C在x轴     

一道联赛试题的背景与解法

2018年全国高中数学联赛一试解答题压轴题是一道解析几何试题,官方公布的答案运算量较大,下面我们通过揭示本题蕴含的两个背景,给出一种较为简洁的解法.题目在平面直角坐标系xoy中,设AB是抛物线y 2=4x的过点F(1,0)的弦,△AOB的外接圆交抛物线于点P(不同于点A、O、B),若PF平分∠APB,求|PF|所有可能值.