确定二次方程实根范围的方法

<正> 对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(c≠0)两实根范围的问题,除有一根大于零而另一根小于零,两根大于零,两根都小于零三种情形较简单外.其余情形的讨论都较难,本文现介绍两种不同的方法以供大家参考. 例1 已知方程x2+(m+2)x+3=0的两根都比1大,求m     

容易忽略a和△解题的四种情形

在讨论解决一元二次方程 ax2 bx c=0实根问题时 ,初学这方面内容的同学们常出现各类错误 ,集中反映在忽略了方程 ax2 bx c=0的 a和 ,主要有如下四种情况 :一、方程有两个实根时 ,忽略 a≠ 0例 1　已知关于 x的一元二次方程 (1 - 2 k) x2- 2 k 1 x- 1 =0有两个不相等的实数根 ,求 k的取值范围。(2 0 0 0年广西壮族自治区中考题 )错解 :由 =(- 2 k 1 ) 2 - 4 (1 - 2 k) (- 1 )= - 4 k 8>0 ,得 k<2 ,∴当 k<2时 ,原方程有两个不相等的实数根。分析 :错解忽略了有两个实数根就说明这方程是一元二次方程 ,故应有二次项系数 1 - 2 k≠ 0 ,k≠1…     

巧构模型 妙解赛题

1．构造过两点的直线的斜率例1设实系数一元二次方程x2＋ax＋2b-2=0有两个相异实根,其中一根在区间（0,1）内,另一根在区间（1,2）内,     

一元二次方程根的判别式题型解析

一元二次方程根的判别式是历年来各地中考必考的知识之一,其主要题型有: 一、判断一元二次方程根的情况倒1 已知关于x的方程(n-1)x3+mx+1=0①有两个相等的实根.求证:关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根.     

活用根的判别式

1.确定范围例1m为何值时关于x的方程mx~2-x~2=3x-2有两个实根?分析方程有两个实根一定是一元二次方程,一元二次方程才有根的判别式,确定一元二次方程     

警惕一元二次方程中的"陷阱"

一元二次方程知识是中考重点考查内容之一,而命题者也常常利用同学们容易混淆的概念或容易忽视的知识点精心设计“陷阱”.现归类剖析几例,望同学们引以为鉴.一、利用一元二次方程的概念设计“陷阱”例1关于x的方程k2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实根,求k的取值范围.错解:∵原方程有两个不相等的实根,∴△=(2k+1)2-4k2>0.解得k>-14.∴k的取值范围是:k>-14.剖析:方程k2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实根的条件是:(1)二次项系数k2≠0;(2)△>0.解题者只注意了(2),而忽视了(1),即忽视了二次项系数不为零的情况,故正确答案是:k>-14且k≠0.二、利…     

利用双曲函数求解一元二次方程实根的分布问题

正在判别式Δ=b2-4ac≥0的条件下,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根x1、x2,x1、x2与数轴上点X1、X2对应,设实数m、n、p、q与数轴上的点M、N、P、Q对应,点X1、X2相对于M、N、P、Q中的某些点(称作界点)所处的位置状态,称为点X1、X2的分布,对应称为一元二次方程实根的分布.实根x1、x2的分布在数量上表现为x1、x2与m、n、…间的大小关系(或用元素x1、x2与区间的关系表示).由于二次方程根公式中含b2槡-4ac,则一元二次方程实根的分布问题通常化归为无理不等式处理(繁琐),或结合二次函数图象考虑对称轴位置和界点处函数值正负,转化为不等式组处理.下面介绍     

判别式与韦达定理

一元二次方程是初中代数的一个极为重要的内容 ,尤其是判别式和韦达定理的应用更是广泛 ,成为初中数学竞赛的热点 .一、基础知识1 .判别式 .设一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0 ( )的判别式为Δ =ｂ2 -4ａｃ ,ｘ1、ｘ2 是方程的两个根 ,则Δ >0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ±Δ2ａ ;Δ =0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ2ａ;Δ <0 方程 ( )无实根 .2 .违达定理 .设ｘ1、ｘ2 是方程 ( )的两个根 ,则ｘ1 ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1ｘ2 =ｃａ .特别地 ,当Δ≥ 0时 ,有ａｃ>0 两根同号 ,且 ａｂ>0 ,两根为负 ;ａｂ<0 ,两根为负 .ａｃ<0 …     

复数集上涉及一元二次方程的问题

对于复数集上的一元二次方程问题,由于数的范围扩大,常使人感到棘手,受思维定势的影响造成解题失误.为此就涉及这类方程的常见题型、求解思路作一归纳,供参考. 一、判断方程根的情况例1 方程(1-i)x2+x-(1+i)=0的根的情况是( ) (A)有两个不等实根. (B)有两个不等虚根. (C)有一实一虚根. (D)一对共轭虚根. 解:易求得△=1+4(1-i)(1+i)=9, 可直接由求根公式得:x1,2=-1±3/2(1-i),     

一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

含字母系数的一元二次方程常见错解剖析

一元二次方程是初中代数的重要内容,然而很多同学由于受思维定势的影响,往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件,致使解答陷入误区.具体表现主要有以下几方面:一、忽视二次项系数a≠0导致字母系数取值范围扩大例1已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0有实根,求a的取值范围.错解:因为方程有实根,所以Δ≥0,即4(a+2)2-4(a2-1)≥0,解得a≥-45.剖析:由一元二次方程的定义知:a2-1≠0·而上述解题过程恰恰忽略了这一点,正确解法应为:依题意得:a2-1≠0Δ=4(a+2)2-4(a2-1)≥0解得a≥-54且a≠±1.(注:例1等价于:已知关于x的方程(a…     

