“牛吃草问题”的算术解法

《中小学数学》92年3期刊出的《关于牛顿的“牛吃草问题”》一文,运用方程组的有关知识,给出了牛吃草问题的代数解法。由于此类问题也颇受小学生的青睐,故笔者再将其算术解法作一介绍。题:12头牛在4个星期内吃光了3(1/3)英亩牧场上的青草;21头牛在9个星期内吃光了10英亩牧场上的青草。已知牧场上青草匀速生长,问多少头牛在18个星期内能吃光24英亩牧场上的青草?解:设每头牛每个星期的吃草量为“1”。     

对一道题已知条件的探讨

省编中师函授数学教材第三册有一道等比数列习题(P.517第2题)。一个等比数列前三项的和等于3.5,前三项平方的和是52.5,求这个数列的第一项和公比。解答时,设此等比数列的前三项分别为a_1,a_2,a_3,则     

数列检测卷

一、选择压(本大.共12小.，每小.5分，共60分，在每小.给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) L在等差数列闯中，峪-5两户内拓，则a:等于() (A)一(B)一5. (C)一7.(D)一8. 2.设等比数列【入}的前n项和为又，若S.:S 3==1:2，则称S，等于() (A)l:2.(B)2:3. (C)3:4.(D)l:3. 3.在等差数列同中刀旧峋招子120，则2内叫;.萨() (A)24.(B) 22. (C)20.(D)一8. 4.已知扔咧【久1的前n项和异砂l佃州哪么【司() (A)一定是等比数列. (B)一定是等差数列. (C)或是等差数列或是等比数列. (D)既非等差数又非等比数列. 5.已知正整数列(入l中，内=3，且…     

等差、等比数列的共性结构

我们知道,常数列{c}(c≠0)可以看成是等差数列,也可以看成是等比数列。也就是说,等差数列和等比数列只能在特殊的常数列时才“相同”,在一般情况下是不同的。但从运算的角度来看,它们有着共同的结构和对应的性质,这反映了这两个数列的共性和丰富的内涵。 1.通项公式的共性结构等差数列的通项公式是 a_n=a_1 (n-1)d =a_1 d d … d (n-1个d) ①等比数列的通项公式是     

"牛吃草"问题与"诺贝尔奖金"

乍一看,这两个问题几乎风马牛不相及,可实际上,二者貌异而实同,牛顿的"牛吃草"问题说的是:牧场上有一片草地,24头牛6天内可以把草地上原有的草和6天内新长出的草吃光,20头牛10天内可以把草地上原有的草和10天内新长出的草吃光,照此     

平均值在正项等比数列中的应用

在正项等比数列{a_n}中,记 其中G_(m(k))为任意k项的几何平均数,m(k)为相应序号的算术平均数。 定理在正项等比数列{a_n}中,任意两个若干项的几何平均数的商,等于以公比q为底,以相应序号的算术平均数的差为指数的幂,即     

一类特殊数列前n项和的求法探究

<正>解决非等差数列、等比数列的前n项和问题,主要有两种思想:(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差数列或等比数列。(2)不能转化为等差数列或等比数列,往往通过裂项、并项、错位相减、倒序相加等方法。由一个等差数列与一个等比数列对应相乘得到的数列,我们常用错位相减法来进行求前n项和,但这一重要方法运算过程复杂且运算量大。就这一题型,下面介绍另外三种解法。一、构造等比数列法     

数学反斗屋

农场主老李养了“威威”和“雷达”两条狼狗。“雷达”喜欢吃肥肉,“威威”喜欢吃瘦肉。两条狗可以用60天吃光一桶肥肉,如果让“威威”单独吃,那么它要用30个星期才能吃完;两条狗可以用8个星期吃掉一桶瘦肉,若让“雷达”单独吃,那么,至少40个星期才能吃光。假定“威威”在有瘦肉供应时只吃瘦肉,而“雷达”在有肥肉供应时只吃肥肉,试问：这两条狗一起吃半桶瘦肉和半桶肥肉需要花多长时间？     

Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是等比数列吗

在很多书刊中 ,均可看到如下的一道命题 :等比数列 {an}共有 3n项 ,其前 n项和记为 Sn,则 Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n也是等比数列 .事实上 ,该命题是一个假命题 ,例如 :有穷数列 1 ,- 1 ,1 ,- 1 ,1 ,- 1的前两项和、中两项和及后两项和 ,组成的数列为 0 ,0 ,0 .显然不是等比数列 .一般地 ,等比数列 {an}只有满足条件 1 q … qn- 1≠ 0时 (其中 q为公比 ) ,才能具有下列性质　若数列 {an}是等比数列 ,公比为q,其前 n项和记为 Sn,当 1 q … qn- 1 ≠ 0时 ,则数列 Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n,… ,S(k 1 ) n-Skn,…是等比数列 (这里 k∈ N…     

等差数列的一个性质及应用

定理　等差数列的前ｎ项的算术平均数等于这ｎ项中的ｎ- 2ｍ(ｎ >2ｍ)项的算术平均数 ,即Ｓｎｎ =Ｓｎ-ｍ -Ｓｍｎ- 2ｍ ,(1)其中Ｓｎ 表示等差数列的前ｎ项和 .证　设等差数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,则Ｓｎｎ =ａ1+ 12 (ｎ - 1)ｄ ,　 Ｓｎ-ｍ -Ｓｍｎ - 2ｍ=(ｎ-ｍ)ａ1+ 12 (ｎ-ｍ) (ｎ -ｍ- 1)ｄｎ - 2ｍ- [ｍａ1+ 12 ｍ(ｍ - 1)ｄ]ｎ- 2ｍ=ａ1+ 12 (ｎ - 1)ｄ ,所以 ,(1)式成立 .推论　正项等比数列前ｎ项的几何平均数等于这ｎ项中的ｎ - 2ｍ(ｎ>2ｍ)项的几何平均数 ,即ｎ ｎ =ｎ-2ｍ (ｎ-ｍ) ｍ ,(2 )其中 ｎ表示等比数列的前ｎ项之积…     

