一道高考试题的探究与推广

2004 年福建省高考理工 22 题,文史 21 题均涉及到如下命题: P 是抛物线C : y = x2 /2上一点,直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q ,若直线l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程. 上述命题中,线段 PQ为过切点且与切线垂直的弦,点 M 为线段 PQ 的中点.这是一道求受限动弦中点轨迹的问题,本文探究此类轨迹方程的一般形式,并予以推广. 定理 1 抛物线 x2 = 2py的弦 PQ垂直于过点 P 的切线,则 PQ中点M 的轨迹方程为 y = x2 / p p3 /(2x2) p . 证明 设 P(x1, y1),Q(x2, y2) ,M(x, y) ,由 y = x2 得 y'=…     

巧用“齐次化”解决圆锥曲线中的定点定值问题

定值与定点问题是圆锥曲线中典型的问题,其中圆锥曲线C上的一定点M和两动点P,Q(异于点M),则动直线PQ过定点与直线MP,MQ的斜率之积(和)为定值密切相关.     

中心型圆锥曲线中点弦的一个性质及其应用

众所周知,在平面直角坐标中,对于任意一个给定的圆,设其圆心为M,弦PQ的中点为R.若PQ=(u_1,v_1),MR=(u_2,v_2),则PQ⊥     

圆锥曲线弦中点轨迹的探讨

<正>1引入例1:直线l过抛物线y²=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例2=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例²:直线l过抛物线y2:直线l过抛物线y²=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x2=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x²=8y相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。分析上述三个例题的轨迹方程,得到如下结论:过抛物线内对称轴上一定点(包括顶点)的直线截抛物线所得弦中点的轨迹是一条以该定点为顶点,通径为原抛物线的一半的抛物线,且所得抛物线开口方向和对称轴与原抛物线相同。     

二次曲线动弦中点问题的巧解

设二次曲线F(x,y)=0(这里只研究缺x·y项的二次曲线)的动弦PQ的中点为M(x,y),构造P(x a,y b)、Q(x-a,y-b)(a≠0),当弦PQ存在斜率且记为k,k=b/a,于是点P、Q还可以以表示为P(x a,y ka)、Q(x-a,y-ka),那么|PQ|~2=4(a~2 b~2)=4a~2·(1 k~2),将P、Q坐标代入方程F(x,y)=0中,由坐标的对称性,可给解题带来极大的方使,我们来看下面几个问题。     

利用二次曲线准线解题

圆锥曲线的准线是一条重要的直线,利用它解题,有许多方便之处。 例1.已知点A(1,0)和直线L: x=3,若动点M到点A的距离为m,到L的距离为n,且m n=4,(1)求点M的轨迹,(2)过A作倾斜角为α的直线与M点的轨迹交于P、Q,设d=|PQ|=f(α),求f(α)的解析式。     

三角形中的一条特殊线段

如图 1,在△ABC中,M是BC边上任一点,由M分别向AB、AC作垂线MP、MQ,垂足分别为P、Q。本文给出线段PQ以及由PQ和点M构成的三角形面积的一些重要性质。下面若不加说明,点M和线段PQ都指的是上述意义。     

一道向量问题的多角度思考

正问题:在平面直角坐标系x Oy中,已知圆O:x2+y2=16,点P(1,2),M,N为圆O上不同的两点,且满足PM→·PN→=0.若PQ→=PM→+PN→,则|PQ→|的最小值为.(2014年常州市教育学会学生学业水平监测试题第14题)首先由题意可知四边形PMQN为矩形,则PQ=MN,本问题涉及几何、代数、解析几何、向量等问题,所以此问题的解决也可从上述多角度分析思考,多角度解决.     

一道解析几何题的多角度思考

<正>题目如图1,圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2=16,点M(1,0),动点P,Q分别在圆C1,C2上,且MP⊥MQ,求线段PQ长度的取值范围.许多学生给出了如下思考、求解过程:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由MP⊥MQ,得PQ2=(x1-1)2+y21+(x2-1)2+y22=22-2(x1+x2);又PQ2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=20-2(x1x2+y1y2).由上面两个式子得出x1x2+y1y2=(x1+x2)-1,下面就做不下去了.思维在此卡住,     

利用特殊位置确定区间端点值——一道中考题的拓展与反思

题目(2013年泰州)如图1所示,在矩形ABCD中,点P在边CD上,且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连结PQ,M为PQ的中点.(1)求证:△ADP∽△ABQ;     

