一道2021年高考题的深入研究

笔者大胆揣测新高考数学试卷22题的右侧不等式的命制过程,结合题源分析,给出了切线放缩、割线放缩证明不等式这一方法,并在高考题目的基础上给出了变式,发展出了直线放缩与曲线放缩,丰富了证明不等式的方法.     

一题多解、一题多变、一法多用

高中代数中的不等式证明是学生学习的重点和难点,方法多、技巧性强,学生难掌握。同时该内容也是开发学生的智力,培养学生的逻辑思维和求异思维能力的好课题。如何化难为易,激发学生的学习兴趣,又能系统地复习所学的证题方法,防止题海战术,笔者认为一条有效的途径就是精选一些典型例题。通过一题多解、一题多变、一法多用编织成题网,使知识成为有机的组合。下面以一个不等式的证明为例谈谈具体的做法。 1 一题多解,开拓思路,串联方法 例 若a,b>0,且a b=1,求证     

证明不等式要有辩证意识

不等式证明方法繁多、运用灵活、技巧高超。这类题目常使学生感到困惑,难以打开证题的思路。造成学生证题难的主要原因是,学生头脑中缺乏辩证意识,不知分析题中所蕴含的矛盾因素,不知用联系的、变化的、运动的、发展的观点将矛盾合理转化,从而为证题打开入口,铺平道路。那么,证明不等式必须具有哪些辩证意识呢?下面对此作一些探讨。     

2011年高考安徽卷数学理科第19题的两个推广

在高考的必考内容中，单独以不等式命制的题目几乎没有，而此题却恰恰打了这样一个擦边球．今日重拾这两个不等式，笔者发现其构思新颖，对称优美，而且前后之间还存在“借步作答”之关系．反复把玩之余，笔者作如下两个推广，欢迎指正。     

不等式的证明方法

不等式,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.而不等式的证明,方法灵活多样,还和很多内容结合,它既是中学数学教学中的难     

运用均值不等式的八类配凑方法

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点．在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对题中的式子适当进行配凑变形．均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能．以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种配凑方法．笔者把运用均值不等式的配凑方法概括为八类．     

巧用三角函数关系证明不等式

不等式的证明是中学数学的一个难点问题,难在题型可灵活多变,方法丰富多样,但好的方法会提高解题的效率。巧用三角函数关系证明不等式,实则是采用三角换元法,而三角换元法的核心在于挖掘题干中隐藏的三角关系,从而巧妙的设三角换元。     

例说不等式的证明途径

不等式在初等和高等数学中是较为独特的内容,而不等式的证明和解不等式,证明等式却大不相同,在逻辑论证能力方面要求很高。一方面由于不等式的性质较多且受条件限制;另一方面涉及的知识面广,证法灵活多变,结构复杂。使学者往往难以理解和掌握,感到束手无策,不知从何人手缺少证明途径,在证题过程中容易忽视条件而导致逻辑推理上的错误,因此,不等式的证明,教者难教,学者难学,而广为人知,是代数学中的难点之一。本文对不等式的证明举例作些探讨。     

关于不等式的高考复习策略

不等式是中学数学的主体内容之一 ,是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具 ,因而是数学高考命制能力题的主版块 .在近年来的高考数学中 ,有关不等式的试题都占有较大的比重 (涉及不等式的试题一般在 7个左右 ,占总分的 15 %左右 ) ,不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法 ,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力 .在题型上 ,选择填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等 ;解答题主要考查含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等…     

用情境而不是讲情境

一位初中数学老师命制了这样一道试题：请选取生活中的一个具体情境，对这个情境加以简要描述，使其符合不等式5x-（25-x）≥85的要求．考试结果却令其大吃一惊，失分率在85％以上，如果按照常规考法，学生解这样一个不等式应该说事非常容易的．笔者以此也命制了一道政治学科的试题：选取生活中的一个真实情境     

也谈一不等式赛题的形数沟通

在一些报刊杂志和有关解题的书籍中，对以上三题的解法都不外乎通过构造正三角形或正方形给出几何证明，并由此给出相应的纯代数证明。笔者近期对以上三赛题进行了一番研究，觉得我们对于不等式①②③的认识还有待进一步加深，比如：我们能否给出更为直观的几何证明?既然不等式①②③均是严格不等式，那么它们的左边和右边到底相差多少?     

均值不等式等号成立的配凑技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点．在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对题中的式子适当进行配凑变形．均值不等式等号成立的条件具有潜在的应用功能．以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种配凑技巧．笔者通过实践,把运用均值不等式的配凑技巧概括为六类,下面对此作些论述．     

不等式证明的备考热点

近年来关于不等式证明问题通常出现在高考数学试卷末题或倒数第2题,这表明不等式证明问题是目前数学高考备考的难点和热点．本文分4个主要方面例谈证明不等式的常用思路,期能有针对性地提高证题技巧．     

编制一类不等式证明题的思维过程

不等式形形色色,变化万千,在历届奥赛中都扮演着重要的角色.不等式的证明方法更是灵活多变.本文将从一道不等式的证明出发,引领读者感受一批分式不等式的命制过程.     

关于不等式的高考复习策略

不等式是中学数学的主体内容之一,是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具,因而是数学高考命制能力题的主版块,在近年来的高考数学试题中,都占有较大的比重(涉及不等式的试题一般在7个左右,占总分的15％左右),这些试题不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法, 而且注重考查逻辑思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力.以不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法以及绝对值不等式为重点.在题型上,选择填空题主要考     

例谈“分析法”证明不等式

在近几年的高考中,不等式的证明的考题极少出现.但2007年全国高考中,湖北理科卷第21题出现过用数学归纳法证明不等式.在2011年高考中,不等式的证明在两个省份(安徽理第19题、湖北理第21题)的试卷中出现,所以不等式的证明应引起我们的重视.     

不等式“1-1/x≤lnx≤x-1”的妙用

在全国高考卷和各地高考模拟卷的压轴题中经常出现以函数或数列为背景考查不等式的证明题,难度较大,能全面地考查学生的数学思维能力.因此这类题是历年命题的热点,很多学生对此望而生畏.这类不等式常用的证明方法是运用导数或数学归纳法证明1.笔者发现不等式“1-1/x≤lnx≤x-1”等x四个重要结论在这类题中应用很广.本篇重点叙述运用四个重要结论证明的放缩技巧,供广大师生参考.     

也谈奥赛试题中一类分式不等式的递推证明

受贵刊的影响,笔者对各类奥赛试题中的一些分式不等式的证明给出一种新的递推证法,这种递推证法是把"高级分式不等式"转化为"低级分式不等式",以达到降低问题难度、实现快速证题的目的.     

谈柯西不等式的几个应用技巧

用柯西不等式证明某些不等关系,简捷、明了.在一道题的多种解法中,它往往是较优者.因此,若能创造条件灵活运用这一不等式,将会给解某些不等式带来方便.这里笔者就常用的一些变形谈谈自己的管见.     

再谈数列不等式的解决策略

<正>文[1]从证明的视角阐述了解答题中数列不等式的一些经典证法,所选例题具有很好的代表性,所选方法具有普适性、思想性,方法的分析简明而深刻,笔者读后很受启发,也引发了笔者对数列不等式问题的进一步思考:实际上,数列不等式问题并非只有证明这一类问题,求解型数列不等式问题也占有一席之地,有时甚至较证明型问题更加难以解决,原因主要是求解型数列不等式一般没有明确的解题目标,需要深入地探索,对学生的知识与经验形成极大的挑战;至于数列