实系数一元二次方程虚根的分布

对于实系数一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a≠0) (*)当△=b~2-4ac≥0时有实根,且实根的分布情况常借助抛物线y=ax~2+bx+c (a≠0)与x轴的交点来实现的。当△=b~2-4ac<0时,方程(*)无实根。由于在复数范围内,任何一个实系数一元二次方程都有两个根,因此,当△=b~2-4ac<0时,方程(*)只有两个虚根且共轭。显然,这两个虚根对应的点不在x轴上。那么虚     

浅谈一元二次方程实根的分布

问题所谓实根分布就是方程的根的分布情况的充要条件．设实系数一元二次方程f(x)=ax^2+bx+c=0(α≠0)的实根是x1，x2，且x1&;lt;x2，k或k1，k2(k1&;lt;k2)是任意给定常数，为记忆方便，我们把实根分布情况归纳成右表．     

隐含条件—数学中的“陷阱”

很多数学题的设计 ,将条件隐含在题目之中 ,若不注意 ,很容易忽略 ,这就给解题带来一定困难 ,甚至不能求解 ,以至掉入“陷阱”,因此 ,我们在解题中 ,必须注意挖掘隐含的条件 ,初中数学中 ,隐含条件的设置大体有以下几种情况。一、在方程中设置“隐含条件”例 1 .k为何值 ,一元二次方程 kx2 -( 2 k 2 ) x k 5= 0有实根 ?【误解】∵一元二次方程 kx2 -( 2 k 2 ) x k 5=0有实根 ,∴方程的根的判别式Δ≥ 0 ,即〔-( 2 k 2 )〕2 -4 k( k 5)≥ 0 ,解之 ,得 k≤ 13.因此 ,当 k≤ 13时 ,原方程有实根 .【分析】要使一元二次方程有实根 ,必须注意二次…     

初三数学期末检测题

(考试时间100分钟,总分100分) 一、选择题(每题4分,共32分) 1.下列各方程中,有两个相等实根的一元二次方程是( ). A.10x2+3x+5=0 B.3x2-4x-1=0 C. D. 2.若关于x的一元二次方程(a-2)x2+(1-2a)x+a=0有实数根,则( ).     

一元二次方程根的一个分布的错解分析

在高三第一轮复习过程中,在复习到<二次函数>这一节时,我们会遇到有两个实根x1、x2的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题.     

一元二次方程判别式的妙用

一元二次方程的根的判别式是重要的基础知识,在初中数学中应用极为广泛,它不仅是判别一元二次方程根的情况的依据,而且求代数式值、解方程(组)、求证等式等方面也有着重要的作用,若能熟练掌握它的各种用法,可提高同学们解题能力和知识的综合应用能力。一、判定方程根的情况例1已知方程x2-2x-m=0没有实数根,其中m是实数,试判定方程x2 2mx m(m 1)=0有无实根。解:∵方程x2-2x-m=0无实数根∴△1=(-2)2-4×(-m)=4 4m<0即m<-1又∵△2=(2m)2-4m(m 1)=-4m>0∴方程x2 2mx m(m 1)=0有两个不相等的实根。二、确定方程中系数的值或范围例2若方程x2 2(1-a…     

重在基础突出能力尝试创新——中考一元二次方程题赏析

一元二次方程是中考命题的“重头戏”,近年来 ,围绕着“重在基础 ,突出能力 ,尝试创新”,中考试题中一元二次方程新题型精彩纷呈。一、设计有隐含条件的一元二次方程问题解决此类问题要注意 :1.用判别式时不可忽视二次项系数不为零这个隐含条件 ;2 .用韦达定理时不可忽视二次项系数不为零这一隐含条件 (a≠ 0 )和二次方程有实数根这一隐含条件 (△≥ 0 )。例 1.已知 x1、x2 是关于 x的方程 (m - 1) 2 x2 - (2 m - 5 ) x+ 1=0的两个实数根。(1)若 p=1x1+ 1x2,求 p的取值范围 ;(2 )问 x1、x2 能否同为正数 ?若能同为正数 ,求出相应的取值范围 …     

一元二次方程根与系数的关系探微

在实数范围内,一元二次方程ax2 bx c=0 (a≠0)有两个实根x1、x2,则x1 x2=-b/a,x1x2=c/a. 注意在实数范围内应用根与系数关系的前提条件是a≠0且△≥0.它的应用主要体现在不解方程或无法解方程的情况下,直接沟通方程系数与根之间的关系.现举例如下: 一、由根的性质求方程中未知数的值例1 已知关于x的方程2x2-mx-2m 1=0的两实根的平方和等于29/4,求m的值. 解:设方程的两实根为x1、x2则得x1 x2=m/2,     

不可忽略对称轴

贵刊在1995·2期刊发了《图象法解一元二次方程根的分布问题》一文,文中有这样一道题: 已知关于x的方程x~2-mx-1=0的两根都大于-2而小于2,求m的取值范围。 解 考虑函数f(x)=x~2-mx-1,显然它的图象开口向上。因f(m)=-1,故其图象必与x轴交于两点,由条件,这两交点在-2和2之间,于是应有f(-2)>0和f(2)>0同时成立,即