圆锥曲线中的对称问题

<正>在圆锥曲线的考查中,我们经常会遇到这样的一类问题:圆锥曲线上存在两点关于某条直线对称,求参数的取值范围。这类问题的解法是:设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b(k≠0)对称的两点,PQ的中点为M(x_0,y_0),则PQ的方程为y=-1/kx+m,利用点差法、中点坐标公式求得中点坐标,再根据中点与圆锥曲线的位置关系求解。例1已知抛物线C:y²=x与直线l:     

异面直线的两个结论(高二)

1.定理 设P、Q、M、N是空向任意四点,则PM2-PN2=QM2-QN2(?)PQ⊥MN. 证明 如图1,设 (PM|→)=a,(PN|→)=b,(PQ|→)=c,由PM2-PN2=QM2-QN2,得 a2-b2=(a-c)2-(b-c)2,即 a·c-b·c=0, (a-b)·c=0,所以 PQ⊥MN. 反之,若PQ⊥MN,则可逆推过去得出 PM2-PN2=QM2-QN2.于是定理得证.这个定理给出了异面直线垂直的一个充要     

求切线方程的几种方法

求圆锥曲线的切线方程,由于牵涉的知识面较广和解题中的技巧性较强,历来是学生们课外学习中一个饶有兴趣的内容,本文的目的在于,从不同于常规的角度去审视切线,并从中得到几种求切线方程的方法。一切线与平行弦中点轨迹已知曲线Ax~2+By~2+Cx+Dy+F=0 (1) 设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)是曲线上两点,PQ的斜率为K,M(x,y)为PQ为中点。则 Ax_1~2+By_1~2+Cx_1+Dy_1+F=0 (2)     

类比圆的一个性质探求圆锥曲线的性质

正定理1已知AB是圆C:2 2 2x+y=r的直径,直线l与x轴垂直,过圆C上任意一点P(不同于A,B)作直线PA与PB分别交直线l于M,N两A P O B Q N M x y点,记线段MN的中点为Q,则直线PQ与圆相切.证明设点0 0P(x,y),直线l为x=m,     

每期一题

题:若抛物线y=ax~2- 1(a≠0)上存在关于直线l:x y=0对称的两点,试求a的范围。解法1(判别式法)设抛物线上关于直线l对称的相异两点分别为P、Q,则PQ方程可设为y=x b。由于P、Q两点的存在,所以方程组 y=x b 有两组不相同的实数 y=ax~2-1 解,即可得方程: ax~2-x-(1 b)=0 ①判别式△=1 4a(1 b)>0 ②又设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),PQ中点M(x_0,y_0)。由①得x_0=x_1 x_2/2=1/2a,y_0=     

抛物线中的“蝴蝶之谜”

<正>在平面几何中,我们有著名的蝴蝶定理(Butterfly theorem):设F是圆内弦PQ的中点,过点F作弦AB和CD,设AD和BC各相交PQ于点M,N,则F是MN的中点.笔者通过对蝴蝶定理的解读,尝试将其在抛物线中类比探索研究,得到:结论如图1,过抛物线x2=4my(m>0)的焦点F任意作两条弦分别与抛物线交于点A,B,C,D,连结AC,BD交直线y=m于M,N两点,则M,N关于点F对称.     

一个轨迹问题的解后反思

轨迹问题设PQ是椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a>b>0)的弦,且PQ与x轴垂直,A_1,A_2是椭圆的左右顶点,求直线PA_1和QA_2交点的轨迹.解:由题意不妨设P(x_0,y_0),Q(x_0,-y_0),又知A_1(-a,0),A_2(a,0),故得直     

蝴蝶定理的多种证法

蝴蝶定理过圆O中弦PQ的中点M引任意两弦AB、CD,连结AD、BC交PQ于E、F。     

与圆锥曲线焦点弦有关的一组性质

<正>圆锥曲线的焦点弦是圆锥曲线中的重要元素,圆锥曲线存在与焦点弦有关的众多性质,笔者通过研究得到了下列性质,与各位同仁分享．性质1设点F为有心圆锥曲线(椭圆或双曲线,下同) C的一个焦点,C的离心率为e,过点F且斜率为k的直线l与C交于P,Q两点(C为双曲线时,P,Q两点均在与点F对应的一支图象上),设焦点弦PQ的中垂线与两焦点所在直线交于点M,则2|MF|=e|PQ|.     

紧扣基本模型 实现解法自然——一道中考几何题的解法赏析

<正>一、试题立意分析题目(2016年南通中考题)如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于点O,D是线段OB上一点,DE=2,ED∥AC(∠ADE<90°),连结BE、CD,设BE、CD的中点分别为P、Q.(1)求AO的长;(2)求PQ的长;(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出