数学板报(3)

29.(牛顿问题)两只绵羊在四周中能把两英亩的青草全部吃完,而这两英亩的青草在这四周中又能全部长出;三只绵羊在两周中能把两英亩的青草全部吃完,这两英亩的青草又在这两周中全部长出;在六周中把六英亩的青草全部吃完,而在这六周中六英亩的青草又能全部长出.问需要有多少只绵羊吃草?     

第十三届“希望杯”全国数学邀请赛培训题 1.初中一年级

一、选择题(以下每道题的四个选择支中有且仅有一个是正确的.)1.有理数。,b使得牛 “一~一’一’~’切b )(A)a)b.(C)a>!b 1.一2002,则必有(B)ab. 2.下面四个命题中正确的是() (A)两个有理数a,b的倒数的和等于它们和的倒数. (B)两个有理数a,b的相反数的和等于它们和的相反数. (C)两个有理数a,b的绝对值的和等于它们和的绝对值. (D)两个有理数a,b的倒数的相反数的和等于它们相反数的和的倒数. 3.某工厂1999年的利润比1998年增加T44%,2000年的利润比1999年增加T 125务,1999年和2000年每年的平均利润增加了22_、,.二_.35522、,-.…     

牛顿的“牛吃草问题”

牛顿曾出过一道著名的数学问题叫“牛吃草问题”,也叫“牧场问题”。有三片牧场,场上的草是一样密的,而且长得一样快,它们的面积分别是31/3公顷、10公顷和24公顷,第一片牧场饲养12头牛可以维持4星期,第二片牧场饲养21头牛可以维持9星期,问在第三片牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18个星期? 分析:如果不考虑草的增长,在第一片牧场和第二片牧场上一头牛一星期吃的草量分别为5/72公顷和10/189公     

1995年莫斯科大学数学力学系入学考试数学试题

三月(预试) 1.已知等比数列的第三项等于-10,并且第三项的平方与第七项的和等于第五项的三倍,求这个数列的首项. 2. 解方程 (|x~3|-|5x|)/((2x~2-4x-1)~(1/2)-|x| 2)=0     

应用等比数列求和公式的一点注意

等比数列前n项和的公式有两个,它们都有各自的使用条件和范围。这两个公式是:     

从“牧场上牛吃草”的问题谈起

著名数学家牛顿曾经提出过一道关于在牧场上牛吃草的问题：有三片牧场，场上的草是一样密的，而且长得一样快，它们的面积是：31/3公顷，10公顷和24公顷，第一片牧场饲养12头牛可以维持4个星期；第二片牧场饲养21可以维持9星期，问在第三片牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18星期?     

从牛顿问题到费马大定理

有一个牧场,已知3头牛在2个星期吃完2亩地上的草;2头牛在4个星期吃完2亩地上的草,问要有多少头牛才能在6个星期吃完6亩地上的草?假设牛未吃草时,草是一样高的,并且牧场里的草是不断生长的.这道有趣的关于牛吃草的问题是英国伟大的科学家牛顿提出来的,所以这一类问题又被称为牛顿问题.牛顿问题的难点在于牧场中的草是在不断生长的,牛吃的草,不仅包括草地上原有的草,还包括新长出来的草.这类问题可以通过设未知数,列方程来解     

一类数学名题的简易解法

问题1:12头公牛在4星期内吃掉313平方千米牧场上的青草;21头公牛在9星期内在同样牧场上吃掉10平方千米的青草;问多少头公牛在18个星期内在同样牧场上吃掉24平方千米的青草?这个问题史称“牛顿公牛吃草问题”。牛顿是英国数学家、物理学家、哲学家,人类历史上屈指可数的大科学家之一。他在数学著作《广义算术》(1707年出版)中记载了这个问题。问题2:一水池底不断有泉水涌出,要将满池的水抽干,用12台抽水机需要5小时;用10台抽水机需要7小时;问要在2小时内抽干水池中的水,至少要几台抽水机?这个问题人称抽水问题。这实际上是牛顿公牛吃草问题的…     

等比数列求和公式推导方法之利弊

历来中学数学课本关于等比数列求和公式的推导都采用“错位相减法”,就是为了求等比数列前n项的和Sn先把等比数列{a_n}前n项的和写成 Sn=a_1+a_1q+…+a_1q~(n-2)+a_1q~(n-1)(1)在(1)的两边分别乘以公比q,得到 qSn=a_1q+a_1q~2+…+a_1q~(n-1)+a_1q~n(2)然后(1)、(2)两式错位相减,可以消去许多相同的项。     

牛顿问题

英国数学家和物理学家伊萨克·牛顿(1642—1727),在他著的《普通算术》一书中有这样的一个问题: 有三片牧场,场上的草是一样密的,而且长得一样快,它们的面积是:3(1/3)公顷、10公顷和24公顷。第一片牧场饲养12头牛可以维持4星期;第二片牧场饲养21头牛可以维持9星期。问在第三牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18星期?